资源简介

13.1 三角形的概念
课题 13.1 三角形的概念 课型 新授课
课时 1课时（45分钟） 教材版本 人教版八年级上册 第十三章
教学方法 情境导入、观察归纳、合作探究、讲练结合 教学用具 多媒体课件、三角板、直尺、实物模型
教材分析 本节课选自人教版八年级上册第十三章"三角形"的第一节"三角形的概念"。三角形是最简单的多边形，是研究其他几何图形的基础。本节课是本章的起始课，将系统学习三角形的定义、基本元素（边、顶点、内角）、表示方法，以及三角形按边的分类（等腰三角形、等边三角形）。学生在此之前已经学习了线段、角等基本几何概念，本节课将三条线段围成封闭图形，为后续学习三角形的边、角性质以及全等三角形奠定基础。本节课的内容是几何入门框架的关键一环，对学生建立几何学习的系统性思维具有重要意义。
学情分析 八年级学生已经学习了线段、角、平行线、相交线等基础几何知识，具备了一定的几何直观能力和逻辑推理能力。学生能够识别生活中的三角形，但对三角形的数学定义、符号表示和系统分类还不够清晰。学生在小学阶段已接触过等腰三角形和等边三角形的名称，但对它们之间的包含关系（等边三角形是特殊的等腰三角形）可能存在认知困难。此外，学生在数复杂图形中的三角形个数时，容易出现遗漏或重复，需要教师引导总结计数方法。本节课将通过生活实例引入、动手画图、观察归纳等方式，帮助学生从感性认识上升到理性认识，建立三角形的完整概念体系。
教学重点：理解三角形的定义和基本要素（边、顶点、内角），掌握三角形的符号表示方法；能够按边的相等关系对三角形进行分类，理解等腰三角形与等边三角形的包含关系。 理解三角形的定义和基本要素（边、顶点、内角），掌握三角形的符号表示方法；能够按边的相等关系对三角形进行分类，理解等腰三角形与等边三角形的包含关系。
教学难点：在复杂图形中准确数出三角形的个数，不重不漏；理解三角形按边分类的体系，特别是等边三角形是特殊的等腰三角形这一包含关系；理解三角形按角分类和按边分类是两种独立的分类方式。 在复杂图形中准确数出三角形的个数，不重不漏；理解三角形按边分类的体系，特别是等边三角形是特殊的等腰三角形这一包含关系；理解三角形按角分类和按边分类是两种独立的分类方式。
一、核心素养目标
1. 几何直观
通过观察生活中的三角形实例（如卢浮宫玻璃金字塔、桥梁、屋顶等），从实物中抽象出三角形模型，建立三角形的几何直观。在画三角形的过程中，体会"不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接"这一本质特征，发展空间观念和几何直观能力。
2. 空间观念
通过认识三角形的基本元素（顶点、边、内角），学会用符号、字母准确表示三角形（如△ABC）。在复杂图形中识别和计数三角形，培养从整体到局部的空间观察能力，建立"图形由元素组成"的结构化思维。
3. 推理能力
通过观察三组不同边长的三角形，归纳出三角形按边分类的依据——三条边的相等关系，经历从特殊到一般的归纳推理过程。在理解等腰三角形与等边三角形的关系时，体会包含关系的逻辑推理。在判断"等边三角形一定不是钝角三角形""钝角三角形一定不是等腰三角形"等命题时，发展逻辑推理和批判性思维能力。
4. 应用意识
能运用三角形的定义判断一个图形是否是三角形，能运用三角形按边分类的知识解决实际问题（如判断三角形的类型），体会数学分类思想在生活中的应用价值。
二、教学重难点
教学重点
1. 理解三角形的定义，掌握三角形的基本要素：边、顶点、内角，会用符号△ABC表示三角形。
2. 能按边的相等关系对三角形进行分类，理解等腰三角形和等边三角形的定义及其包含关系。
3. 能在复杂图形中正确识别和计数三角形，掌握数三角形的方法。
教学难点
1. 在复杂图形中准确数出三角形的个数，做到不重不漏，掌握按组成图形个数、固定顶点或固定边等计数方法。
