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教案：25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
课题 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 课型 新授课
课时 1课时（45分钟） 教材版本 人教版九年级上册 第二十五章
教学方法 启发引导、探究发现、讲练结合 教学用具 多媒体课件
教材分析 本节课选自人教版九年级上册第二十五章"一元二次方程"中25.2.4一元二次方程的根与系数的关系。学生在前面已经学习了直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法解一元二次方程，掌握了求根公式和判别式。本节课在此基础上，引导学生探究一元二次方程的两根与系数之间的定量关系，即韦达定理。韦达定理揭示了方程根与系数的内在联系，是代数中一条重要的定理，不仅在解方程中有广泛应用，也是后续学习二次函数、解析几何等内容的基础。本节课通过求根公式推导和因式分解推导两种方法，让学生从不同角度理解韦达定理的本质，培养学生的探究能力和数学思维品质。
学情分析 学生已掌握一元二次方程的四种解法，会使用求根公式和判别式。但对于"根与系数的关系"这一知识点，学生可能从未思考过，缺乏直观感知。通过求根公式推导，学生能机械地计算出x +x 和x x ，但需要教师引导才能发现规律。因式分解推导法对学生的抽象思维要求较高，需要教师放慢节奏，逐步引导。此外，学生在应用韦达定理时，容易忽略"先化为一般形式"和"判别式Δ≥0"这两个前提条件，需要教师反复强调。
一、核心素养目标
1. 数学运算
能熟练运用根与系数的关系，不解方程求出一元二次方程两根之和与两根之积；能利用根与系数的关系进行代数式变形（如x +x 、(x -x ) 、|x -x |等），提高代数运算的准确性和灵活性。
2. 逻辑推理
通过求根公式推导和因式分解推导两种方法探索根与系数的关系，经历"观察—猜想—验证—归纳"的完整探究过程，体会数学发现的方法论，发展合情推理和演绎推理能力。通过含参数方程中韦达定理的应用，培养学生的分类讨论思想。
3. 数学建模
体会根与系数关系在解决实际问题中的桥梁作用，感受"以根求系数"和"以系数求根的关系"的对称美，增强对数学内在规律的认识，培养数学建模意识。
二、教学重难点
教学重点
1. 理解并掌握一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：若x 、x 是ax +bx+c=0(a≠0)的两根，则x +x =-b/a，x x =c/a。
2. 能利用根与系数的关系，不解方程求一元二次方程两根之和与两根之积。
3. 能利用根与系数的关系进行代数式变形和求值，解决已知一根求另一根及系数的问题。
教学难点
1. 韦达定理的两种推导方法（求根公式法、因式分解法），尤其是因式分解推导法的理解和接受。
2. 灵活运用根与系数的关系进行代数式变形，如x +x =(x +x ) -2x x 、(x -x ) =(x +x ) -4x x 等。
3. 使用韦达定理时注意前提条件：Δ=b -4ac≥0，a≠0，且方程必须先化为一般形式。
三、教学过程
环节一：情境导入（5分钟）
【教师活动】同学们，前面我们学习了一元二次方程的四种解法：直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法。请同学们回忆一下，一元二次方程的求根公式是什么？
【学生活动】对于一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0)，当Δ=b -4ac≥0时，求根公式为：x=。
【教师活动】很好！那如何用判别式b -4ac来判断一元二次方程根的情况呢？
【学生活动】对一元二次方程ax +bx+c=0(a≠0)：当b -4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当b -4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b -4ac<0时，方程无实数根。
【教师活动】非常好！那么，同学们有没有想过一个问题：方程的两根x 和x 与系数a、b、c之间，除了求根公式外，还有其他关系吗？今天我们就来探索这个问题。
【过渡语】从求根公式和判别式出发，自然引出"根与系数之间还有没有其他关系"的疑问，激发学生的探究欲望。
