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教案：26.2.2 二次函数y=ax +k的图象和性质（第1课时）
课题 26.2.2 二次函数y=ax +k的图象和性质（第1课时） 课型 新授课
课时 1课时（45分钟） 教材版本 人教版九年级上册 第二十六章
教学方法 类比探究、数形结合、动态演示、讲练结合 教学用具 多媒体课件、几何画板、坐标纸
教材分析 本节课选自人教版九年级上册第二十六章"二次函数"的第二节"二次函数的图象和性质"第1课时。学生在上一课时已经学习了二次函数y=ax 的图象和性质，掌握了描点法画图的方法，知道了抛物线、对称轴、顶点等概念，并能根据a的符号判断开口方向和增减性。本节课是y=ax 的延续和深化，在y=ax 的基础上引入常数项k，研究y=ax +k的图象和性质。核心是让学生通过画图对比，发现y=ax +k与y=ax 图象之间的平移关系，理解"上加下减"的平移规律。本节课的学习方法将为后续学习y=a(x-h) 和y=a(x-h) +k提供重要的方法迁移。
学情分析 学生已经掌握了y=ax 的图象和性质，对描点法画图、抛物线的开口方向、对称轴、顶点、增减性等概念有较好的理解。但学生对于"平移"概念的认知还停留在一次函数y=kx+b的上下平移（b的变化），对于二次函数图象的平移，特别是从解析式变化到图象平移的对应关系，可能存在理解困难。学生可能会困惑：为什么y=ax +k中k的变化会导致图象上下平移，而不是左右平移？此外，学生在从具体的画图对比中归纳出"上加下减"的一般规律时，需要教师给予充分的引导。本节课将通过具体例子（y=2x +2、y=2x -2等）的对比，让学生自己发现规律，再推广到一般情况。
一、核心素养目标
1. 直观想象
通过描点法画二次函数的图象，对比的图象，直观感受常数项k对抛物线位置的影响。借助几何画板动态演示，观察k值变化时抛物线的上下平移过程，建立解析式变化与图象平移之间的几何直观。
2. 逻辑推理
通过"画和的图象→观察与的异同→归纳平移规律→推广到一般情况"的探究过程，经历从特殊到一般的归纳推理。在探究a>0和a<0的对比中，体会分类讨论的思想方法，验证平移规律对a>0和a<0两种情况的统一性。
3. 数学抽象
从具体的二次函数、等图象中，抽象出"抛物线的顶点是(0,k)"、"对称轴是y轴"等一般性结论。理解"上加下减"这一平移规律的本质——常数项k的变化导致抛物线上每一个点的纵坐标都增加k，从而整体上下平移。
4. 数学运算与数据分析
在列表、描点、连线的过程中，能准确计算含常数项k的二次函数中自变量x对应的函数值y。能在比较与的图象时，从数据表中发现"对应x值相同，y值相差k"的代数规律，从而揭示平移的代数本质。
二、教学重难点
教学重点
1. 会用描点法画二次函数的图象，理解抛物线与抛物线之间的平移关系。
2. 掌握抛物线的开口方向、对称轴（y轴）、顶点坐标(0, k)和增减性规律。
3. 理解并运用"上加下减"的平移规律：当k>0时，抛物线向上平移k个单位；当k<0时，向下平移|k|个单位。
教学难点
1. 理解抛物线与抛物线之间的平移关系，从解析式变化中判断图象的平移方向和距离。
2. 理解k的符号对顶点位置和函数最值的影响：当k>0时顶点在x轴上方，函数有最小值k；当k<0时顶点在x轴下方，函数有最大值k。
3. 在无图的情况下，仅凭解析式快速准确地判断y=ax +k的开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性，做到"见解析式即知图象"。
三、教学过程
环节一：回顾旧知（3分钟）
【教师活动】同学们，上节课我们学习了二次函数y=ax 的图象和性质。请同学们回忆一下，y=ax 的图象是一条什么样的曲线？它的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么？
y=ax 的图象是一条抛物线，关于y轴对称。当a>0时，开口向上，顶点(0,0)是最低点；当a<0时，开口向下，顶点(0,0)是最高点。
