资源简介

教案：26.2.1 二次函数y=ax 的图象和性质
课题 26.2.1 二次函数y=ax 的图象和性质 课型 新授课
课时 1课时（45分钟） 教材版本 人教版九年级上册 第二十六章
教学方法 类比探究、数形结合、讲练结合 教学用具 多媒体课件、几何画板、坐标纸
教材分析 本节课选自人教版九年级上册第二十六章"二次函数"的第二节"二次函数的图象和性质"第一课时。学生在上一节课已经学习了二次函数的概念，掌握了二次函数的一般形式y=ax +bx+c（a≠0），为本节课的学习奠定了知识基础。本节课是二次函数图象研究的起始课，从最简单的二次函数y=ax 入手，通过描点法画图、观察图象特征、归纳函数性质，让学生经历"画图-观察-归纳"的完整探究过程，体会数形结合的数学思想。本节课的研究方法（从特殊到一般、从a>0到a<0的类比）将为后续学习y=ax +k、y=a(x-h) 、y=a(x-h) +k等更复杂形式的二次函数提供方法范式。
学情分析 学生在八年级已经学习了函数图象的基本画法——描点法，并利用描点法画过一次函数y=kx+b和正比例函数y=kx的图象，具备了一定的画图技能。但对于曲线状的二次函数图象，学生是第一次接触，可能会遇到以下困难：一是描点法画曲线时，点的选取不够密集，导致图象不够平滑；二是对"抛物线"、"对称轴"、"顶点"等新概念的理解需要直观感知；三是对增减性（当x<0时和x>0时的不同趋势）的理解可能不够深入。此外，学生在从图象特征归纳函数性质时，可能存在"只看到图象而不会用数学语言描述"的困难。本节课将通过教师引导、小组合作、几何画板动态演示等多种方式，帮助学生突破这些难点。
一、核心素养目标
1. 直观想象
通过描点法画二次函数y=ax 的图象，感受从"数"到"形"的转化过程，体会数形结合的数学思想。能够从图象中直观地观察抛物线的开口方向、对称轴、顶点等几何特征，建立二次函数解析式与图象之间的对应关系。借助几何画板动态演示，直观感受参数a的变化对抛物线开口大小和方向的影响，培养几何直观素养。
2. 逻辑推理
通过"画y=x 的图象→观察特征→归纳性质→推广到一般形式y=ax （a>0）→类比研究a<0"的完整探究过程，经历从特殊到一般的归纳推理。在探究a>0和a<0的对比中，体会分类讨论的思想方法。通过对比y=ax 与y=-ax （a>0）的关系，推理出二者关于x轴对称的结论，发展合情推理与演绎推理能力。
3. 数学抽象
从具体的二次函数y=x 、y=2x 、y= x 等图象中，抽象出抛物线、对称轴、顶点等数学概念，并从这些具体图象的性质中归纳出一般形式y=ax 的图象特征和函数性质。理解"抛物线y=ax 是轴对称图形，对称轴是y轴"、"顶点是抛物线与对称轴的交点"等抽象结论的几何意义，提升数学抽象能力。
4. 数学运算与数据分析
在描点法画图象的过程中，能够准确计算自变量x取不同值时对应的函数值y，熟练完成列表中的代数运算。在列表取点时，能根据对称性合理安排取点策略（如以对称轴为中心对称取点），提高运算效率。在练习中，能根据函数解析式快速判断图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，发展运算能力。
二、教学重难点
教学重点
1. 会用描点法画二次函数的图象，理解抛物线是轴对称图形，知道抛物线的对称轴和顶点。
2. 掌握抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性，能根据a的符号判断顶点是最高点还是最低点。
3. 理解a的绝对值大小对抛物线开口大小的影响：|a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大。
教学难点
1. 从图象特征中归纳出二次函数y=ax 的增减性规律：当a>0时，x<0时y随x增大而减小，x>0时y随x增大而增大；当a<0时则相反。学生容易混淆两种情况的增减性，需要通过反复观察图象来强化记忆。
2. 理解a的绝对值大小对抛物线开口大小的影响，能在无图的情况下仅凭a值的大小比较不同抛物线的开口大小。
3. 在无图的情况下，仅凭a的符号和数值，快速准确地判断二次函数y=ax 的所有性质，形成"见解析式脑中即有图象"的直觉反应。
三、教学过程
环节一：情境导入与回顾旧知（3分钟）