2. 理解三角形按边分类的完整体系，特别是"等边三角形是特殊的等腰三角形"这一包含关系，并能用集合图表示各分类之间的关系。
3. 理解三角形按角分类和按边分类是两种独立的分类方式，同一个三角形可以同时属于两种分类体系中的不同类别。
三、教学过程
环节一：情境导入（3分钟）
【教师活动】同学们，请观察大屏幕上的图片。这座建筑是法国巴黎卢浮宫前的玻璃金字塔，你能从它的结构中找出哪种几何图形？
法国卢浮宫玻璃金字塔
【学生活动】三角形！玻璃金字塔的外表面由许多三角形组成。
【教师活动】观察得很仔细！三角形在我们的生活中无处不在。请同学们再看以下几幅图片，找一找图中的三角形。
生活中的三角形实例
生活中的三角形实例
生活中的三角形实例
【教师活动】你还能在生活中找到哪些三角形的物体？请举例说一说。
【学生活动】自行车的三角架、屋顶的三角形框架、路边的三角形警示牌、衣架、三角形的风筝等。
【教师活动】同学们举的例子非常丰富！三角形是我们在生活中最常见的几何图形之一。从今天开始，我们将系统地学习第十三章"三角形"。本节课先来学习三角形的概念、基本要素和分类。
【过渡语】通过展示卢浮宫玻璃金字塔和生活中的三角形实例，激发学生的学习兴趣，让学生感受三角形在建筑和生活中的广泛应用，自然引入本节课的学习主题。
【设计意图】以卢浮宫玻璃金字塔这一世界著名建筑作为导入素材，既体现了数学的跨学科价值（数学与建筑艺术的融合），又以其震撼的视觉效果吸引学生的注意力。通过"找一找、说一说"的活动，调动学生的生活经验，从感性认识出发，为三角形的概念学习做好铺垫。
环节二：三角形的概念（8分钟）
【教师活动】请同学们观察屏幕上的三个三角形，它们有什么共同点？
观察三角形的共同特征
观察三角形的共同特征
观察三角形的共同特征
【学生活动】它们都是由三条线段组成的；每条线段都互相连接，形成了封闭的图形；三个点不在同一条直线上。
【教师活动】总结得非常到位！请同学们注意，这三个条件缺一不可：三条线段、不在同一条直线上、首尾顺次相接。我们把满足这三个条件的图形叫作三角形。
【知识点】三角形的定义：
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫作三角形。
关键词：
（1）三条线段——组成三角形的边；
（2）不在同一条直线上——三条线段不能共线，否则无法围成封闭图形；
（3）首尾顺次相接——每条线段的端点依次相连，形成封闭图形。
【教师活动】现在请同学们自己动手画一个三角形，并说一说你是怎么画的。
【学生活动】我先任意取三个不在同一直线上的点，然后用线段依次连接相邻的两个点，首尾相接，就画出了一个三角形。
【教师活动】很好！画三角形的关键就是：先在平面上取三个不在同一条直线上的点，然后依次连接。那如果三个点在同一条直线上呢？
【学生活动】那就只能得到一条线段，围不成三角形。
【教师活动】正确！接下来，我们来做一组针对训练，判断下列图形是否是三角形。
【学生活动】第一个图形是三角形（√），第二个到第五个图形都不是三角形（× × × ×）。因为第二个到第五个图形都没有做到首尾顺次相接，有的线段没有连接，有的出现了交叉或断开。
【教师活动】判断准确！判断一个图形是否是三角形，关键就是看它是否满足定义的三个条件：三条线段、不在同一直线上、首尾顺次相接。三个条件缺一不可。
易错提示：判断三角形时，不能只看图形"像不像"三角形，必须严格按照定义逐条对照：（1）是不是由三条线段组成？（2）这三条线段是否不在同一条直线上？（3）是否首尾顺次相接（即每条线段的端点都恰好与另一条线段的端点重合，形成封闭图形）？特别注意：有些图形虽然有三条线段，但如果线段没有首尾顺次相接（如出现开口、交叉或未完全连接），都不能称为三角形。