【教师活动】记得非常牢固！那我们来完成一个快速回顾。请同学们观察屏幕上的表格，分别说出a>0和a<0时y=ax 的开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性。
【学生活动】a>0时：开口向上，对称轴是y轴，顶点(0,0)是最低点，x<0时y随x增大而减小，x>0时y随x增大而增大。a<0时：开口向下，对称轴是y轴，顶点(0,0)是最高点，x<0时y随x增大而增大，x>0时y随x增大而减小。|a|越大，开口越小。
【教师活动】非常好！看来大家对y=ax 的图象和性质掌握得很扎实。那么，请同学们思考一个问题：我们是如何画出y=ax 的图象的？
【学生活动】我们用描点法画图：第一步列表，以对称轴为中心对称取点，计算对应的函数值；第二步描点，在坐标系中描出对应点；第三步连线，用平滑的曲线连接各点。
【教师活动】说得很准确！今天，我们将在y=ax 的基础上，进一步研究更一般的二次函数——y=ax +k的图象和性质。请大家看大屏幕，我们的研究思路是：先在y=ax 的基础上添加一个常数项k，通过画图对比，发现y=ax +k与y=ax 之间的关系，再归纳出一般规律。
【过渡语】通过复习y=ax 的图象和性质，以及描点法画图的方法，为新课的学习做好知识和方法的双重准备。"从y=ax 到y=ax +k"的研究路径，体现了从特殊到一般、从简单到复杂的研究思路，符合学生的认知规律。
【设计意图】以复习旧知引入新课，属于情境导入环节。既巩固了y=ax 的核心知识，又自然过渡到y=ax +k的研究。回顾描点法画图方法，为新课中画y=ax +k的图象做好方法铺垫。通过"从y=ax 到y=ax +k"的框架引导，让学生明确本节课的研究方向，激发探究欲望。
环节二：探究a>0时y=ax +k的图象（10分钟）
一、画y=2x +2和y=2x -2的图象并与y=2x 比较
【教师活动】请同学们拿出坐标纸，用描点法在同一个坐标系中画出y=2x 、y=2x +2和y=2x -2的图象。列表时请以0为中心对称取点，这样便于观察图象的对称性和平移关系。
列表：x取-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3。对于：y=18, 8, 2, 0, 2, 8, 18。对于：y=20, 10, 4, 2, 4, 10, 20。对于：y=16, 6, 0, -2, 0, 6, 16。
【教师活动】请同学们注意观察：对于同一个x值，y=2x +2的函数值比y=2x 的函数值多多少？y=2x -2的函数值比y=2x 的函数值少多少？
【学生活动】对于同一个x值，y=2x +2的函数值比y=2x 的函数值多2；y=2x -2的函数值比y=2x 的函数值少2。也就是说，y=2x +2的图象就是把y=2x 的图象向上平移2个单位；y=2x -2的图象就是把y=2x 的图象向下平移2个单位！
【教师活动】这个发现非常精彩！从数据表中你就能看出平移关系，说明你的观察力很强。现在让我们把三条抛物线画出来，看看它们的图象特征。
【学生活动】三条抛物线都是开口向上，对称轴都是y轴，开口大小和方向完全相同。不同之处在于顶点的位置：y=2x 的顶点是(0,0)；y=2x +2的顶点是(0,2)；y=2x -2的顶点是(0,-2)。整条抛物线y=2x +2就是把y=2x 整体向上平移了2个单位，y=2x -2就是把y=2x 整体向下平移了2个单位。
【教师活动】总结得非常全面！同学们发现了三个关键点：第一，三条抛物线的开口方向和开口大小完全相同（因为a相同）；第二，对称轴相同，都是y轴；第三，顶点的纵坐标不同，分别是0、2、-2。顶点纵坐标的变化正好等于k的值。
【知识点】y=2x 、y=2x +2、y=2x -2的对比：1. 开口方向：都向上（a=2>0）；2. 开口大小：完全相同（|a|相同）；3. 对称轴：都是y轴（直线x=0）；4. 顶点坐标：的顶点(0,0)；的顶点(0,2)；的顶点(0,-2)；5. 平移关系：由向上平移2个单位得到；由向下平移2个单位得到。