【教师活动】同学们，上一节课我们学习了二次函数的概念。请大家回忆一下：二次函数的一般形式是什么？它有哪些特征？
二次函数的一般形式是（），其中二次项系数a不能为0，自变量x的最高次数是2，函数解析式是整式。最为特殊的是当b=0、c=0时，二次函数变为。
【教师活动】记得非常准确！那么，以前我们学习一次函数时，是怎样研究它的图象和性质的？
【学生活动】我们学习一次函数时，先用描点法画出正比例函数y=kx的图象，发现它是一条过原点的直线。然后研究k>0和k<0时图象的位置和增减性。最后研究一般的一次函数y=kx+b，发现它的图象也是一条直线，可以通过平移正比例函数图象得到。
【教师活动】非常好！你对一次函数的研究方法记忆犹新。今天我们将用类似的方法来研究二次函数的图象和性质。我们的研究思路是：从最简单、最特殊的二次函数——也就是y=ax 开始，先研究a>0的情况，再类比研究a<0的情况，最后归纳出一般规律。这就是从特殊到一般的数学研究方法。
请看大屏幕。从二次函数的一般形式（）出发，我们首先聚焦于最简单的二次函数。而其中最简单的是，即a=1的情况。所以我们从画的图象开始。
【过渡语】通过复习二次函数概念和一次函数的研究方法，唤醒学生的已有认知，将一次函数的研究范式（描点法画图→观察图象特征→归纳函数性质）自然迁移到二次函数的研究中。同时，通过"从一般到特殊再到一般"的框架图，帮助学生建立清晰的研究思路。
【设计意图】以复习旧知引入，既巩固了二次函数的概念，又为新的研究方法——描点法画图象做好了铺垫。通过回顾一次函数的研究方法，让学生认识到"画图→观察→归纳"是研究函数图象与性质的通用方法，降低学习新内容的心理难度。从y=ax +bx+c到y=ax 再到y=x 的"聚焦"过程，体现了从一般到特殊的研究思路，符合学生的认知规律。
环节二：探究a>0时y=ax 的图象和性质（15分钟）
一、画y=x 的图象
【教师活动】请同学们拿出坐标纸，我们用描点法来画y=x 的图象。描点法画函数图象一般分为哪几步？
【学生活动】描点法画函数图象一般分为三步：第一步列表，选取一些自变量的值，计算对应的函数值；第二步描点，在平面直角坐标系中描出对应的点；第三步连线，用平滑的曲线将这些点顺次连接起来。
【教师活动】总结得很到位！下面我们先来列表。请同学们注意，在选取自变量x的值时，我们以0为中心，对称地选取正数和负数，这样便于观察图象的对称性。请在x=0左右两侧各取几个值试试看。
列表：
【学生活动】x取值为-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3。对应的y值为：当x=-3时，y=9；当x=-2时，y=4；当x=-1时，y=1；当x=0时，y=0；当x=1时，y=1；当x=2时，y=4；当x=3时，y=9。
【教师活动】计算正确！注意观察，当x取互为相反数的两个值时，对应的y值有什么特点？比如x=-2和x=2时，y的值都是4。
【学生活动】当x取互为相反数的两个值时，对应的y值相等！比如x=-3时y=9，x=3时y=9；x=-1时y=1，x=1时y=1。这说明图象关于y轴对称！
【教师活动】观察得非常敏锐！这个发现很重要。现在请同学们在坐标系中描出这些点，想一想：y可以取哪些值？y有没有最小值？
【学生活动】y的值都是非负数，最小值为0（当x=0时）。这些点从左到右依次是(-3,9), (-2,4), (-1,1), (0,0), (1,1), (2,4), (3,9)。同学们发现描出的点呈现出"中间低、两边高"的形状！
【教师活动】非常好！现在请同学们用平滑的曲线从左到右把这些点顺次连接起来。注意，曲线要光滑，不能有尖角，并且要向两端无限延伸。
【学生活动】画出的曲线呈U形，从最左边开始，曲线先下降，到达最低点(0,0)后，又逐渐上升，关于y轴对称，形状非常优美！
二、抛物线的定义
同学们画出的曲线，在数学上有一个专门的名字——抛物线。二次函数的图象形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫作抛物线。这条抛物线关于y轴对称，y轴就是它的对称轴。抛物线与对称轴的交点叫作抛物线的顶点。
【知识点】抛物线的定义：1. 二次函数的图象是一条抛物线；2. 抛物线关于y轴对称，y轴是它的对称轴；3. 抛物线与对称轴的交点叫作抛物线的顶点，的顶点是(0, 0)。