【设计意图】通过"观察共同点→归纳定义→动手画图→针对训练"的递进式设计，让学生从感性认识上升到理性认识，再通过动手实践和辨析训练加深对三角形定义的理解。动手画图让每个学生亲身体验"不在同一直线上"和"首尾顺次相接"的含义，避免机械记忆。
【过渡语】我们已经知道了什么是三角形，也学会了如何判断一个图形是否是三角形。接下来，我们来认识三角形的各个组成部分——也就是三角形的"元素"。
环节三：三角形的元素（8分钟）
一、三角形的顶点和边
【教师活动】一个三角形由哪些基本元素组成？请同学们观察这个三角形，说一说。
【学生活动】三角形有三个顶点，分别用大写字母A、B、C表示。还有三条边，分别是线段AB、线段BC、线段CA。
【教师活动】说得很好！三角形的三个顶点是相邻两边的公共端点。三条边是组成三角形的线段。有时候，三角形各边的名称也可以用它所对的顶点的小写字母来表示。顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示。
【知识点】三角形的顶点和边：
顶点：三个顶点，是相邻两边的公共端点，用大写字母A、B、C表示。
边：三条边，分别是线段AB、BC、CA。
边的简化表示：顶点A所对的边BC记作a；顶点B所对的边AC记作b；顶点C所对的边AB记作c。
注意：边用小写字母表示时，必须与所对顶点的字母对应（A对a，B对b，C对c）。
二、三角形的内角和符号表示
【教师活动】三角形的相邻两边组成什么？
【学生活动】相邻两边组成角，三角形有三个角，分别是∠A、∠B、∠C。
【教师活动】对！这三个角叫作三角形的内角，简称三角形的角。那么，我们如何用符号来表示一个三角形呢？
【学生活动】用符号"△"表示三角形，顶点是A、B、C的三角形记作△ABC，读作"三角形ABC"。
【教师活动】完全正确！△是三角形的专用符号，后面紧跟三个顶点的字母，通常按逆时针或顺时针顺序排列。
【知识点】三角形的内角和符号表示：
内角：相邻两边所组成的角，简称三角形的角。三个内角分别是∠A、∠B、∠C。
符号表示：顶点是A、B、C的三角形记作△ABC，读作"三角形ABC"。
△是三角形的专用符号，不能省略或替换。
△ABC与△ACB、△BAC等表示同一个三角形，但通常按顶点顺序规范书写。
【设计意图】三角形的元素（顶点、边、内角）和符号表示是后续学习的基础语言。通过学生自主观察和归纳，让学生掌握三角形的基本"语汇"——用△符号表示三角形、用大写字母表示顶点、用小写字母表示边，为后续几何推理中的符号表达打好基础。
规律总结：三角形的"三要素"可以概括为：（1）三个顶点——用大写字母表示（A、B、C）；（2）三条边——用线段表示（AB、BC、CA），也可用小写字母表示（a、b、c，分别对应顶点A、B、C的对边）；（3）三个内角——用∠符号表示（∠A、∠B、∠C）。记忆口诀："三边三角三顶点，△ABC记心间。边小写对应顶大写，A对a来B对b。"
【过渡语】现在我们已经认识了三角形的基本元素和符号表示方法。接下来，让我们通过例题来巩固这些知识，并学习如何在复杂图形中识别和计数三角形。
环节四：例题精讲与计数方法（10分钟）
一、教材P3例题——识别三角形
【教师活动】请同学们看教材P3的例题。如图，在△ABC中，点D在边BC上，且BD = AD = DC = AC。请完成以下问题。
（1）写出以点C为顶点的三角形。
（2）写出以AB为边的三角形。
【教师活动】请同学们先独立思考，然后同桌交流，再请同学回答。
【学生活动】（1）以点C为顶点的三角形有△ABC和△ADC。因为以C为顶点，就是从C出发找包含C的三角形，图中一共有两个。
【学生活动】（2）以AB为边的三角形有△ABC和△ABD。因为以AB为边，就是找包含线段AB的三角形，图中一共有两个。