【设计意图】通过具体函数y=2x +2和y=2x -2的探究，让学生在亲手画图、对比观察的基础上，自己发现y=ax +k与y=ax 之间的平移关系。从数据表（代数）中发现"同x值y差k"，再结合图象（几何）验证平移关系，充分体现数形结合的思想。
二、归纳y=ax +k与y=ax 的关系（a>0）
【教师活动】通过刚才的探究，我们发现了y=2x +2和y=2x -2与y=2x 之间的关系。现在请同学们思考：对于一般的a>0和任意的k，抛物线y=ax +k与抛物线y=ax 之间有什么关系？
【学生活动】当k>0时，抛物线y=ax +k就是把抛物线y=ax 向上平移k个单位得到的；当k<0时，抛物线y=ax +k就是把抛物线y=ax 向下平移|k|个单位得到的。顶点从(0,0)变为(0,k)。开口方向、开口大小和对称轴都不变。
【教师活动】归纳得非常到位！请同学们注意，这个平移规律有一个简洁的口诀——"上加下减"。也就是说，在y=ax 的基础上加上k，图象就向上平移k个单位；减去k，图象就向下平移k个单位。这个规律不仅适用于a>0的情况，也适用于a<0的情况。
【知识点】平移规律（a>0时）：1. 抛物线由抛物线上下平移|k|个单位得到；2. 当k>0时，向上平移k个单位；3. 当k<0时，向下平移|k|个单位；4. 平移口诀："上加下减"——加k向上，减k向下；5. 平移后，开口方向、开口大小和对称轴不变，只有顶点和函数值发生变化。
【设计意图】从特殊到一般地归纳平移规律，让学生在具体例子中发现的规律上升为一般性结论。口诀"上加下减"简洁易记，帮助学生快速掌握平移方向与k值符号的对应关系。
【过渡语】刚才我们研究了a>0时y=ax +k的图象特征和平移规律。那么，当a<0时，y=ax +k的图象是否也遵循同样的规律呢？让我们用类似的方法来验证。
环节三：探究a<0时y=ax +k的图象（8分钟）
一、画y=-x 、y=-x -2、y=-x +2的图象
【教师活动】请同学们用描点法在同一个坐标系中画出y=- x 、y=- x -2和y=- x +2的图象。注意，这次a是负数，我们来验证平移规律在a<0时是否同样成立。
列表：x取-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3。对于：y=-4.5, -2, -0.5, 0, -0.5, -2, -4.5。对于：y=-6.5, -4, -2.5, -2, -2.5, -4, -6.5。对于：y=-2.5, 0, 1.5, 2, 1.5, 0, -2.5。
【教师活动】请同学们观察这三条抛物线的图象，根据图象回答以下问题。
【学生活动】(1) 图象的形状都是抛物线。(2) 三条抛物线的开口方向都向下。(3) 对称轴都是y轴。(4) 从上而下，顶点坐标分别是(0,2)、(0,0)、(0,-2)。
【教师活动】回答完全正确！那么，关于顶点和函数的最值，你们有什么发现？
【学生活动】(5) 顶点都是最高点，函数都有最大值，从上而下最大值分别为y=2、y=0、y=-2。(6) 函数的增减性都相同：对称轴左侧，y随x的增大而增大；对称轴右侧，y随x的增大而减小。
【教师活动】非常好！通过a<0的探究，我们发现平移规律在a<0时同样成立。y=-x +2是由y=-x 向上平移2个单位得到的，y=-x -2是由y=-x 向下平移2个单位得到的。顶点从(0,0)变为(0,2)和(0,-2)，开口方向、开口大小和对称轴都不变，增减性规律也不变。
【知识点】a<0时y=ax +k的图象特征：1. 开口向下（a<0）；2. 对称轴是y轴（直线x=0）；3. 顶点坐标为(0, k)，顶点是最高点，函数最大值为k；4. 增减性：对称轴左侧（x<0），y随x增大而增大；对称轴右侧（x>0），y随x增大而减小；5. 平移规律与a>0时完全相同："上加下减"。
【设计意图】通过a<0时的类比探究，验证了平移规律的普遍性——无论a是正还是负，y=ax +k都是由y=ax 上下平移得到的。这一验证过程培养了学生的类比推理能力和严谨求证的科学态度。