【设计意图】从学生亲手画出的图象出发，自然引出"抛物线"、"对称轴"、"顶点"三个核心概念，让学生经历"动手操作→观察特征→接受定义"的概念形成过程。抛物线名称的引入（物体抛射轨迹）帮助学生建立直观联想，加深记忆。
三、y=x 的性质
【教师活动】现在请同学们仔细观察刚才画出的抛物线y=x ，从以下几个方面来描述它的性质：开口方向、对称轴、顶点坐标、最高点还是最低点。
【学生活动】抛物线y=x 的开口向上，像一个大写的U；对称轴是y轴（即直线x=0）；顶点是坐标原点(0,0)；图象有最低点，最低点就是顶点(0,0)，没有最高点。
【教师活动】总结得非常全面！那么，这条抛物线的增减性有什么规律呢？也就是说，当x取不同值时，y随x的增加是怎样变化的？
【学生活动】从图象上可以看出：在对称轴的左侧，也就是x<0时，曲线从左到右是下降的，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，也就是x>0时，曲线从左到右是上升的，y随x的增大而增大。
概括得非常准确！抛物线的增减性可以总结为：当x<0时，y随x的增大而减小（曲线下降）；当x>0时，y随x的增大而增大（曲线上升）。顶点(0,0)是图象的最低点，也是函数值从减小到增大的转折点。
【知识点】y=x 的图象与性质总结：1. 图象是一条抛物线；2. 图象开口向上；3. 图象关于y轴对称（对称轴是y轴，即直线x=0）；4. 顶点是(0, 0)；5. 图象有最低点，最低点是顶点(0, 0)；6. 增减性：当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大。
【设计意图】通过对y=x 图象的全面分析，从"开口方向→对称轴→顶点→最值→增减性"五个维度建立描述二次函数图象性质的完整框架。这个框架将贯穿后续所有二次函数图象的学习，具有方法论意义。
【过渡语】我们刚刚研究了a=1时y=x 的图象和性质。那么，当a取其他正数时，比如y=2x 和y= x ，它们的图象与y=x 有什么相同和不同呢？
四、画y=2x 的图象并与y=x 比较
【教师活动】请同学们用同样的方法——描点法，在同一个坐标系中画出y=2x 的图象。注意列表时也以0为中心对称取点。
列表：x取-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3。对应的y值：，当x=-3时，y=18；当x=-2时，y=8；当x=-1时，y=2；当x=0时，y=0；当x=1时，y=2；当x=2时，y=8；当x=3时，y=18。
【学生活动】我发现y=2x 的图象也是一条抛物线！它的开口也向上，对称轴也是y轴，顶点也是(0,0)，最低点也是顶点。但是，它的图象比y=x 更"瘦"一些，更贴近y轴！
【教师活动】说得很形象！"更瘦"说明在相同的x值处，y=2x 的函数值更大，曲线上升得更快。现在请同学们在同一个坐标系中再画出y=的图象，然后比较这三条抛物线。
列表：x取-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3。对于，当x=-3时，y=4.5；当x=-2时，y=2；当x=-1时，y=0.5；当x=0时，y=0；当x=1时，y=0.5；当x=2时，y=2；当x=3时，y=4.5。
【学生活动】的图象比y=x 更"胖"一些，更远离y轴！三条抛物线都是开口向上，顶点都是(0,0)，对称轴都是y轴，顶点都是最低点。它们的不同之处在于开口大小不同：y=2x 最"瘦"（开口最小），最"胖"（开口最大）。
【教师活动】通过比较，你发现了什么规律？a的数值大小与抛物线的开口大小有什么关系？
【学生活动】a的数值越大，抛物线的开口越小！a=2时开口最小，a=1时开口居中，a= 时开口最大。也就是说，a的值越大，抛物线越"瘦"，越贴近y轴。
五、归纳a>0时y=ax 的图象和性质
通过以上探究，我们可以归纳出当a>0时，二次函数的图象和性质：
【知识点】a>0时，二次函数的图象和性质：1. 图象是一条开口向上的抛物线；2. 顶点是(0, 0)，顶点是抛物线的最低点；3. 图象关于y轴对称（对称轴是直线x=0）；4. 增减性：当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大；5. 开口大小：a越大，抛物线的开口越小（抛物线越"瘦"）；a越小（仍大于0），抛物线的开口越大（抛物线越"胖"）。即：|a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大。
