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教案：25.3 实际问题与一元二次方程（第3课时 循环问题与销售问题）
课题 25.3 实际问题与一元二次方程
第3课时 循环问题与销售问题 课型 新授课
课时 1课时（45分钟） 教材版本 人教版九年级上册 第二十五章
教学方法 启发引导、探究发现、讲练结合 教学用具 多媒体课件
教材分析 本节课选自人教版九年级上册第二十五章"一元二次方程"中25.3实际问题与一元二次方程的第3课时。在前面学生已经学习了第1课时"数字问题与几何图形问题"和第2课时"传播问题与平均变化率问题"，掌握了列一元二次方程解应用题的一般步骤和常见模型。本节课将一元二次方程应用于循环问题（单循环与双循环）和销售利润问题，重点解决两类典型模型：循环问题中单循环公式 n(n-1)/2 与双循环公式 n(n-1) 的辨析，以及销售问题中"降价增销"的数量关系。通过本节课的学习，学生将掌握循环问题的两类公式、销售问题的利润建模方法，以及"检验"在实际问题中的关键作用（如售价需满足成本约束、人数需为正整数等）。本节课是培养学生数学建模能力的重要载体，为后续学习二次函数最值问题等奠定基础。
学情分析 学生已掌握一元二次方程的多种解法以及列方程解应用题的一般步骤（审、设、列、解、验、答），在前两课时的学习中已经初步建立了"实际问题→方程模型"的思维框架。但对于循环问题，学生容易混淆"单循环"与"双循环"的公式区别（究竟除以2还是不除以2？）；对于销售问题，学生需要理清"售价、成本、销量、利润"四个变量之间的关系，尤其是"降价导致销量增加"的线性关系建模。此外，学生在检验环节容易忽略实际约束条件（如售价不能低于成本、人数不能为负数或小数等），需要教师在教学中反复强调。本节课将通过对比教学和实际情境模拟，帮助学生建立清晰的模型认知。
一、核心素养目标
1. 数学建模
能正确分析循环问题和销售利润问题中的数量关系，将实际问题抽象为一元二次方程模型。在循环问题中理解"单循环"与"双循环"的本质区别（是否重复计数），掌握与n(n-1)两类公式的适用场景；在销售问题中理解"售价、成本、销量、利润"四个变量之间的函数关系，建立"降价增量"的线性模型。体会数学建模从现实情境中抽象数量关系的一般过程。
2. 逻辑推理
经历"审题—设元—列方程—解方程—检验—作答"的完整解题过程，培养严谨的逻辑推理能力。在循环问题中，通过类比比赛、握手、对角线等不同情境，归纳出统一的单循环公式，体会从特殊到一般的归纳推理。在解的检验环节，能结合实际问题情境判断解的合理性（如人数不能为负数或小数、售价不能低于成本等），发展批判性思维。
3. 数学运算
能熟练运用因式分解法、公式法等解一元二次方程，并准确代入实际问题中进行检验。在处理循环问题中出现的较大数字方程（如=171）时，能灵活选择合适的方法求解；在处理销售问题中出现的可因式分解的方程时，能快速准确地完成运算。
4. 数学抽象与应用意识
能理解循环问题中"单循环"与"双循环"的数学本质——前者是组合数C(n,2)，后者是排列数A(n,2)。能从比赛、握手、对角线、互赠礼物等具体情境中抽象出统一的数学模型，并运用模型解决新的实际问题。在销售问题中，能理解"降价1元，多售2件"这种线性关系，并将这种关系推广到一般情境。
二、教学重难点
教学重点
1. 理解循环问题（单循环、双循环）的数量关系，能正确列出一元二次方程。
2. 掌握销售利润问题的核心公式：利润 = 每件利润 × 销售量，并据此建立方程。
3. 规范解题步骤，根据实际意义检验并合理取舍方程的根。
教学难点
区分单循环与双循环，准确理解并建立对应的等量关系。
2. 销售问题中，价格变化与销售量变化的反向关系分析，正确表示 “单价” 和 “销量” 的代数式。
3. 将复杂的实际情境抽象转化为一元二次方程数学模型。
三、教学过程
环节一：情境导入（3分钟）
【教师活动】同学们，前两节课我们学习了一元二次方程在数字问题、几何图形问题、传播问题和平均变化率问题中的应用。今天，我们将继续探索一元二次方程在实际问题中的另外两类重要应用——循环问题和销售问题。首先，请同学们回忆一下我们已经学过的排球邀请赛问题，思考它是如何用一元二次方程解决的。