二、归纳平移规律——"上加下减"
【教师活动】通过a>0和a<0两种情况的探究，我们可以得出一个统一的结论。请同学们思考：抛物线y=ax +k与抛物线y=ax 到底是什么关系？
抛物线与抛物线形状完全相同（开口方向、开口大小、对称轴都相同），只是位置不同。抛物线可以看作由抛物线沿y轴方向平移|k|个单位得到的。当k>0时，向上平移；当k<0时，向下平移。
【教师活动】总结得非常到位！这个规律我们可以用四个字来概括——"上加下减"。请大家牢牢记住：在y=ax 的基础上，加上k向上平移，减去k向下平移。这与一次函数中b的变化导致图象上下平移的规律是完全一致的。
【知识点】平移规律总结（"上加下减"）：1. 抛物线由抛物线上下平移得到；2. 平移方向：k>0时向上平移k个单位，k<0时向下平移|k|个单位；3. 平移后不变的性质：开口方向、开口大小（由a决定）、对称轴（y轴）、增减性规律；4. 平移后变化的性质：顶点坐标从(0,0)变为(0,k)，函数值整体增加k；5. 口诀："上加下减"——k正向上，k负向下。
【设计意图】通过a>0和a<0两种情况的对比，归纳出统一的平移规律"上加下减"，帮助学生建立完整的知识体系。强调平移后不变的性质和变化的性质，有利于学生全面把握y=ax +k的图象特征。
易错提示：1. "上加下减"指的是在y=ax 基础上加k向上平移，减k向下平移。注意：k本身是带符号的，y=ax -3中k=-3，是向下平移3个单位。2. 平移后对称轴仍然是y轴，不会变成其他直线。顶点坐标是(0,k)，不是(k,0)。注意横坐标始终为0，只有纵坐标变为k。3. 平移后增减性规律不变：a>0时左降右升，a<0时左升右降。增减性规律只与a的符号有关，与k无关。
【过渡语】通过两个环节的探究，我们对y=ax +k的图象有了直观的认识。现在，让我们系统地归纳y=ax +k的图象和性质，形成一个完整的知识框架。
环节四：归纳总结性质（5分钟）
一、y=ax +k的图象和性质完整归纳
【教师活动】请同学们结合刚才的探究和屏幕上的表格，系统地归纳二次函数y=ax +k的图象和性质。
【学生活动】a>0时：开口向上，对称轴是y轴，顶点是(0,k)，顶点是最低点，当x=0时y有最小值k。x<0时y随x增大而减小，x>0时y随x增大而增大。a<0时：开口向下，对称轴是y轴，顶点是(0,k)，顶点是最高点，当x=0时y有最大值k。x<0时y随x增大而增大，x>0时y随x增大而减小。两种情况下，|a|越大开口越小，|a|越小开口越大。
【教师活动】总结得非常全面！与y=ax 相比，y=ax +k最大的变化就是顶点从(0,0)变为了(0,k)，函数的最值也从0变为k。其他性质——开口方向、对称轴、增减性规律——都与y=ax 完全一致。这就是"上加下减"的数学本质。
【知识点】二次函数的图象和性质：【图象特征】1. 图象是一条抛物线；2. 开口方向由a的符号决定：a>0开口向上，a<0开口向下；3. 开口大小由|a|决定：|a|越大开口越小，|a|越小开口越大；4. 对称轴是y轴（直线x=0）；5. 顶点坐标为(0, k)；【函数性质】6. a>0时，顶点是最低点，x=0时y有最小值k；a<0时，顶点是最高点，x=0时y有最大值k；7. 增减性：a>0时，x<0递减、x>0递增；a<0时，x<0递增、x>0递减；【与y=ax 的关系】8. 由y=ax 上下平移|k|个单位得到，k>0向上，k<0向下（"上加下减"）。
【设计意图】通过系统归纳y=ax +k的图象和性质，帮助学生建立一个完整的知识框架。从"图象特征→函数性质→与y=ax 的关系"三个维度进行总结，层次清晰，便于学生记忆和运用。
规律总结：分析性质的"四步法"：第一步，看a的符号——判断开口方向（a>0向上，a<0向下）；第二步，看|a|的大小——判断开口大小（|a|越大开口越小）；第三步，看k的值——确定顶点坐标(0, k)和最值（k为最小值或最大值）；第四步，结合a的符号——判断增减性（a>0左降右升，a<0左升右降）。对称轴始终是y轴，不受a和k的影响。
