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教案：25.2.3 因式分解法
课题 25.2.3 因式分解法 课型 新授课
课时 1课时（45分钟） 教材版本 人教版九年级上册 第二十五章
教学方法 启发引导、问题驱动、讲练结合 教学用具 多媒体课件
教材分析 本节课选自人教版九年级上册第二十五章"一元二次方程"中25.2.3因式分解法。学生在前面学习了直接开平方法、配方法和公式法解一元二次方程，已经掌握了"降次"的基本思想。本节课在此基础上，引导学生学习因式分解法——利用因式分解将一元二次方程化为两个一次因式的乘积等于0的形式，从而实现降次。因式分解法是四种解法中最灵活的一种，要求学生对提公因式法、公式法（平方差、完全平方）、十字相乘法等因式分解方法熟练掌握，对培养学生的运算能力和思维能力具有重要作用。
学情分析 学生已掌握直接开平方法、配方法和公式法解一元二次方程，对因式分解也有一定基础（提公因式法、公式法、十字相乘法在八年级已学过）。但将因式分解与解方程结合起来，化为"ab=0则a=0或b=0"的形式，学生可能存在以下困难：一是对因式分解方法的选择不够熟练，不知道先观察能否提取公因式、再观察是否符合公式、最后尝试十字相乘；二是方程移项后忘记因式分解前需要先化简；三是遇到(x+2)(x-3)=0这类已分解好的形式时，能直接写出根，但遇到需要自己因式分解的方程时容易出错。
一、核心素养目标
1. 数学运算
能熟练运用提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）、十字相乘法等因式分解方法，将一元二次方程化为两个一次因式的乘积等于0的形式，进而求解。提高因式分解的准确性和灵活性。
2. 逻辑推理
通过探究因式分解法的原理，理解"ab=0则a=0或b=0"这一核心依据，体会"降次"思想在因式分解法中的体现。通过对比配方法、公式法、因式分解法三种解法的特点，发展学生的比较与鉴别能力，能根据方程特征选择最优解法。
3. 数学建模
通过竖直上抛运动等实际问题，体会一元二次方程在物理和生活中的应用，经历"实际问题—建立方程—选择解法—求解验证"的完整建模过程，增强应用意识。
二、教学重难点
教学重点
1. 理解因式分解法的原理，掌握"ab=0则a=0或b=0"的核心依据。
2. 掌握用因式分解法解一元二次方程的基本步骤：移项、因式分解、转化为两个一次方程、求解。
教学难点
1. 根据方程特征灵活选择因式分解方法（提公因式法、平方差公式、完全平方公式、十字相乘法）。
2. 将非标准形式的方程正确变形为两个一次因式的乘积等于0的形式，避免遗漏解或产生增解。
三、教学过程
环节一：情境导入（5分钟）
【教师活动】同学们，我们已经学习了直接开平方法、配方法和公式法解一元二次方程。今天我们来学习一种新的解法——因式分解法。首先，请同学们回忆一下，我们学过的解一元二次方程的方法有哪些？
【学生活动】直接开平方法，适用于x =a(a≥0)或(mx+n) =a(a≥0)的形式；配方法，化为(x+n) =p(p≥0)的形式；公式法，适用于所有一元二次方程，用求根公式求解。
【教师活动】很好！那因式分解的方法又有哪些呢？
【学生活动】提公因式法：am+bm+cm=m(a+b+c)；公式法：平方差公式a -b =(a+b)(a-b)，完全平方公式a ±2ab+b =(a±b) ；十字相乘法：x +(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)。
【教师活动】非常好！今天我们就来学习如何用因式分解的方法来解一元二次方程。