【学生活动】要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛1场）。根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛。设应邀请x支球队参赛，根据题意可列得方程=28，整理得x -x-56=0，解得x =8，x =-7（舍去），所以应邀请8支球队参赛。
【教师活动】非常好！这个问题中，我们列出的方程是=28。为什么是x(x-1)再除以2呢？因为每两支球队之间只比赛1场，A队对B队和B队对A队是同一场比赛，不能重复计数。这种"记数不重复"的问题，我们称之为单循环问题。今天，我们就要系统学习循环问题的分类和解题方法，以及另一类重要的实际问题——销售利润问题。
【过渡语】从学生熟悉的排球邀请赛问题出发，唤醒学生对单循环问题的已有认知，自然引出"单循环"与"双循环"的分类话题。同时为销售问题的引入做好铺垫，让学生明确本节课的学习目标。
【设计意图】通过复习旧知引出新课，帮助学生建立知识之间的连接。排球邀请赛问题是学生已经掌握的内容，以此为起点展开循环问题的系统学习，符合学生的认知规律，降低了新课的学习难度。
环节二：新知探究 —— 循环问题（15分钟）
一、探究3——主客场双循环问题
【教师活动】刚才我们回顾了单循环比赛问题。现在，如果赛制改变——每两支球队之间要比赛2场，分别在各自的主场进行，那么总场数会如何变化？请看探究3。
探究3：若干支球队进行主客场双循环比赛，有人说，我算出总场数正好是300。他算得对吗？为什么？
【教师活动】分析：主客场双循环比赛，意味着每两支球队之间比赛2场——A队主场对B队，B队主场对A队。这两场比赛是不同的，需要分别计数。如果有n支球队，每支球队都要与其他(n-1)支球队各赛2场，所以总场数为n(n-1)。请同学们注意，这里不需要除以2，因为AvsB和BvsA是两场不同的比赛！
假设这个人算得对，即n支球队进行主客场双循环比赛的总场数为300，那么n(n-1)=300，整理得。
解：设参加比赛的球队有n支。
根据主客场双循环比赛的规则，总场数为：
假设总场数为300，则：
计算判别式：
由于不是整数，即1201不是完全平方数，所以方程的解n不是整数。
因此，总场数不可能为300，这个人算得不对。
解题策略：主客场双循环问题的核心是"每两队之间比赛2场，分别计数"。总场数公式为n(n-1)。判断总场数是否可能为某个数，只需看方程的判别式是否为完全平方数。
探究3通过"判断总场数是否为300"这个开放性问题，引导学生从"列方程求解"上升到"判断解是否存在"的更高层次。关键是理解主客场双循环的总场数公式n(n-1)与单循环的本质区别，以及判别式在实际问题中的应用。
【设计意图】探究3以"判断正误"的形式呈现，将问题从"解方程"提升到"利用判别式判断解的存在性"的层次，渗透了"存在性"这一数学思想。同时，通过主客场双循环与单循环的对比，帮助学生建立两类循环问题的直观认知。
二、变式1——足球赛单循环问题
【教师活动】下面我们来看一道变式练习，巩固单循环问题的解法。请同学们独立完成，然后请一位同学分享解题思路。
变式1：某县团委倡导"我运动，我健康，我快乐"的生活方式，准备组织一次共青团员青年足球赛，参赛的每两队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件限制，赛程计划安排9天，每天安排5场比赛，则该县团委应邀请多少支足球队参赛？
【学生活动】先算出总场数：9x5=45场。每两队之间比赛一场，是单循环问题，公式为x(x-1)/2=45。设邀请x支球队，则x(x-1)/2=45，整理得x -x-90=0，因式分解得(x-10)(x+9)=0，所以x =10，x =-9（舍去）。答：应邀请10支足球队。
解：设应邀请x支足球队参赛。
总场数：
根据单循环比赛规则，总场数为：
依题意，得：
解得：
答：该县团委应邀请10支足球队参赛。
方法归纳：足球赛单循环问题中，每两队之间只比赛一场，记数不重复，使用公式。注意：实际生活中，足球赛分组循环也可能采用主客场双循环制，审题时注意"每两队之间都要比赛一场"与"主客场双循环"的区别。
【设计意图】变式1是对排球邀请赛问题的巩固和迁移。通过改变情境（足球赛）和数字（45场），让学生再次熟悉单循环问题的解题步骤。同时，9x5=45的计算也训练了学生从题目中提取关键信息的能力。