【设计意图】通过y= x 、y=x 、y=2x 三个具体函数的对比，让学生自己发现"a越大开口越小"的规律，经历从特殊到一般的归纳过程。这条规律对于a>0和a<0都适用（用|a|来统一描述），为后续学习做铺垫。
【过渡语】我们通过从y=x 到y=2x 再到y= x 的逐步探究，归纳出了a>0时y=ax 的图象和性质。那么，当a<0时，抛物线的图象和性质又会是怎样的呢？让我们用类似的方法来探究。
环节三：探究a<0时y=ax 的图象和性质（10分钟）
一、类比研究思路
【教师活动】刚才我们研究a>0时，经历了"画图→观察→归纳"的过程。现在请大家回顾一下研究a>0的步骤，想一想：研究a<0时，我们应该怎么做？
【学生活动】我们应该用同样的方法！先取一个具体的a<0的函数，比如y=-x ，用描点法画出它的图象，观察图象特征，再归纳性质。然后可以再画一个y=-2x ，比较不同a值对应的开口大小。
【教师活动】思路非常清晰！这就是数学中非常重要的"类比"思想——用类似的方法研究类似的问题。现在，请在同一个坐标系中画出y=-x 和y=-2x 的图象。
二、画y=-x 和y=-2x 的图象
【教师活动】请同学们用描点法在同一个坐标系中画出y=-x 和y=-2x 的图象。列表时也以0为中心对称取点。
列表：x取-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3。对于：当x=-3时，y=-9；当x=-2时，y=-4；当x=-1时，y=-1；当x=0时，y=0；当x=1时，y=-1；当x=2时，y=-4；当x=3时，y=-9。
对于：当x=-3时，y=-18；当x=-2时，y=-8；当x=-1时，y=-2；当x=0时，y=0；当x=1时，y=-2；当x=2时，y=-8；当x=3时，y=-18。
【学生活动】我发现y=-x 和y=-2x 的图象也都是抛物线，同样关于y轴对称，顶点也都是(0,0)。但它们与a>0时最大的不同是：开口方向向下！曲线是倒U形。而且y=-2x 的开口比y=-x 更小，更贴近y轴。
【教师活动】观察得非常仔细！那么，a<0时，顶点是最高点还是最低点？
【学生活动】顶点(0,0)是最高点！因为抛物线开口向下，曲线从顶点开始向两侧下降，函数值y都是非正数（≤0），最大值是0。与a>0时正好相反！
说得很对！当a<0时，抛物线开口向下，顶点(0,0)是抛物线的最高点，函数的最大值为0。的开口比更小，说明a越小（即a的绝对值越大），开口越小。
三、归纳a<0时y=ax 的图象和性质
【知识点】a<0时，二次函数的图象和性质：1. 图象是一条开口向下的抛物线；2. 顶点是(0, 0)，顶点是抛物线的最高点；3. 图象关于y轴对称（对称轴是直线x=0）；4. 增减性：当x<0时，y随x的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减小；5. 开口大小：a越小（即|a|越大），抛物线的开口越小；a越大（即|a|越接近0），抛物线的开口越大。统一表述：|a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大。
【设计意图】通过类比a>0的研究方法来研究a<0，培养学生"类比迁移"的学习能力。从y=-x 到y=-2x 的对比，让学生自己发现a<0时开口大小的规律，体验"特殊→一般"的归纳过程。这里特别强调增减性与a>0时相反，是学生容易出错的地方。
四、a>0与a<0的对比总结
【教师活动】现在，我们已经完整研究了a>0和a<0两种情况。请同学们对比这两种情况，找出它们的共同点和不同点。
【学生活动】共同点：①图象都是抛物线，关于y轴对称；②顶点都是(0,0)；③|a|越大，开口越小。不同点：①a>0时开口向上，顶点是最低点，x<0时y随x增大而减小，x>0时y随x增大而增大；②a<0时开口向下，顶点是最高点，x<0时y随x增大而增大，x>0时y随x增大而减小。
总结得非常全面！共同的规律是：对称轴都是y轴，顶点都是(0,0)，|a|都决定开口大小。不同的规律是：a的符号决定开口方向和顶点是最高点还是最低点，并由此决定增减性。