【知识点】解一元二次方程的方法回顾：1.直接开平方法——x =a(a≥0)或(mx+n) =a(a≥0)；2.配方法——化为(x+n) =p(p≥0)；3.公式法——x=；4.因式分解法（本节课学习）。
【过渡语】联系已学知识，从"因式分解"和"解方程"两个角度搭建桥梁，自然引出课题。
【设计意图】通过复习已学的三种解法和因式分解的三种方法，为新知识的学习做好知识储备。学生对因式分解的方法已有基础，本节课的关键是将"因式分解"与"解方程"两个知识点有机结合起来。
环节二：新知探究（15分钟）
一、问题引入——竖直上抛问题
【教师活动】我们先来看一个实际问题。
物体以10m/s的速度竖直上抛，经过x秒后离地高度约为(10x-5x )m。问：物体经过多少秒落回地面？
【教师活动】物体落回地面时，高度为0。请同学们列出方程。
【学生活动】落回地面时高度为0，即10x-5x =0。
【过渡语】从实际问题出发，引出方程，激发学生探究新解法的兴趣。
【设计意图】竖直上抛问题是一个经典的物理情境，有利于激发学生的学习兴趣，同时让学生体会数学与物理的紧密联系，为后续学习二次函数打下基础。
二、用配方法和公式法解——引出新思路
【教师活动】方程10x-5x =0，我们可以用配方法或者公式法来解吗？
【学生活动】用配方法：移项得5x -10x=0，两边除以5得x -2x=0，配方得(x-1) =1，开平方得x-1=±1，所以x =0，x =2。
【学生活动】用公式法：化为一般式-5x +10x=0，即5x -10x=0，a=5，b=-10，c=0，Δ=100-0=100>0，x=，所以x =0，x =2。
【教师活动】两种方法都能解出来，答案是0秒和2秒。物体第0秒时在地面，经过2秒后落回地面，符合实际意义。
【教师活动】但是，同学们有没有发现，这个方程有一个特点——右边是0，左边可以因式分解！我们试试看：
因式分解：
于是得到：
【教师活动】是不是比配方法和公式法简单多了？这就是因式分解法的妙处！
【过渡语】用配方法和公式法作为对照，凸显因式分解法的简便性，激发学生的求知欲。
【设计意图】通过三种方法的对比——配方法、公式法、因式分解法，让学生直观感受到因式分解法在解这类方程时的简便性，为后续学习因式分解法奠定情感基础。
三、因式分解法的定义和原理
【教师活动】因式分解法的核心思想是什么？就是把方程左边因式分解，右边等于0，然后利用"如果ab=0，那么a=0或b=0"这个性质来求解。
【知识点】因式分解法：通过因式分解，将一元二次方程化为两个一次因式的乘积等于0的形式，再使这两个一次因式分别等于0，从而实现降次，求出方程的解。核心依据：如果ab=0，那么a=0或b=0。
四、因式分解法的基本步骤
方法归纳：因式分解法解一元二次方程的基本步骤：第一步——移项，将方程右边化为0；第二步——分解，将方程左边因式分解为两个一次因式的乘积；第三步——转化，令每个因式分别等于0，得到两个一元一次方程；第四步——求解，解这两个一元一次方程，得到原方程的解。简记为：一移、二分、三化、四解。
【教师活动】请同学们把这个步骤记下来。下面我们来通过练习巩固。
【设计意图】因式分解法的定义和步骤是本节课的核心概念。通过"一移、二分、三化、四解"的口诀帮助学生记忆步骤，便于后续操作。
环节三：例题精讲（8分钟）
一、牛刀小试——直接说出下列方程的根
【教师活动】我们先来看一组已经因式分解好的方程，直接说出它们的根。
(1) (3x+6)(2x-4)=0
【学生活动】由3x+6=0得x =-2；由2x-4=0得x =2。
(2) (x+2)(x-3)=0
【学生活动】由x+2=0得x =-2；由x-3=0得x =3。
(3) (x+5)(x-1)=0
【学生活动】由x+5=0得x =-5；由x-1=0得x =1。
(4) x(x-2)=0