三、变式2——握手问题
【教师活动】生活中还有一种常见的循环问题——握手问题。请同学们想一想，n个人参加聚会，每两人都握1次手，所有人共握了多少次手？
【学生活动】握手问题本质上也是单循环！n个人，每两人握1次手，A与B握手和B与A握手是同一次握手，不能重复计数。所以总握手次数为。
【教师活动】分析得很到位！握手问题中每两人之间只握1次手，记数不重复，公式为。现在请同学们解决下面的问题。
变式2：n个人参加聚会，每两人都握1次手，所有人共握手10次，共有多少人？
解：设共有n人。
根据握手问题的公式，总握手次数为：
依题意，得：
解得：
答：共有5人。
拓展思考：如果题目改为"每两人都握2次手"，那么总握手次数为n(n-1)（双循环）。如果题目改为"每两人互赠一张名片"，那么总赠名片数为n(n-1)（双循环，因为A赠B和B赠A是两张不同的名片）。关键看"是否重复计数"。
【设计意图】握手问题是对单循环公式的又一个应用场景，帮助学生认识到同一公式可以解决不同情境的问题。通过"握手"这一生活化的情境，加深学生对单循环本质——"无序配对"——的理解。
四、知识要点——循环问题分类
【教师活动】通过前面的学习，我们已经接触了多种循环问题。现在，请同学们来归纳总结一下循环问题的分类和公式。
【知识点】循环问题分为两类：一、单循环问题（记数不重复）——每两队之间只比赛1场、握手问题、多边形对角线问题。公式为。常见情境：比赛（每两队赛1场）、握手、多边形对角线（公式为，是单循环的特殊情况，因为每个顶点不能与自身及相邻顶点连线）。二、双循环问题（记数重复）——主客场（每两队赛2场）、互赠礼物。公式为n(n-1)。常见情境：主客场双循环比赛、互赠名片/礼物、互发短信（双向）。
【学生活动】我明白了！判断单循环还是双循环，关键看"记数是否重复"。如果A和B之间只算一次（如握手、比赛1场），就是单循环，用；如果A和B之间算两次（如主客场2场、互赠礼物），就是双循环，用n(n-1)。
易错防范：多边形对角线条数公式为，不是！原因：从n个顶点中任选2个，有条线段，但其中包括n条边，所以对角线有条。
【设计意图】通过知识要点的归纳总结，帮助学生建立循环问题的系统认知框架。单循环对应组合数C(n,2)，双循环对应排列数A(n,2)，从数学本质层面统一理解。同时强调多边形对角线的特殊公式，避免混淆。
【过渡语】通过探究3和两个变式，我们系统掌握了循环问题的两类模型——单循环和双循环。接下来，让我们学习另一种重要的实际问题类型——销售利润问题。这类问题在商品买卖、商业决策中有着广泛的应用。
环节三：新知探究 —— 销售问题（12分钟）
一、探究4——销售利润问题
【教师活动】在商业活动中，商家常常通过降价来增加销量，从而提高总利润。但降价也意味着单件利润减少。那么，到底降价多少才能使总利润最大或达到某个目标呢？这就是我们今天要学习的销售利润问题。
探究4：一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件。当每件商品降价多少元时，该商店每天的销售利润为1200元？
【教师活动】分析：这道题中有四个关键量——售价、成本、销量、利润。我们设每件商品降价x元。降价前：每件盈利40元，每天售出20件，每天总利润为40x20=800元。降价后：每件盈利变为(40-x)元，每天销量变为(20+2x)件。因为每降价1元多售2件，降价x元就多售2x件。
【学生活动】降价后的每天总利润为：(40-x)(20+2x)。要求这个总利润等于1200元，所以列出方程(40-x)(20+2x)=1200。注意：题目还有一个条件——每件盈利不少于25元，即40-x≥25，解得x≤15。这个条件在检验时非常重要！
解：设每件商品降价x元时，该商店每天的销售利润为1200元。
降价后，每件盈利为(40-x)元，每天销售量为(20+2x)件。
依题意，得：
解得：
检验：因为要求每件盈利不少于25元，所以40-x≥25，解得x≤15。
因此不符合条件，应舍去。
所以，x=10。
答：当每件商品降价10元时，该商店每天的销售利润为1200元。