【设计意图】通过复习求根公式和判别式，为探究根与系数的关系做好知识铺垫。学生已经熟悉求根公式，教师引导他们从"求根"转向"研究根与系数的关系"，实现思维方向的转变。
环节二：新知探究（18分钟）
一、求根公式法推导根与系数的关系
【教师活动】请同学们观察求根公式，计算x +x 和x x ，看看能得到什么结论。
【学生活动】设方程ax +bx+c=0(a≠0)的两根为x 和x ，则：
【学生活动】计算x +x 时，含根号的两项一正一负抵消：
【学生活动】计算x x 时，利用平方差公式消去根号：
【教师活动】非常好！我们发现：相加可以消去根号，相乘也可以去掉根号。由此得到两个简洁的结论：两根之和等于-b/a，两根之积等于c/a。这就是著名的韦达定理！
【知识点】韦达定理：若x 、x 是一元二次方程ax +bx+c=0（a≠0）的两个根，则x +x =-b/a，x x =c/a。
【过渡语】从求根公式出发，通过代数运算发现根与系数之间的简洁关系，让学生体验数学发现的乐趣。
【设计意图】求根公式推导法是韦达定理最直接的推导方式。学生通过计算x +x （相加消去根号）和x x （相乘用平方差公式消去根号），亲身体验了"发现"的过程，印象深刻。
二、因式分解法推导根与系数的关系
【教师活动】除了用求根公式推导，还有其他方法得出上述关系吗？
【学生活动】如果一元二次方程ax +bx+c=0的两个根为x 和x ，那么根据因式分解法的原理，方程左边可以写成a(x-x )(x-x )。反过来，如果ax +bx+c=0的左边可以分解因式为a(x-x )(x-x )，那么方程的两个根为x 和x 。
【教师活动】很好！我们来推导一下。
将a(x-x )(x-x )展开：
比较系数，可得：
即：
【教师活动】两种方法殊途同归，都得到了相同的结论。因式分解推导法从"方程根的定义"出发，更加本质地揭示了根与系数之间的内在联系。
【过渡语】通过因式分解法再次推导，让学生从不同角度理解韦达定理的本质，加深对定理的理解。
【设计意图】因式分解推导法体现了"根的定义"与"因式分解"的深层联系，让学生感受到数学知识之间的内在统一性。两种推导方法相辅相成，从代数运算和方程结构两个角度揭示韦达定理。
三、知识要点归纳
【教师活动】请同学们注意，使用韦达定理时有一些重要的前提条件。
易错防范：1. 方程必须是一元二次方程，即二次项系数a≠0；2. 方程必须有实数根，即判别式Δ=b -4ac≥0；3. 使用前必须将方程化为一般形式ax +bx+c=0，确定a、b、c的值。
【知识点】韦达定理：若x 、x 是ax +bx+c=0(a≠0,Δ≥0)的两根，则x +x =-b/a，x x =c/a。使用步骤：先整理成一般式 → 确定a,b,c的值 → 检验Δ≥0 → 代入公式。
四、代数式常见变形
【教师活动】在解题中，我们还经常需要对与两根有关的代数式进行变形，下面是一些常见的变形公式。
与一元二次方程两根有关的代数式的常见变形：
方法归纳：以上代数式变形的核心思想是"化归"——将含两根的复杂代数式转化为只含x +x 和x x 的表达式，再利用韦达定理代入求值。牢记这些变形公式，可以大大提高解题效率。
【设计意图】代数式变形是韦达定理应用的重要延伸。通过将x +x 、(x -x ) 等复杂代数式转化为x +x 和x x 的组合，建立"根的关系"到"系数"的桥梁，体现了化归思想。
五、牛刀小试
【教师活动】下面我们来检验一下韦达定理的运用。
牛刀小试2：设x 、x 是方程2x +4x-3=0的两个根，求：
(1) x x + x x
【学生活动】由韦达定理：x +x =，x x =。利用变形公式：x x +x x =x x (x +x )=。
(2) (x - x )
【学生活动】利用变形公式：(x -x ) =(x +x ) -4x x =(-2) -4×()=4+6=10。
【教师活动】非常好！同学们已经初步掌握了韦达定理和代数式变形的综合运用。
【设计意图】牛刀小试以具体方程为例，让学生体验韦达定理和代数式变形的综合运用。通过先求x +x 和x x ，再代入变形公式，建立完整的解题思路。
环节三：例题精讲（8分钟）
例5——根据根与系数的关系求两根之和与积
【教师活动】下面我们来看例5。根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x 、x 的和与积。
例5 (1) x - 6x - 15 = 0
【教师活动】首先确定系数a、b、c。
【学生活动】a=1, b=-6, c=-15。
解：
例5 (2) 3x + 7x - 9 = 0