【学生活动】由x=0得x =0；由x-2=0得x =2。
(5) x =x
【教师活动】注意，这个方程不是乘积形式，需要先变形。
【学生活动】移项得x -x=0，因式分解得x(x-1)=0，所以x =0，x =1。
【教师活动】非常好！第(5)题要注意，x =x不能直接两边除以x，那样会丢失x=0这个解。必须先移项、再因式分解。
易错防范：解方程x =x时，绝不能两边直接除以x得到x=1，这样会丢失x=0这个根！正确做法：移项得x -x=0，再因式分解得x(x-1)=0，则x =0，x =1。
【知识点】已分解形式的方程可以直接读出根：(x+a)(x+b)=0 → x =-a, x =-b。注意：方程右边必须为0才能使用因式分解法。
【设计意图】"牛刀小试"选择了5道已经因式分解好或容易因式分解的方程，降低了入门难度，让学生在熟悉的情境中感受因式分解法的操作流程。第(5)题x =x是一个易错点，学生容易直接两边除以x，需要教师强调"先移项再因式分解"的原则。
二、例4——用因式分解法解下列方程
【教师活动】下面我们来看例4的两道题，需要用因式分解法来解，而且需要自己进行因式分解。
例4 (1) x(x-2)+x-2=0
【教师活动】观察这个方程，左边有什么特点？
【学生活动】x(x-2)和x-2都含有(x-2)，可以提取公因式(x-2)。
【教师活动】对！提取公因式(x-2)后，得到什么？
解：
于是
解题策略：当方程左边各项含有公因式时，优先提取公因式。本题中x(x-2)和x-2都含有(x-2)，提取(x-2)后得到(x-2)(x+1)=0，转化为两个一次方程求解。
例4 (2)
【教师活动】再看第二题。注意这个方程不是一般形式，需要先移项合并。
解：移项，合并同类项，得
【教师活动】这看起来像什么？
【学生活动】平方差公式！4x -1=(2x+1)(2x-1)。
因式分解，得
于是
规律总结：因式分解法中选择因式分解方法的顺序：①先观察能否提取公因式；②再观察是否符合公式（平方差公式a -b =(a+b)(a-b)，完全平方公式a ±2ab+b =(a±b) ）；③最后尝试十字相乘法。
【设计意图】例4的两道题代表了因式分解法的两种典型情况：第(1)题需要提取公因式(x-2)，第(2)题移项后利用平方差公式。通过这两道题，让学生初步掌握根据方程特征选择合适因式分解方法的能力。
环节四：课堂练习（12分钟）
一、思考——解法对比
【教师活动】学习了配方法、公式法、因式分解法后，请同学们说说它们各自的特点？
【学生活动】配方法：适用于所有一元二次方程，但计算步骤较多，系数较大时容易出错。
【学生活动】公式法：适用于所有一元二次方程，是最通用的方法，但计算量有时较大。
【学生活动】因式分解法：最简便，但不是所有方程都能用，只适用于可以因式分解的方程。
【教师活动】总结得很好！因式分解法是最简便的，但前提是方程能因式分解。如果因式分解有困难，可以选用公式法或配方法。选择解法的一般原则是：能用因式分解法优先用因式分解法，其次考虑直接开平方法，最后用公式法。
方法归纳：解一元二次方程解法选择策略：①若方程右边为0且左边易于因式分解，优先用因式分解法；②若方程可化为(mx+n) =a(a≥0)的形式，用直接开平方法；③若方程已化为一般形式但不易因式分解，用公式法；④配方法可作为推导和理解其他方法的基础，一般不作为首选。
【设计意图】通过比较三种解法的特点，培养学生的"方法选择"意识，让学生知道解一元二次方程不是只有一种方法，而是可以根据方程特征灵活选择最优方法。
二、选择适当的方法解下列方程
【教师活动】下面请同学们判断，下列方程各适合用什么方法解？
(1) 4(x-1) -9=0