【知识点】a>0与a<0对比总结：【共同点】1. 图象都是抛物线，关于y轴对称（对称轴：直线x=0）；2. 顶点都是(0, 0)；3. 开口大小由|a|决定：|a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大。【不同点】1. 开口方向：a>0时开口向上，a<0时开口向下；2. 顶点性质：a>0时顶点是最低点，a<0时顶点是最高点；3. 增减性：a>0时，x<0 y随x增大而减小，x>0 y随x增大而增大；a<0时，x<0 y随x增大而增大，x>0 y随x增大而减小。
【设计意图】通过对比总结，帮助学生建立完整的二次函数y=ax 的图象和性质知识体系。对比表的形式直观呈现了a>0和a<0的异同点，便于学生记忆和运用。同时，用|a|统一描述开口大小，体现了数学的简洁美和统一美。
易错提示：1. a>0和a<0的增减性容易混淆：a>0时，x<0递减、x>0递增；a<0时，x<0递增、x>0递减。记忆口诀："a正开口向上，左降右升；a负开口向下，左升右降"。2. 开口大小由|a|决定，不是由a决定。|a|越大开口越小，|a|越小开口越大。
【过渡语】通过刚才的探究，我们对二次函数y=ax 的图象和性质已经有了全面的认识。现在，让我们通过课堂练习来巩固和运用这些知识。
环节四：课堂练习（12分钟）
一、练习1——画图
【教师活动】请在同一个平面直角坐标系中，画出y=3x 和y=-3x 的图象，并比较它们的异同。
y=3x 和y=-3x 的共同点：对称轴都是y轴，顶点都是(0,0)，|a|都是3，所以开口大小相同。不同点：y=3x （a=3>0）开口向上，顶点是最低点；y=-3x （a=-3<0）开口向下，顶点是最高点。它们的图象关于x轴对称！
【教师活动】非常好！注意观察，当二次项系数互为相反数时，两条抛物线关于x轴对称。这是一个重要的结论。
【设计意图】练习1通过画图对比，让学生在新情境中再次练习描点法画图，同时巩固a>0和a<0的对比，引出y=ax 与y=-ax 关于x轴对称的重要结论。
二、练习2——说出性质
【教师活动】请同学们不画图，直接说出下列二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性。
（1）
【学生活动】a=4>0，开口向上，对称轴是y轴，顶点(0,0)，顶点是最低点。增减性：x<0时，y随x增大而减小；x>0时，y随x增大而增大。
（2）
【学生活动】a=-4<0，开口向下，对称轴是y轴，顶点(0,0)，顶点是最高点。增减性：x<0时，y随x增大而增大；x>0时，y随x增大而减小。
（3）
【学生活动】a=>0，开口向上，对称轴是y轴，顶点(0,0)，顶点是最低点。增减性：x<0时，y随x增大而减小；x>0时，y随x增大而增大。与y=4x 相比，a=更小，所以开口更大。
（4）
【学生活动】a=-<0，开口向下，对称轴是y轴，顶点(0,0)，顶点是最高点。增减性：x<0时，y随x增大而增大；x>0时，y随x增大而减小。
【设计意图】练习2训练学生在不画图的情况下，仅凭a的符号和数值判断函数的性质，培养"见解析式即知图象"的能力。这是从"数形结合"到"以数观形"的提升，是本节课的核心能力目标。
三、y=ax 与y=-ax (a>0)的关系
【教师活动】通过练习1，我们发现了一个有趣的现象。请同学们思考：抛物线y=ax 与y=-ax （其中a>0）之间有什么关系？
二次项系数互为相反数，两条抛物线开口方向相反，开口大小相同（因为|a|相同），它们关于x轴对称。也就是说，抛物线y=-ax 关于x轴翻转后就得到抛物线y=ax 。
【知识点】y=ax 与y=-ax （a>0）的关系：1. 二次项系数互为相反数；2. 开口方向相反（一个向上，一个向下）；3. 开口大小相同（|a|相同）；4. 图象关于x轴对称；5. 顶点相同，都是(0, 0)，但一个是最低点，一个是最高点。
【设计意图】通过归纳y=ax 与y=-ax 的关系，让学生认识到"对称性"不仅体现在单条抛物线（关于y轴对称），还体现在两组抛物线之间（关于x轴对称），深化对二次函数图象对称性的理解。
四、填空练习
【教师活动】请完成下列填空练习，巩固对y=ax 性质的理解。