方法归纳：比较与图象的"三同三不同"：三同：开口方向相同、开口大小相同、对称轴相同（都是y轴）；三不同：顶点纵坐标不同（由0变为k）、函数最值不同（由0变为k）、图象位置不同（整体上下平移）。记住"三同三不同"，就能快速掌握y=ax +k与y=ax 的异同点。
【过渡语】通过系统的归纳总结，我们对y=ax +k的图象和性质有了全面的认识。现在，让我们通过课堂练习来巩固和运用这些知识。
环节五：课堂练习（14分钟）
一、练一练1——选择题
1. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A. 图象的开口向下
B. 当x<-1时，y随x的增大而减小
C. 图象的对称轴是直线x=2
D. 当x=0时，y有最大值3
【学生活动】分析：a=2>0，开口向上，A错误；对称轴是y轴，即x=0（不是x=2），C错误；开口向上，顶点是最低点，当x=0时y有最小值3（不是最大值），D错误。当x<-1时，在对称轴左侧，由于a>0，x<0时y随x增大而减小，所以B正确。答案：B。
【设计意图】练习1通过选择题的形式，训练学生运用y=ax +k的性质进行判断。四个选项分别考查了开口方向、增减性、对称轴和最值，全面覆盖了y=ax +k的核心性质。
二、练一练2——选择题
2. 关于抛物线与，下列说法正确的是（ ）
A. 开口方向相同
B. 顶点相同
C. 对称轴相同
D. 当x>0时，y随x的增大而增大
【学生活动】分析：y=-x2+1中a=-1<0，开口向下，顶点(0,1)；y=x2-1中a=1>0，开口向上，顶点(0,-1)。开口方向相反（A错），顶点不同（B错），对称轴相同都是y轴（C正确）。对于y=-x2+1（a<0），x>0时y随x增大而减小；对于y=x2-1（a>0），x>0时y随x增大而增大，两函数增减性不同，D错误。答案：C。
【设计意图】练习2将两个不同的y=ax +k函数放在一起对比，要求学生分别判断各自的开口方向、顶点、对称轴和增减性，再进行综合比较，训练了学生的对比分析能力。
三、练一练3——选择题
3. 二次函数的图象是将（ ）
A. 抛物线y=-3x 向左平移3个单位得到
B. 抛物线y=-3x 向左平移1个单位得到
C. 抛物线y=3x 向上平移1个单位得到
D. 抛物线y=-3x 向上平移1个单位得到
【学生活动】分析：y=-3x2+1中a=-3，k=1。根据"上加下减"的平移规律，k=1>0，所以是由y=-3x2向上平移1个单位得到的。A和B说"向左平移"是错误的（上下平移不是左右平移），C中将y=x2改为y=-3x2是错误的（开口方向变了）。答案：D。
【设计意图】练习3直接考查平移规律"上加下减"的运用。选项设计中故意设置了"左右平移"和"改变a值"的干扰项，检验学生是否真正理解平移的本质——a不变，只有k决定平移。
四、教材P38练习——画图与比较
【教师活动】请同学们独立完成教材P38的练习。在同一平面直角坐标系中，画出y=x 、y=x +1、y=x -1的图象，并指出三条抛物线的位置关系，分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点，以及随着x的增大，y的变化情况。
（学生独立画图，教师巡视指导。约5分钟后，请同学展示并讲解。）
【学生活动】三条抛物线都是开口向上，对称轴都是y轴。y=x 的顶点是(0,0)，y=x +1的顶点是(0,1)，y=x -1的顶点是(0,-1)。y=x +1由y=x 向上平移1个单位得到，y=x -1由y=x 向下平移1个单位得到。增减性：三条抛物线都是a=1>0，所以x<0时y随x增大而减小，x>0时y随x增大而增大。
【教师活动】画图规范，分析全面！这道题综合考查了描点法画图、平移关系判断和性质描述，是本节课核心知识的综合运用。
【设计意图】教材P38练习是本节课的核心练习，要求学生独立完成画图、比较和性质描述的全过程，是对"描点法画图→观察平移关系→分析图象性质"这一完整探究流程的巩固和检验。
五、填空练习——平移关系