【学生活动】移项得4(x-1) =9，即(x-1) =，适合用直接开平方法。x-1=±，x =，x =。
(2) x +6x=1
【学生活动】x +6x-1=0，不易因式分解，适合用配方法或公式法。配方法：x +6x+9=10，(x+3) =10，x=-3±√10。
(3) 3x -4x=5
【学生活动】化为3x -4x-5=0，不易因式分解，适合用公式法。a=3，b=-4，c=-5，Δ=16+60=76，x=(4±√76)/6。
(4) (2x+1) -4x-2=0
【学生活动】左边展开得4x +4x+1-4x-2=0，即4x -1=0，(2x+1)(2x-1)=0，适合用因式分解法。x =，x =。
【教师活动】非常好！同学们已经能够根据方程特征灵活选择解法了。
【设计意图】通过四道判断选择解法的练习，引导学生根据方程特征灵活选择最优解法，培养"一题多法"和"优选方法"的意识。
三、随堂练习（教材第14页练习第1题）
【教师活动】请同学们用因式分解法完成教材第14页练习第1题。
(1) x +x=0
【学生活动】因式分解得x(x+1)=0，所以x =0，x =-1。
(2) 3x -6x=-3
【学生活动】移项得3x -6x+3=0，即3(x -2x+1)=0，3(x-1) =0，所以x =x =1。
(3) 4x -81=0
【学生活动】因式分解得(2x+9)(2x-9)=0，所以x =，x =。
(4) 3x(2x+1)=4x+2
【教师活动】这道题需要先化为一般形式。
【学生活动】展开得6x +3x=4x+2，移项得6x -x-2=0，因式分解得(3x-2)(2x+1)=0，所以x =，x =。
解题策略：第(5)题3x(2x+1)=4x+2，需要先展开、移项、合并同类项化为一般形式，再用十字相乘法因式分解。十字相乘法口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中。6x 分解为3x和2x，-2分解为-2和1，交叉相乘3x×1+2x×(-2)=3x-4x=-x，恰好是中项系数。
(5) (x-4) =(5-2x)
【教师活动】这道题直接展开会很繁琐，有没有更巧妙的方法？
【学生活动】可以利用平方差公式！移项得(x-4) -(5-2x) =0，[(x-4)+(5-2x)][(x-4)-(5-2x)]=0，即(1-x)(3x-9)=0，所以x =1，x =3。
【教师活动】非常巧妙！第(6)题如果不加观察直接展开，计算量会很大，但利用平方差公式a -b =(a+b)(a-b)就变得非常简单。
解题策略：形如(x-4) =(5-2x) 的方程，移项后利用平方差公式a -b =(a+b)(a-b)进行因式分解，比直接展开更简便。这是因式分解法中"公式法"的巧妙应用，体现了"先观察、再选择方法"的解题思想。
【设计意图】教材第14页练习第1题是本课时的核心练习，6道题覆盖了因式分解法的各种典型情况：提公因式法(1)、完全平方公式(3)、平方差公式(4)、十字相乘法(5)、平方差公式的巧妙运用(6)。由易到难，层层递进，帮助学生全面掌握因式分解法。
四、拓展提高——圆形场地问题
【教师活动】我们再来看一道实际问题。
圆形场地的半径增加5m后，面积之比为9:4，求小圆半径。
【教师活动】设小圆半径为r，请同学们列出方程。
【学生活动】设小圆半径为r，则大圆半径为r+5。面积之比为π(r+5) :πr =9:4。
解：
直接开平方，得
（因为r>0，所以取正）
答：小圆半径为10m。
【教师活动】这道题虽然没有直接用到因式分解法，但它体现了"实际问题—建立方程—选择解法—求解验证"的完整过程，而且比例式(r+5) /r =可以直接开平方，非常巧妙。