1. 二次函数：开口向______，对称轴是______，顶点坐标是______，在对称轴左侧y随x的增大而______，在对称轴右侧y随x的增大而______。
答案：开口向上，对称轴是y轴（直线x=0），顶点(0,0)，在对称轴左侧y随x增大而减小，在对称轴右侧y随x增大而增大。
2. 二次函数：开口向______，对称轴是______，顶点坐标是______，在对称轴左侧y随x的增大而______，在对称轴右侧y随x的增大而______。
答案：开口向下，对称轴是y轴（直线x=0），顶点(0,0)，在对称轴左侧y随x增大而增大，在对称轴右侧y随x增大而减小。
五、判定与选择练习
【教师活动】请完成以下判定和选择练习，检验对y=ax 性质的灵活运用。
3. 若函数的图象开口向上，则k的取值范围是______。
【学生活动】要使图象开口向上，二次项系数必须大于0，即k-1>0，所以k>1。
4. 已知二次函数：①；②；③；④；⑤。
(1) 开口向上的有______。 (2) 开口向下且开口最大的一个是______。 (3) 有最高点的有______。
【学生活动】(1) 开口向上：a>0，所以是②③⑤。（a= >0），y=15x2（a=15>0），y=4x2（a=4>0）。
(2) 开口向下且开口最大：a<0且|a|最小。①中a=-1，|a|=1；④中a=-4，|a|=4。|a|最小的是①，所以开口最大的是①。
【学生活动】(3) 有最高点：a<0，即开口向下的抛物线顶点是最高点，所以是①④。①y=-x2和④y=-4x2。
【设计意图】练习4-5通过填空和选择的形式，训练学生灵活运用y=ax 的性质。第4题结合了开口方向和开口大小的综合判断，需要在多个a<0的函数中比较|a|的大小，对学生的综合分析能力有一定要求。
六、练习6——综合题
5. 已知抛物线经过点(-1, 2)。
(1) 求a的值。
(2) 说出抛物线的对称轴和开口方向。
(3) 抛物线的顶点是什么？是最高点还是最低点？在x轴上方还是下方？
(4) 若x1解：(1) 将点(-1, 2)代入，得，所以a=2。
(2) 因为a=2>0，所以对称轴是y轴，开口向上。
(3) 顶点是(0,0)。因为a>0，所以顶点是最低点。抛物线在x轴上方（或与x轴相切于顶点）。
【学生活动】(4) 因为a=2>0，当x<0时，y随x的增大而减小。x1y2。例如取x1=-2, x2=-1，则y1=8, y2=2，确实y1>y2。
解题策略：含参数的抛物线问题，关键步骤是——先求a的值，再根据a的符号和大小判断性质。求a的方法：将已知点坐标代入解析式，解方程即可。判断增减性时，抓住"a的符号决定增减方向"这一核心规律：a>0时，x<0递减、x>0递增；a<0时，x<0递增、x>0递减。
【设计意图】练习6是一道综合题，融合了代入求参、性质判断、增减性比较等多个知识点。第(4)问要求在不画图的情况下比较函数值大小，需要学生灵活运用增减性规律，进一步提升"以数观形"的能力。
七、练习7——图象选择题
【教师活动】请同学们看这道选择题，根据已知条件判断正确的图象。
6. 已知一次函数y=ax+b和二次函数，其中，b<0，下面四个选项中图象可能正确的是（ ）
【学生活动】分析：因为b<0，一次函数y=ax+b与y轴的交点在负半轴。当a>0时，二次函数y=ax 开口向上，一次函数y=ax+b经过第一、三、四象限；当a<0时，二次函数y=ax 开口向下，一次函数y=ax+b经过第二、三、四象限。对照选项，选C。
【教师活动】分析得很到位！这道题同时考查了一次函数和二次函数的图象特征，需要综合运用两个函数的知识。解题的关键是抓住b<0这一条件，先确定一次函数与y轴的交点位置，再根据a的符号判断两个函数的图象走向。
【设计意图】练习7将一次函数与二次函数放在一起，考查学生综合运用函数图象知识的能力。通过"分情况讨论"（a>0和a<0）的解题策略，培养学生的分类讨论思想。
八、练习8——阴影面积问题
7. 如图，二次函数的图象经过点(0,0)，长方形ABCD的顶点A、B在x轴上，C、D在抛物线上，点B的横坐标为2。求图中阴影部分的面积。
【教师活动】分析：这道题的关键在于利用抛物线的对称性。请同学们想一想：抛物线的对称轴是什么？长方形的顶点A和B、C和D分别有什么关系？
【学生活动】抛物线y=2x 关于y轴对称。长方形ABCD中，AB在x轴上，CD在抛物线上。因为B的横坐标为2，由对称性，A的横坐标为-2。所以AB=4。