解题策略：销售利润问题的核心公式：总利润 = 单件利润 x 销售数量。降价问题中，需要关注三个变化：单件利润减少（原利润-降价额），销售数量增加（原销量+增加的销量），总利润可能先增后减。本题中降价10元时，单件利润30元，销量40件，总利润30x40=1200元；降价20元时，单件利润20元，销量60件，总利润20x60=1200元，但20>15不满足每件盈利不少于25元的条件。
【设计意图】探究4是销售利润问题的经典模型。通过"降价增销"的情境，让学生理解"利润=(售价-成本)x销量"这一核心关系。同时，两个解x =10和x =20的取舍，再次强调了"检验"环节在实际问题中的重要性——不仅要检验正负，还要检验是否满足问题中的约束条件。
二、变式3——直播销售问题
【教师活动】现在，让我们来看一道与生活密切相关的直播销售问题。请同学们注意，这道题中"降价"的单位是"每5元"，而不是"每1元"，需要仔细处理。
变式3：直播购物逐渐走进了人们的生活。某电商在平台上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件。通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件。若日销售利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？
【教师活动】分析：原来按60元销售时，日利润=(60-40)x20=400元。现在要求日利润保持不变，还是400元。设降价5x元（注意：因为每降低5元，所以设降价5x元更方便），则售价为(60-5x)元，日销量为(20+10x)件。
【学生活动】设降价5x元，则售价为(60-5x)元，日销量为(20+10x)件。日利润=(60-5x-40)(20+10x)=(20-5x)(20+10x)。令其等于400，化简得(20-5x)(20+10x)=400。展开：400+200x-100x-50x =400，即-50x +100x+400=400，化简得-50x +100x=0，即x(50x-100)=0，解得x =0，x =2。x=0时售价60元，销量20件；x=2时售价50元，销量40件。商家想尽快销售完，应选售价50元。
解：设降价5x元，则每件售价为(60-5x)元，日销售量为(20+10x)件。
原来日利润：
依题意，日利润保持不变，得：
解得：
当x=0时，售价为60元，日销量为20件；
当x=2时，售价为50元，日销量为40件。
商家想尽快销售完该款商品，故应选择售价为50元（日销量更大）。
答：每件售价应定为50元。
方法归纳：当降价量不是"每1元"而是"每k元"时，设降价kx元，可以简化方程。本题中降价5x元，售价=60-5x，销量=20+10x。注意：本题x=0也是一个解，但"尽快销售完"意味着要选择销量更大的方案，即x=2。实际问题中，方程的根可能有多个，需要结合问题情境选择最优解。
【设计意图】变式3将销售问题与"直播购物"这一时代热点结合，增强学生的学习兴趣。通过"每降价5元"（而非"每1元"）的设置，训练学生灵活处理"设元"的技巧。同时，"尽快销售完"这一条件引导学生从"解方程"上升到"选择最优解"，培养决策思维。
【知识点】销售问题"设元"技巧：当降价幅度不是"每1元"时，设降价量为kx（k为降价幅度），可简化方程。例如"每降价5元，销量增加10件"，设降价5x元，则售价 = 原价 - 5x，销量 = 原销量 + 10x。此技巧可避免方程中出现分数，计算更简洁。
三、知识要点——销售利润问题
【知识点】销售利润问题的核心公式：总利润 = 单件利润 x 销售数量。其中，单件利润 = 售价 - 成本。常见模型：降价问题——售价降低，单件利润减少，但销量增加。设降价x元，则单件利润 = 原利润 - x，销量 = 原销量 + 增销系数 x x。总利润 = (原利润 - x)(原销量 + 增销系数 x x)。注意检验：售价不能低于成本，降价不能超过原利润。
【设计意图】通过知识要点总结，帮助学生掌握销售利润问题的核心建模方法。强调"单件利润x销量"这一核心公式，以及"降价增量"的线性关系处理。
【过渡语】通过探究4和变式3，我们掌握了销售利润问题的建模方法。现在，让我们通过随堂练习来巩固今天所学的循环问题和销售问题。
环节四：课堂练习（13分钟）