【设计意图】圆形场地问题是教材中的一道典型应用题，通过面积之比建立方程，综合运用了直接开平方法和比例性质。虽然本题没有用因式分解法，但放在本节教学中，可以让学生体会"不同问题适合不同解法"的灵活思想。
环节五：课堂小结（3分钟）
【教师活动】同学们，今天我们学习了因式分解法解一元二次方程。请大家一起来回顾一下本节课的核心内容。
【学生活动】因式分解法的概念：将方程左边因式分解，右边等于0，然后利用"如果ab=0，那么a=0或b=0"来求解。
【学生活动】因式分解法的步骤：一移——将方程右边化为0；二分——将方程左边因式分解为两个一次因式的乘积；三化——令每个因式分别等于0；四解——解两个一元一次方程。
【学生活动】选择因式分解方法的一般顺序：先提取公因式，再看平方差公式或完全平方公式，最后用十字相乘法。
【学生活动】解一元二次方程时，应根据方程特征灵活选择解法：能用因式分解法优先用因式分解法，其次直接开平方法，最后公式法。
【教师活动】总结得非常全面！因式分解法是四种解法中最简便的一种，但也是最讲究"因题制宜"的一种。希望同学们课后多加练习，熟练掌握因式分解的方法，提高选择最优解法的能力。
【知识点】一、因式分解法概念：将方程左边因式分解，右边=0，利用ab=0则a=0或b=0求解。二、基本步骤：一移、二分、三化、四解。三、因式分解方法选择：提公因式→公式法→十字相乘法。四、解法选择策略：因式分解法优先，直接开平方法次之，公式法最后。
【设计意图】通过师生共同总结，梳理本节课的核心知识——因式分解法的概念、步骤、因式分解方法的选择顺序、解法选择策略，帮助学生形成完整的知识体系。强调"因题制宜"的灵活思想。
四、板书设计
25.2.3 因式分解法 一、因式分解法概念
物体上抛问题： 10x-5x =0 → 5x(2-x)=0 → x =0, x =2 通过因式分解，使方程化为两个 一次式的乘积等于0的形式 依据：ab=0 a=0或b=0
二、基本步骤 三、因式分解方法选择
一移：使方程右边为0 二分：左边因式分解 三化：每个因式分别等于0 四解：解两个一次方程 ①提公因式法 ②公式法（平方差、完全平方） ③十字相乘法
四、例题 五、解法选择策略
例4(1) x(x-2)+x-2=0 → (x-2)(x+1)=0 → x =2, x =-1 例4(2) 移项→4x -1=0 → (2x+1)(2x-1)=0 → x =- , x = 因式分解法优先 →直接开平方法 →公式法
五、教学反思
1. 学生是否真正理解了因式分解法的核心依据"ab=0则a=0或b=0"？能否将这一原理正确应用到解方程中？在"牛刀小试"环节，学生是否能直接从(x+2)(x-3)=0读出根，而不需要过多的中间步骤？
2. 学生对因式分解方法的掌握程度如何？能否根据方程特征灵活选择提公因式法、公式法（平方差、完全平方）、十字相乘法？在遇到3x(2x+1)=4x+2这类需要先展开再移项才能因式分解的方程时，学生是否感到困难？
3. 易错点是否得到有效预防？如x =x不能直接除以x、形如(x-4) =(5-2x) 的方程应利用平方差公式而非直接展开等。学生是否养成了"先观察、再选择方法"的良好习惯？
4. 解法选择策略的教学是否到位？学生是否能根据方程特征，在因式分解法、直接开平方法、配方法、公式法中选择最优解法？是否建立了"因式分解法优先"的意识？
5. 课堂练习的题量和难度是否适合学生的实际水平？从已因式分解好的方程到需要自己因式分解的方程，再到需要先移项变形才能因式分解的方程，梯度设置是否合理？
6. 如何在本节课后进一步巩固因式分解法，为后续学习一元二次方程根与系数的关系做好衔接？是否需要增加因式分解法与公式法的对比练习？

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