当x=2时，，所以BC=8。长方形的面积=AB×BC=4×8=32。阴影部分是由抛物线和长方形围成的区域。由对称性，左侧阴影部分的面积等于右侧空白部分的面积，所以阴影部分面积=长方形面积的一半=32÷2=16。
【教师活动】非常好！这道题巧妙运用了抛物线的对称性来简化阴影面积的计算。由对称性知，左侧的阴影面积等于右侧的空白面积，所以阴影面积就是长方形面积的一半。
解法总结：
当x=2时，，BC=8。
由抛物线的对称性，OA=OB=2，AB=4。
长方形ABCD面积=4×8=32。
由对称性，左侧阴影面积=右侧空白面积，阴影面积=32÷2=16。
【设计意图】练习8是一道巧妙的对称性应用题，将抛物线的对称性与几何面积计算相结合。通过这道题，学生不仅巩固了y=ax 的对称性，还体会到"对称性"在简化计算中的妙用，培养几何直观和数学美感。
【过渡语】通过八道练习，我们全面巩固了二次函数y=ax 的图象和性质。现在，让我们一起来回顾本节课的学习内容，梳理知识框架。
环节五：课堂小结（3分钟）
【教师活动】同学们，本节课我们学习了二次函数y=ax 的图象和性质。请同学们回顾一下，本节课你有哪些收获？可以从"画法"、"图象"、"性质"三个方面来总结。
【学生活动】我学会了用描点法画二次函数y=ax 的图象，知道画图时要以对称轴（y轴）为中心对称取点，描点后用平滑曲线连接。我还学会了认识抛物线：二次函数y=ax 的图象是一条抛物线，它关于y轴对称，y轴是它的对称轴，顶点是(0,0)。
【学生活动】我掌握了y=ax 的性质：a>0时开口向上，顶点是最低点，x<0时y随x增大而减小，x>0时y随x增大而增大；a<0时开口向下，顶点是最高点，x<0时y随x增大而增大，x>0时y随x增大而减小。|a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大。
【学生活动】我还学会了用类比的方法研究数学问题——先研究a>0，再用类似的方法研究a<0。通过对比，我发现了a>0和a<0的共同点和不同点。我还知道了y=ax 与y=-ax （a>0）关于x轴对称。
【教师活动】同学们总结得非常全面！本节课我们通过"描点法画图→观察图象特征→归纳函数性质"的研究过程，系统地学习了二次函数y=ax 的图象和性质。请大家记住这个研究函数的一般方法，它同样适用于后续学习y=ax +k、y=a(x-h) 等更复杂的二次函数。同时，要记住：函数的性质重点关注四个方面——开口方向及大小、对称轴、顶点坐标、增减性。这四方面是你分析任何二次函数都可以使用的"思维框架"！
【知识点】二次函数的图象和性质——知识框架：一、画法：描点法（以对称轴为中心对称取点→描点→平滑曲线连接）二、图象：抛物线，轴对称图形，对称轴是y轴（直线x=0），顶点是(0, 0)三、性质（重点关注四方面）：1. 开口方向及大小：a>0开口向上，a<0开口向下；|a|越大开口越小，|a|越小开口越大2. 对称轴：y轴（直线x=0）3. 顶点坐标：(0, 0)，a>0时是最低点，a<0时是最高点4. 增减性：a>0时，x<0 y随x增大而减小，x>0 y随x增大而增大；a<0时，x<0 y随x增大而增大，x>0 y随x增大而减小
【设计意图】通过师生共同总结，帮助学生梳理本节课的核心知识体系，从"画法→图象→性质"三个维度形成完整的知识网络。特别强调"重点关注四方面"的思维框架，为学生后续学习更复杂的二次函数提供方法指导。
规律总结：研究二次函数图象性质的一般方法——"三步法"：第一步，用描点法画图（以对称轴为中心对称取点→描点→平滑曲线连接）；第二步，从图象观察几何特征（开口方向、对称轴、顶点、增减性）；第三步，用数学语言归纳函数性质。这个"画图→观察→归纳"的研究方法，同样适用于后续学习、等更复杂的二次函数。
环节六：课后作业（2分钟）
【教师活动】请同学们课后完成以下作业，巩固本节课所学的二次函数y=ax 的图象和性质。
1. 教材P32-35练习：用描点法在同一直角坐标系中画出y=x 和y=-x 的图象，并说明它们的异同。
2. 教材P41习题26.2第1、2题：分别画出指定的二次函数图象，并指出开口方向、对称轴和顶点坐标。
3. 思考题：抛物线y=ax 中，当a从1逐渐变为0时，抛物线的开口如何变化？当a=0时，图象是什么？这说明了什么？