一、随堂练习1——互赠礼物问题（双循环）
【教师活动】下面我们来做随堂练习，检验大家对循环问题和销售问题的掌握情况。首先看练习1。
随堂练习1：生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，全组共有多少名学生？
【教师活动】分析：这是互赠礼物问题。A赠给B和B赠给A是两件不同的标本，所以是双循环问题。设全组共有n名学生，则互赠总数为n(n-1)=182。
【学生活动】这是双循环问题，因为A赠给B和B赠给A是两件不同的标本，需要分别计数。设全组共有n名学生，则n(n-1)=182，整理得n2-n-182=0，因式分解得(n-14)(n+13)=0，所以n=14。答：全组共有14名学生。
解：设全组共有n名学生。
根据互赠礼物的规则，总赠出数为：
依题意，得：
解得：
答：全组共有14名学生。
二、随堂练习2——画直线问题（单循环）
【教师活动】接下来看练习2，这是一道几何情境下的循环问题。
随堂练习2：已知平面上有n个点，其中任意3个点都不在一条直线上。小王经过每两点画一条直线，共画了171条直线，则该平面上共有多少个点？
分析：平面上n个点，每两点确定一条直线，任意3点不共线，所以确定直线的条数为。这是单循环问题——点A和点B确定的直线与点B和点A确定的是同一条直线。
【学生活动】每两点确定一条直线，且每条直线只算一次，这是单循环问题。设平面上共有n个点，则，整理得n^{2}-n-342=0，因式分解得(n-19)(n+18)=0，所以n=19。答：共有19个点。
解：设平面上共有n个点。
每两点确定一条直线，直线的总条数为：
依题意，得：
解得：
答：该平面上共有19个点。
对比辨析：练习1（互赠礼物）是双循环，公式为n(n-1)；练习2（画直线）是单循环，公式为。关键区别：A赠给B和B赠给A是两件不同的标本（记数重复），而A与B确定的直线和B与A确定的是同一条直线（记数不重复）。审题时务必判断"记数是否重复"！
三、随堂练习3——多边形对角线问题
【教师活动】下面这道题是循环问题的一个特殊应用——多边形对角线问题。请同学们注意对角线公式与一般单循环公式的区别。
随堂练习3：一个凸多边形共有20条对角线，它是几边形？是否存在有18条对角线的多边形？
分析：n边形从一个顶点出发可以画(n-3)条对角线（不能连自身和相邻两个顶点），n个顶点共画n(n-3)条，但每条对角线被算了两次，所以对角线条数为。
【学生活动】第一问：设该多边形为n边形，则，整理得n^{2}-3n-40=0，因式分解得(n-8)(n+5)=0，所以n=8，是八边形。第二问：设，整理得n^{2}-3n-36=0，判别式，153不是完全平方数，所以n不是整数，不存在有18条对角线的多边形。
解：（1）设该多边形为n边形。
n边形的对角线条数公式为：
依题意，得：
解得：
答：该多边形是八边形。
（2）假设存在有18条对角线的多边形，则：
计算判别式：
由于不是整数，即153不是完全平方数，所以方程的解n不是整数。
因此，不存在有18条对角线的多边形。
易错防范：多边形对角线公式与一般单循环公式的区别：n个点两两连线共有条线段，但其中有n条是多边形的边，不是对角线，所以减去n条边：。
【设计意图】随堂练习3将循环问题与几何问题结合，既巩固了循环问题公式，又复习了多边形对角线的知识。第二问"是否存在"的问题，引导学生再次运用判别式判断解的存在性，与探究3形成呼应，体现了数学方法的统一性。
四、随堂练习4——销售利润综合题
【教师活动】最后一道练习是销售利润的综合题，涉及一次函数和一元二次方程的综合应用。
随堂练习4：某文创公司设计了一款黄蓝交汇纪念章，成本价为每个50元，售价x（元/个）与每天销售量y（个）的对应值如下表：
售价x（元/个）：50, 55, 60, 65
销售量y（个）：800, 700, 600, 500
（1）求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
（2）当售价定为每个多少元时，每天的利润可达到6000元？
【教师活动】分析：观察表格数据，售价每增加5元，销售量减少100个。所以y关于x是一次函数关系。设y=kx+b，代入两组数据求解。