【教师活动】请同学们完成以下填空，巩固平移规律的运用。
1. 抛物线可以由抛物线向______平移______个单位得到。
【学生活动】答案：向上平移3个单位。因为k=3>0，根据"上加下减"，向上平移3个单位。
2. 抛物线向______平移______个单位后，会得到抛物线。
【学生活动】答案：向下平移1个单位。要从y=-x +1回到y=-x ，需要减去1，即向下平移1个单位。
3. 抛物线的开口方向______，对称轴是______，顶点坐标是______。
【学生活动】答案：开口向下（a=-2<0），对称轴是y轴，顶点坐标是(0,-5)。
【设计意图】填空练习分别考查了正向平移（从y=ax 到y=ax +k）、逆向平移（从y=ax +k到y=ax ）和性质描述，多角度巩固平移规律和性质判断。
六、综合练习——性质判断与参数求解
【教师活动】请同学们完成以下综合练习，灵活运用y=ax +k的性质。
4. 已知点(m,n)在（a不为0）的图象上，点(-m,n)______（填"在"或"不在"）（a不为0）的图象上。
【学生活动】分析：抛物线y=a+a的对称轴是y轴，图象关于y轴对称。点(m,n)和点(-m,n)关于y轴对称。因为抛物线关于y轴对称，所以如果点(m,n)在图象上，那么点(-m,n)也一定在图象上。答案：在。
5. 若的顶点是原点，则k______；若顶点位于x轴上方，则k______；若顶点位于x轴下方，则k______。
【学生活动】分析：y=+(k-2)的顶点坐标是(0, k-2)。顶点是原点，即k-2=0，k=2。顶点在x轴上方，即k-2>0，k>2。顶点在x轴下方，即k-2<0，k<2。
【设计意图】练习4-5考查了对称性的应用和顶点位置与参数的关系。第4题需要学生灵活运用抛物线的对称性，第5题需要将几何条件（顶点在x轴上方/下方）转化为代数不等式，培养了转化思想。
七、综合应用题
6. 已知抛物线。
(1) 若抛物线的形状与y=2x 相同，开口方向相反，且顶点坐标为(0,-3)，则该抛物线的函数表达式是______。
分析：形状与相同，即|a|=2；开口方向相反，即a<0，所以a=-2。顶点坐标为(0,-3)，即k=-3。所以表达式为。
(2) 若抛物线向上平移2个单位后得到的抛物线的函数表达式为y=-0.5x -1，则a=______，k=______。
分析：向上平移2个单位后得到，根据"上加下减"的逆运算，原抛物线为。所以a=-0.5，k=-3。
(3) 若抛物线的最小值为4，且经过点(1,5)，则该抛物线的函数表达式是______；将抛物线向下平移3个单位，得到的新的抛物线的函数表达式是______。
分析：最小值为4，说明a>0且k=4，所以抛物线为。经过点(1,5)，代入得，解得a=1。所以表达式为。向下平移3个单位，得。
【设计意图】练习6是一道综合应用题，融合了参数求解、平移规律和函数性质判断。三个小题分别考查了"由形状和顶点求表达式"、"由平移后的表达式反推原表达式"和"由最值和点坐标求表达式"，综合性强，对学生的分析能力要求较高。
解题策略：含参数问题的解题步骤：第一步，根据已知条件确定a的值（开口方向→a的符号，开口大小→|a|的值，形状→|a|的值）；第二步，根据已知条件确定k的值（顶点坐标→k，最值→k，平移关系→k）；第三步，验证条件的合理性（如a≠0是否满足）。关键提醒：a和k是两个独立的参数，分别控制开口大小（和方向）与顶点位置，求解时先分别确定再组合。
八、几何综合题——面积问题
7. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，点P为抛物线上一点，且，求P点的坐标。
【教师活动】这道题是一道几何与函数结合的综合题。请同学们先思考：如何求A、B两点的坐标？如何利用三角形面积公式求P点的坐标？
解：抛物线，当y=0时，，解得。即A点的坐标为(-2,0)，B点的坐标为(2,0)。所以AB=4。
因为，设P点纵坐标为b，则，所以|b|=2，即b=±2。