【学生活动】a=3, b=7, c=-9。
解：
例5 (3) 5x - 1 = 4x
【教师活动】注意！这个方程不是一般形式，要先化为一般形式。
【学生活动】移项化为一般形式：4x -5x+1=0。所以a=4, b=-5, c=1。
解：化为一般式 4x -5x+1=0
易错提示：第(3)题5x-1=4x 不是一般形式，必须先化为一般形式4x -5x+1=0再确定a、b、c的值。如果直接按照原式读系数，会得到错误的结果。这是韦达定理应用中最常见的错误之一！
【设计意图】例5的三道题由易到难，第(1)题直接给出一元二次方程的一般形式，第(2)题系数出现分数，第(3)题需要先化为一般形式。通过这三道题，让学生掌握韦达定理的基本应用，并强化"先化为一般形式"的意识。
环节四：课堂练习（12分钟）
一、随堂练习——已知一根求另一根及系数
【教师活动】随堂练习2：已知方程5x +kx-6=0的一根是2，则另一根是______，k=______。
【学生活动】设另一根为x ，由韦达定理：x ×2=，得x =。再由x +2=，得，即，所以k=-7。
【教师活动】非常好！这类题利用了韦达定理中"两根之积"的关系先求出另一根，再利用"两根之和"求出k。
【设计意图】已知一根求另一根及系数，是韦达定理的典型应用之一。通过两根之积先求另一根，再通过两根之和求系数，思路清晰，便于学生掌握。
二、教材练习3——不解方程求两根和与积
【教师活动】下面请同学们完成教材第16页练习第3题。不解方程，求下列方程两个根x 、x 的和与积。
(1) x - 3x = 15
【学生活动】化为一般式：x -3x-15=0，a=1, b=-3, c=-15。
解：方程化为 x -3x-15=0
(2) 3x + 2 = 1 - 4x
【学生活动】移项得3x +4x+1=0，a=3, b=4, c=1。
解：方程化为 3x +4x+1=0
(3) 5x - 1 = 4x - x
【学生活动】移项合并得x +x-1=0，a=1, b=1, c=-1。
解：方程化为 x +x-1=0
(4) 2x - x + 2 = 3x + 1
【学生活动】移项合并得2x -4x+1=0，a=2, b=-4, c=1。
解：方程化为 2x -4x+1=0
【教师活动】注意，这四道题都需要先化为一般形式，再确定a、b、c的值。第(4)题中2x -x+2=3x+1，移项得2x -4x+1=0，这是关键步骤。
【设计意图】教材练习3的四道题都要求"不解方程"求两根和与积，目的是让学生体会韦达定理的优越性——不需要解方程，直接通过系数就能得到根的关系。同时，四道题都需要先化为一般形式，强化了使用韦达定理的前提条件。
三、练习4——利用根与系数关系求代数式的值
【教师活动】练习4：已知x +x =-2，x x =-100，求下列各式的值。
(1) x + x
【学生活动】x +x =(x +x ) -2x x =(-2) -2×(-100)=4+200=204。
(2) (x - 3)(x - 3)
【学生活动】(x -3)(x -3)=x x -3(x +x )+9=-100-3×(-2)+9=-100+6+9=-85。
【教师活动】第(3)题需要先展开再代入，注意展开时符号不要出错。
解题策略：求含两根代数式的值时，一般步骤：①将代数式变形为只含x +x 和x x 的表达式；②代入韦达定理求出的值；③计算结果。注意展开时保持符号正确。
【设计意图】练习4直接给出x +x 和x x 的值，跳过了"从方程求系数关系"这一步，让学生专注于代数式变形和代入求值，降低难度，强化变形公式的运用。
四、练习5——含参数的韦达定理应用
【教师活动】练习5：已知关于x的方程x -(2m+3)x+m =0的两根之和等于两根之积，求m的值。
【学生活动】设方程x -(2m+3)x+m =0的两根为x 、x 。由韦达定理：x +x =2m+3，x x =m 。
解：设方程的两根为x 、x ，则
根据题意，两根之和等于两根之积：
【教师活动】得到m=3或m=-1。但别忘了检验！韦达定理的使用前提是判别式Δ≥0。
检验：
所以m的值为3。
易错提示：含参数问题中，求出参数值后一定要检验判别式Δ≥0是否成立！因为韦达定理的前提是方程有实数根。本题中m=-1虽然满足"两根之和等于两根之积"，但此时方程无实数根，必须舍去。
【设计意图】练习5是一道含参数的韦达定理综合题，需要学生：①用韦达定理表示两根之和与积；②根据条件列出关于m的方程；③解方程求m；④检验判别式。这道题考查了韦达定理的全面运用，同时渗透了"分类讨论"的数学思想——对于求出的m值，必须检验是否满足Δ≥0。