【教师活动】下节课我们将学习二次函数y=ax +k的图象和性质，探究在y=ax 的基础上加上常数k后，抛物线会发生怎样的平移变化。请同学们预习教材P33-35的内容。
【设计意图】课后作业兼顾基础巩固（画图、说性质）和拓展探究（a变化时开口的变化、动态演示），既确保学生掌握y=ax 的基本图象和性质，又为下节课学习y=ax +k的平移做好铺垫。思考题"a=0时图象是什么"引导学生思考二次函数定义中a≠0的必要性，巩固概念理解。
四、板书设计
26.2.1 二次函数y=ax 的图象和性质 一、探究a>0
1. y=x ：描点法→列表→描点→连线 图象：抛物线，关于y轴对称 对称轴：y轴（直线x=0） 顶点：(0,0)，最低点（开口向上） 增减性：x<0时y随x增大而减小 x>0时y随x增大而增大
二、抛物线的概念 2. y=2x 与 y= x 的比较 共同点：开口向上，顶点(0,0) 对称轴y轴，顶点最低点 增减性相同 不同点：开口大小不同 a越大，开口越小（越"瘦"） a越小，开口越大（越"胖"）
抛物线：形如y=ax (a≠0)的 二次函数图象，形如物体抛射 轨迹。 对称轴：y轴（直线x=0） 顶点：抛物线与对称轴的交点 y=ax 的顶点为(0,0)
三、探究a<0 四、a>0与a<0对比
类比研究：y=-x , y=-2x a<0时：开口向下 顶点(0,0)，最高点 增减性（与a>0相反）： x<0时y随x增大而增大 x>0时y随x增大而减小 |a|越大，开口越小
五、课堂练习 六、课堂小结
练习1：画y=3x , y=-3x 结论：关于x轴对称 练习2：说性质（4个函数） 练习3：y=ax 与y=-ax 关系 练习4：填空（2题） 练习5：判定/选择 练习6：y=ax 过(-1,2) 练习7：图象选择题 练习8：阴影面积=16
五、教学反思
1. 环节一的导入是否有效？学生能否快速回忆起二次函数的概念和一般形式y=ax +bx+c（a≠0）？对一次函数研究方法的回顾（描点法→观察图象→归纳性质）是否唤醒了学生的已有经验，为二次函数图象的研究方法做好了铺垫？从一般形式到最简形式y=ax 再到y=x 的"聚焦"过程，是否帮助学生建立了清晰的研究思路？
2. 环节二中，学生在用描点法画y=x 的图象时，列表取点是否合理（是否以0为中心对称取点）？描点连线时，曲线是否平滑？学生能否从"x取互为相反数时y值相等"这一代数特征中，自然地发现"图象关于y轴对称"这一几何特征？抛物线、对称轴、顶点三个概念的引入是否自然流畅？
3. 在比较y= x 、y=x 、y=2x 三条抛物线时，学生是否能清晰地看出开口大小的差异？"a越大开口越小"这一规律，学生是通过自己的观察发现的，还是教师直接告知的？是否给予了学生充分的观察、思考和讨论时间？增加一个中间值（如y=1.5x ）是否会帮助学生更好地理解a的连续变化对开口大小的影响？
4. 环节三中，类比研究方法是否有效？学生能否从"研究a>0"的方法中自然迁移到"研究a<0"？在画y=-x 和y=-2x 的图象时，学生是否遇到了困难（如负数计算、描点在x轴下方等）？对比总结表是否帮助学生清晰地认识了a>0与a<0的异同点？
5. 增减性是本节课的教学难点。学生在判断a>0和a<0时的增减性时，是否容易混淆？是否出现了"a<0时x<0也递减"的错误认识？教师是否通过反复观察图象、画箭头标注升降趋势等方式，帮助学生建立了正确的增减性直观印象？
6. 课堂练习的梯度设置是否合理？从练习1（画图对比）到练习2（说性质）到练习8（阴影面积），难度是否逐步提升？练习8的阴影面积问题，学生是否能够独立运用对称性来简化计算？是否需要增加一些基础性练习来巩固，然后再挑战综合题？
7. 本节课是否充分体现了"数形结合"的思想？学生是否能够从函数解析式（数）出发，通过描点画出图象（形），再从图象中归纳性质（回到数）？"重点关注四方面（开口方向及大小、对称轴、顶点坐标、增减性）"的分析框架，是否已经内化为学生分析二次函数图象的思维习惯？
8. 板书设计是否清晰地呈现了本节课的研究脉络？从"a>0探究→a<0类比→对比总结→课堂练习→课堂小结"的板书结构是否有助于学生建立完整的知识体系？课后作业的布置是否兼顾了巩固基础（画图、说性质）和拓展探究（动态演示、思考题）？

展开更多......

收起↑