【学生活动】当b=2时，将y=2代入y=x2-4，得x2-4=2，x2=6，。所以P点坐标为或。当b=-2时，将y=-2代入y=x2-4，得x2-4=-2，x2=2，。所以P点坐标为或。
【教师活动】非常完整！这道题的关键步骤是：先求AB的长度，再利用三角形面积公式求出P点纵坐标的绝对值，最后代入抛物线解析式求横坐标。注意|b|=2时b可以取2或-2，对应P点在x轴上方或下方，各有两种情况，因此共有4个点满足条件。
【设计意图】练习7是一道几何与函数结合的综合题，将抛物线与x轴的交点、三角形面积公式和二次方程的求解结合在一起，考查了学生综合运用函数和几何知识解决问题的能力。
解题策略：抛物线与几何综合问题的解题思路：1. 求抛物线与x轴的交点——令y=0，解一元二次方程；2. 利用几何条件列方程——根据面积、距离等几何关系，列出关于坐标的方程；3. 注意分类讨论——当出现绝对值时，需要讨论正负两种情况；4. 代入验证——将求出的坐标代入原函数检验是否满足条件。
环节六：课堂小结（3分钟）
【教师活动】同学们，本节课我们学习了二次函数y=ax +k的图象和性质。请同学们回顾一下，本节课你有哪些收获？可以从"图象"、"性质"、"与y=ax 的关系"三个方面来总结。
【学生活动】我学会了用描点法画y=ax +k的图象，知道它的图象也是一条抛物线。我掌握了y=ax +k的性质：开口方向由a的符号决定，对称轴是y轴，顶点坐标是(0,k)，a>0时顶点是最低点、函数有最小值k，a<0时顶点是最高点、函数有最大值k。增减性规律与y=ax 一致：a>0时左降右升，a<0时左升右降。
【学生活动】我理解了y=ax +k与y=ax 之间的关系：y=ax +k的图象是由y=ax 的图象上下平移得到的。当k>0时向上平移k个单位，当k<0时向下平移|k|个单位。口诀是"上加下减"。平移后，开口方向、开口大小和对称轴都不变，只有顶点位置和函数值发生改变。
【学生活动】我还学会了分析y=ax +k性质的方法——先看a的符号判断开口方向，再看|a|的大小判断开口大小，然后看k的值确定顶点坐标和最值，最后结合a的符号判断增减性。对称轴始终是y轴，不受a和k的影响。
【教师活动】同学们总结得非常全面！本节课的知识框架可以概括为三个方面：图象（开口方向由a决定，k决定顶点位置，对称轴是y轴）、性质（增减性结合开口方向和对称轴确定）和与y=ax 的关系（平移规律：k正向上，k负向下）。请同学们把这个框架记住，它将为后续学习y=a(x-h) 和y=a(x-h) +k打下坚实的基础。
【知识点】二次函数的图象和性质——知识框架：【图象】1. 开口方向由a的符号决定：a>0向上，a<0向下；2. 开口大小由|a|决定：|a|越大开口越小，|a|越小开口越大；3. k决定顶点的位置：顶点坐标为(0, k)；4. 对称轴是y轴（直线x=0）；【性质】5. 增减性结合开口方向和对称轴才能确定：a>0左降右升，a<0左升右降；6. 最值：a>0时x=0有最小值k，a<0时x=0有最大值k；【与y=ax 的关系】7. 平移规律：k正向上平移k个单位，k负向下平移|k|个单位（"上加下减"）。
【设计意图】通过师生共同总结，帮助学生梳理本节课的核心知识体系，从"图象→性质→与y=ax 的关系"三个维度形成完整的知识网络。强调"上加下减"的平移规律是本节课的核心，也是后续学习更复杂二次函数平移的基础。
方法总结：研究二次函数图象性质的一般方法——"三步法"升级版：第一步，用描点法画图——以对称轴为中心对称取点→描点→平滑曲线连接；第二步，与基本函数对比——观察平移关系，找出异同点；第三步，用数学语言归纳性质——从"开口方向、对称轴、顶点、增减性、最值"五个维度描述。这个"画图→对比→归纳"的方法，将贯穿后续所有二次函数图象的学习。
环节七：课后作业（2分钟）
【教师活动】请同学们课后完成以下作业，巩固本节课所学的二次函数y=ax +k的图象和性质。
1. 从教材习题中选取：完成教材P38-39的练习题，包括画图、性质描述和平移关系判断。
2. 完成练习册本课时的习题：重点练习平移规律"上加下减"的运用。