【学生活动】（1）观察数据，售价每增加5元，销量减少100个，所以k=-20。代入x=50, y=800得，b=1800。所以y=-20x+1800。成本价为50元，售价不能低于成本，即x≥50；销量不能为负，即-20x+1800>0，x<90。所以自变量取值范围为50≤x<90。
【学生活动】（2）每天利润=(x-50)(-20x+1800)=6000。化简得-20x^{2}+2800x-90000=6000，即-20x^{2}+2800x-96000=0，x^{2}-140x+4800=0，因式分解得(x-60)(x-80)=0，解得x =60，x =80。但需要检验：x=80时，销量y=-20x80+1800=200>0，满足条件；但售价80元比60元更高，销量更少。两个解都满足条件，但题目没有特别要求，一般取两个解均可。
解：（1）观察表格数据，售价每增加5元，销售量减少100个，
因此销售量y与售价x的关系为一次函数，设y=kx+b。
由表格数据，代入x=50, y=800和x=55, y=700：
代入x=50, y=800：
所以：
自变量的取值范围：售价不低于成本价，即x≥50；销量需为正数，即-20x+1800>0，解得x<90。
所以自变量的取值范围为50≤x<90。
（2）设每天的利润为W元，则：
依题意，W=6000，得：
解得：
当x=60时，y=-20x60+1800=600；当x=80时，y=-20x80+1800=200。
两个解均满足50≤x<90，故售价定为每个60元或80元时，每天的利润均可达到6000元。
答：当售价定为每个60元或80元时，每天的利润可达到6000元。
解题策略：本题综合了一次函数和一元二次方程。第一步：从表格数据中找规律，确定y与x的函数关系（一次函数）；第二步：利用利润公式建立方程。注意：本题中两个解x =60和x =80都满足条件，说明售价60元和80元时利润相同，这是因为利润函数W=(x-50)(-20x+1800)是开口向下的二次函数，对称轴为x=70，60和80关于70对称。
【设计意图】随堂练习4是一次函数与一元二次方程的综合应用题，训练学生从表格数据中提取函数关系的能力。同时，两个解都满足条件的情况，引导学生思考二次函数对称性的本质，为后续学习二次函数最值问题做铺垫。
【过渡语】通过四道随堂练习，我们巩固了循环问题和销售利润问题的解题方法。现在，让我们对本节课的知识进行梳理和总结。
环节五：课堂小结（2分钟）
【教师活动】同学们，本节课我们学习了一元二次方程在循环问题和销售利润问题中的应用。请同学们回顾一下本节课的收获。
循环问题分为两类：单循环——记数不重复，公式为，常见于比赛（每两队赛1场）、握手、多边形对角线（特殊情况，公式为）；双循环——记数重复，公式为n(n-1)，常见于主客场双循环比赛、互赠礼物、互发短信。
【学生活动】循环问题的关键是判断"记数是否重复"——A与B之间只算一次还是算两次？只算一次用n(n-1)/2，算两次用n(n-1)。多边形对角线公式是n(n-3)/2，因为从n(n-1)/2条线段中减去n条边。
【学生活动】销售利润问题的核心公式是"总利润=单件利润x销售数量"。降价问题中，设降价x元，单件利润=原利润-x，销量=原销量+增销系数·x，然后建立方程。检验时要注意：售价不能低于成本，降价不能超过原利润。
销售利润问题的核心公式：总利润 = 单件利润 x 销售数量。降价模型：单件利润 = 原利润 - x，销量 = 原销量 + 增销系数 x x，总利润 = (原利润 - x)(原销量 + 增销系数 x x)。
【教师活动】同学们总结得非常全面！循环问题和销售利润问题是中考的重要考点，希望大家课后多加练习，熟练掌握两类问题的模型和公式的灵活运用。特别要注意：循环问题要区分单循环和双循环；销售问题要理清售价、成本、销量、利润四个量之间的关系，并注意检验解的合理性。
【知识点】本节课核心知识：一、循环问题两类模型——单循环（记数不重复：比赛、握手、对角线）与双循环n(n-1)（记数重复：主客场、互赠礼物）；二、多边形对角线公式（单循环的特殊情况，减去n条边）；三、销售利润问题核心公式——总利润=单件利润x销售数量，降价模型：(原利润-x)(原销量+kx)；四、检验环节——售价不能低于成本、人数必须为正整数、判别式判断解的存在性。