环节五：课堂小结（2分钟）
【教师活动】同学们，今天我们一起探索了一元二次方程的根与系数的关系。请大家来回顾一下本节课的核心内容。
【学生活动】韦达定理：若x 、x 是方程ax +bx+c=0(a≠0)的两根，则x +x =-b/a，x x =c/a。
【学生活动】使用韦达定理时要注意前提条件：先整理成一般形式，二次项系数不为0，确定a、b、c的值，判别式Δ=b -4ac≥0。
【学生活动】常见的代数式变形：x +x =(x +x ) -2x x ；(x -x ) =(x +x ) -4x x ；x x +x x =x x (x +x )。
【学生活动】含参数问题中求出参数值后，一定要检验判别式Δ≥0，舍去使方程无实数根的值。
【教师活动】总结得很全面！韦达定理是沟通方程系数与根之间的桥梁，在代数中有着广泛的应用。希望同学们课后多加练习，熟练掌握韦达定理及其变形。
【知识点】一、韦达定理：x +x =-b/a，x x =c/a。二、使用前提：a≠0，Δ≥0，先化为一般形式。三、常见变形：x +x =(x +x ) -2x x ；(x -x ) =(x +x ) -4x x ；x x +x x =x x (x +x )。四、含参数问题：求出参数后必须检验Δ≥0。
【设计意图】通过师生共同总结，帮助学生梳理本节课的核心知识体系——韦达定理的内容、使用前提、代数式变形和含参数应用，形成完整的知识结构。强调"先检验Δ≥0"的易错点，加深学生印
【教师活动】下节课我们将继续学习一元二次方程的应用，请同学们利用今天学习的韦达定理，完成课后作业，巩固根与系数关系的灵活运用。
四、板书设计
25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 一、韦达定理（求根公式推导）
x +x = -b/a x x = c/a （a≠0, Δ=b -4ac≥0） x =(-b+)/2a, x =(-b-)/2a 相加消去根号 → x +x =-b/a 相乘用平方差 → x x =c/a
二、因式分解推导 三、使用前提
ax +bx+c=a(x-x )(x-x ) 展开比较系数 → -a(x +x )=b, ax x =c ①a≠0（二次项系数不为0） ②Δ≥0（方程有实数根） ③先化为一般形式确定a,b,c
四、代数式常见变形 五、例题
x +x =(x +x ) -2x x (x -x ) =(x +x ) -4x x |x -x |=√[(x +x ) -4x x ] x x +x x =x x (x +x ) 例5 (1) x -6x-15=0 → x +x =6, x x =-15 例5 (2) 3x +7x-9=0 → x +x =-7 3, x x =-3
六、牛刀小试 七、含参数问题
方程2x +4x-3=0 x x +x x =x x (x +x )=3 (x -x ) =(x +x ) -4x x =10 x -(2m+3)x+m =0 x +x =x x → m =2m+3 m=3或m=-1（舍，Δ<0） ∴ m=3
五、教学反思
1. 学生是否真正理解了韦达定理的推导过程？求根公式推导法（相加消去根号、相乘用平方差公式消去根号）是否让学生感到自然？因式分解推导法是否超出了部分学生的理解能力？是否需要放慢节奏，给予更多的时间让学生消化吸收？
2. 学生对韦达定理的使用前提是否足够重视？在例5第(3)题5x-1=4x 中，学生是否养成了"先化为一般形式再确定a、b、c"的习惯？在练习5中，学生是否主动检验了判别式Δ≥0？是否还有学生直接将m=-1作为答案？
3. 代数式变形公式的掌握情况如何？x +x =(x +x ) -2x x 、(x -x ) =(x +x ) -4x x 等变形公式，学生是否能够熟练运用？在牛刀小试和练习中，能否独立完成从"已知方程"到"求代数式值"的完整过程？
4. 课堂练习的梯度设置是否合理？从例5（直接求两根和与积）到牛刀小试（代数式变形求值）到练习4（已知关系求代数式值）到练习5（含参数综合题），难度递进是否自然？学生的接受度如何？
5. 韦达定理的"对称美"是否得到了充分展示？学生是否感受到了"根与系数"之间的简洁对称关系？是否激发了学生对数学内在规律的探究兴趣？
6. 如何在本节课后进一步巩固韦达定理的应用？是否需要布置一些"已知一根求另一根""已知两根关系求参数"等类型的变式练习？如何为后续学习二次函数的图像与性质做好衔接？

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