3. 思考题：如果抛物线y=ax +k的顶点在直线y=2x上，且a=1，求k的值。
【教师活动】下节课我们将学习二次函数y=a(x-h) 的图象和性质，探究在y=ax 的基础上改变x的系数（即配方后括号内x-h的形式）后，抛物线会发生怎样的左右平移变化。请同学们预习教材相关内容。
【设计意图】课后作业兼顾基础巩固（教材习题、练习册）和拓展探究（思考题、动态演示），既确保学生掌握y=ax +k的基本图象和性质，又为下节课学习y=a(x-h) 的左右平移做好铺垫。思考题将顶点位置与直线方程结合，培养学生的综合运用能力。
四、板书设计
26.2.2 二次函数y=ax +k的图象和性质 一、探究a>0：y=2x +2, y=2x -2
1. 描点法画图 → 列表、描点、连线 2. 与y=2x 对比： 开口方向相同 开口大小相同 对称轴相同（y轴） 顶点不同：(0,2) (0,0) (0,-2) 3. 平移关系： y=2x +2 由 y=2x 向上平移2个单位 y=2x -2 由 y=2x 向下平移2个单位
二、探究a<0：y=-x , y=-x -2, y=-x +2 三、平移规律——"上加下减"
1. 描点法画图 2. 图象特征： 开口向下，对称轴y轴 顶点：(0,2) (0,0) (0,-2) 顶点都是最高点 增减性相同：左升右降 3. 平移规律同样成立
四、y=ax +k的图象和性质 五、课堂练习
1. 开口方向：a>0向上，a<0向下 2. 开口大小：|a|越大开口越小 3. 对称轴：y轴（直线x=0） 4. 顶点：(0, k) 5. a>0：最低点，最小值k a<0：最高点，最大值k 6. 增减性： a>0：左降右升 a<0：左升右降
六、课堂小结 1. 练一练1-3：选择题 2. 教材P38练习：画图比较 3. 填空练移关系 4. 综合练习：参数求解 5. 几何综合题：面积问题
五、教学反思
1. 环节一的回顾复习是否有效？学生能否快速回忆起y=ax 的图象和性质，以及描点法画图的方法？从y=ax 到y=ax +k的过渡是否自然，学生是否理解了"我们是在y=ax 的基础上添加一个常数项k"这一研究思路？
2. 环节二中，学生在用描点法画y=2x +2和y=2x -2的图象时，列表计算是否准确？学生能否从数据表中发现"同x值y差k"的代数规律？在描点连线后，学生能否直观地看出三条抛物线之间的平移关系？"向上平移2个单位"和"向下平移2个单位"的描述，是学生自己发现的还是教师直接告知的？
3. 环节三中，类比研究方法是否有效？学生能否从a>0的探究中自然迁移到a<0的探究？a<0时，学生是否注意到增减性规律与a>0时相反，但平移规律完全相同？"上加下减"的平移规律是否已经被学生接受和掌握？
4. 环节四的归纳总结是否全面？学生是否能够从"开口方向、对称轴、顶点、增减性、最值"五个维度系统地描述y=ax +k的图象和性质？"三同三不同"的对比方法是否帮助学生清晰地认识了y=ax +k与y=ax 的异同？
5. 课堂练习中，学生最容易出错的地方在哪里？是增减性的判断（特别是a<0时），还是平移方向的判断（混淆"上加下减"中k的符号与平移方向），或者是顶点坐标的确定（误写为(k,0)或(0,0)）？针对这些易错点，教师是否给予了及时的纠正和强化？
6. 练习7（几何综合题）的难度是否适中？学生在求AB长度和利用三角形面积公式时是否遇到困难？分类讨论（|b|=2时b=±2）是否被学生遗漏？教师是否引导了学生进行完整的分类讨论？
7. 本节课是否充分体现了"数形结合"的思想？学生是否能够从解析式（数）的变化（加k）中，直接想象出图象（形）的变化（上下平移）？"见解析式即知图象"的能力是否在本节课中得到了培养？
8. 板书设计是否清晰地呈现了本节课的研究脉络？从"a>0探究→a<0类比→平移规律→性质归纳→课堂练习→课堂小结"的板书结构是否有助于学生建立完整的知识体系？课后作业的布置是否兼顾了巩固基础（教材习题）和拓展探究（思考题、动态演示）？

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