【设计意图】通过师生共同总结，帮助学生梳理本节课的核心知识体系。重点强调循环问题中单双循环的区分以及销售利润问题的建模方法，这是本节课的两条主线。
【教师活动】请同学们课后认真完成作业，巩固本节课所学的循环问题和销售利润问题的解题方法。下节课我们将继续学习一元二次方程在其他实际问题中的应用。
四、板书设计
25.3 实际问题与一元二次方程 第3课时 循环问题与销售问题 一、列方程解应用题的一般步骤
审 → 设 → 列 → 解 → 验 → 答 （检验：正负、范围、实际意义） 审：审题，找等量关系 设：设未知数 列：根据等量关系列方程 解：解方程 验：检验解的合理性 答：写出实际问题的答案
二、循环问题 三、循环问题——两类模型对比
【探究3】主客场双循环 n(n-1)=300 n -n-300=0 Δ=1201，不是完全平方数 → 总场数不可能为300 【变式1】足球赛单循环 =45 → x=10 【变式2】握手问题 =10 → n=5 单循环（记数不重复） n(n-1)/2 比赛(每两队1场)、握手 多边形对角线：n(n-3)/2 双循环（记数重复） n(n-1) 主客场、互赠礼物 【关键区别】 A与B之间算1次还是2次？
四、销售利润问题 五、销售利润——公式与注意事项
【探究4】降价销售 (40-x)(20+2x)=1200 x -30x+200=0 x =10, x =20(舍：x≤15) → 降价10元 【变式3】直播销售 (20-5x)(20+10x)=400 x =0, x =2 → 售价50元（尽快售完） 核心公式： 总利润=单件利润x销量 降价模型： 单件利润=原利润-x 销量=原销量+kx 总利润=(原利润-x)(原销量+kx) 检验：售价≥成本 降价≤原利润
六、随堂练习 七、课堂小结
1. 互赠礼物：n(n-1)=182 → n=14 2. 画直线：=171 → n=19 3. 对角线：=20 → n=8 =18 → Δ=153，不存在 4. y=-20x+1800 (x-50)(-20x+1800)=6000 → x =60, x =80 循环问题：单循环 双循环 n(n-1) 销售问题：总利润=单件利润x销量 降价模型：(原利润-x)(原销量+kx) 检验：实际约束条件 判别式：判断解的存在性
五、教学反思
1. 学生对循环问题的两类模型（单循环与双循环）是否已经清晰区分？在课堂练习中，学生能否快速判断"互赠礼物"属于双循环、"画直线"属于单循环？在变式练习中，学生是否能准确识别"每两队之间比赛1场"与"主客场双循环"的区别？
2. 多边形对角线问题中，学生是否理解对角线公式的推导过程？能否从"n个点两两连线的总条数减去n条边"来理解该公式？在随堂练习3中，学生是否能够独立完成"是否存在18条对角线的多边形"的判断？
3. 销售利润问题中，学生对"降价增量"的数量关系是否理解到位？在探究4中，学生是否能够独立完成从"降价x元"到"单件利润(40-x)"和"销量(20+2x)"的转化过程？在检验环节，学生是否主动利用"每件盈利不少于25元"这一条件舍去x=20？
4. 变式3（直播销售）中，学生是否能够灵活处理"每降价5元"的设元技巧？当方程解出x =0和x =2时，学生是否能够根据"尽快销售完"这一条件选择最优解？是否理解x=0也是合理的数学解，只是不符合实际需求？
5. 随堂练习4中，学生是否能够从表格数据中正确提取一次函数关系？从"售价每增加5元，销量减少100个"到"k=-20"的推导，学生是否能够独立完成？在利润方程求解中，是否能够正确处理两个都满足条件的解？
6. 利用判别式判断解的存在性（探究3和第二问对角线问题），学生是否掌握了这一方法？是否理解"判别式不是完全平方数→方程的解不是整数→实际问题中无整数解"的推理链条？
7. 课堂练习的梯度设置是否合理？从互赠礼物（双循环）、画直线（单循环）、对角线（特殊单循环）到销售综合题（一次函数+二次方程），是否覆盖了本节课的所有核心模型？学生完成情况如何？
8. 本节课的板书设计是否清晰地对比了单循环和双循环两类模型？板书中的"循环问题两类模型对比"表格是否有助于学生理解公式差异？销售利润问题的核心公式和降价模型是否在板书中得到了充分展示？

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