【教师活动】回答完全正确！以某点为顶点的三角形，就是从该点出发，找所有包含该点的三角形。以某边为边的三角形，就是找包含该边的三角形。这种从元素出发找三角形的方法，是识别三角形的基本方法。
【设计意图】教材例题以"以某点为顶点""以某边为边"为问题导向，引导学生从元素的角度去识别三角形，既巩固了顶点和边的概念，又为后续复杂图形中计数三角形提供了方法铺垫。
二、针对训练——复杂图形中计数三角形
【教师活动】接下来，请同学们看一道更有挑战性的题目。在△ABC中，D、E分别为边BC、AC上的点，AD、BE相交于点F。请回答以下问题。
（1）图中有几个三角形？请把它们表示出来。
（2）以AB为边的三角形有哪些？
（3）以∠C为内角的三角形有哪些？
【教师活动】这道题需要在复杂图形中数三角形，容易数漏或数重复。请同学们先独立思考，尝试用自己有方法去数，然后我们一起来总结方法。
【学生活动】（1）我按照组成三角形的图形个数来数。单个的三角形有：△ABF、△AEF、△BDF；两个图形组成的三角形有：△ABD、△ABE、△ACD、△BCE；四个图形组成的三角形有：△ABC。3 + 4 + 1 = 8，所以图中一共有8个三角形。
【学生活动】（2）以AB为边的三角形有：△ABF、△ABD、△ABE、△ABC。这四个三角形都包含边AB。
【学生活动】（3）以∠C为内角的三角形有：△BCE、△ACD、△ABC。这三个三角形都包含∠C。
【教师活动】非常好！这位同学用的是"按组成图形的个数"去数的方法，非常清晰，不重不漏。还有其他方法吗？
【学生活动】也可以固定一个顶点，变换另外两个顶点去数。比如固定A点，找以A为顶点的三角形，再固定B点，等等。
【学生活动】还可以固定一条边，按顺序去数。比如先找以AB为边的三角形，再找以AC为边的，等等。
【教师活动】同学们总结得非常好！数三角形个数有三种常用方法，请同学们记下来。
【知识点】数三角形个数的方法：
方法一：按组成三角形的图形个数去数。先数由单个图形组成的三角形，再数由两个图形组成的三角形，再数由三个图形组成的三角形……以此类推，最后相加。
方法二：固定一个顶点，变换另外两个顶点去数。例如固定A点，找所有包含A的三角形，再固定B点，以此类推，注意去重。
方法三：固定一条边，按一定的顺序去数。例如先找以AB为边的三角形，再找以AC为边的，再找以BC为边的，等等。
无论用哪种方法，关键是做到"有序"——按一定顺序，不重不漏。
解题策略：复杂图形中计数三角形的"三步走"策略：第一步，观察图形，明确基本图形和交点的位置，找出所有可能构成三角形的点；第二步，选择一种计数方法（推荐"按组成图形个数"的方法，最直观），按顺序逐一列举；第三步，将列举出的三角形与总数对照，检验是否遗漏或重复。常见错误：数单个三角形时遗漏了某个小三角形，或数组合三角形时重复计算。解决方法是边数边在图上做标记。
【设计意图】通过"教材例题→变式训练→方法总结"的递进设计，让学生经历从简单图形到复杂图形的识别过程，掌握三种计数方法。本环节是本节课的重点和难点，通过多角度归纳计数方法，帮助学生建立有序思维。
【过渡语】现在我们已经学会了三角形的定义、元素和计数方法。接下来，我们来研究三角形的分类——按照边的相等关系，三角形可以分为哪些类型？
环节五：三角形的分类（8分钟）
一、回顾按角分类，引入按边分类
【教师活动】同学们，我们之前学过三角形按角的大小分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。那么，如果按照边的相等关系，三角形又可以分为哪些类型呢？请同学们观察下面三个三角形，它们的边各有什么特点？
【学生活动】第一个三角形的三条边互不相等；第二个三角形有两条边相等；第三个三角形三条边都相等。
【教师活动】观察得很准确！根据边的相等关系，我们可以将三角形分为三类：三边都不相等的三角形、有两条边相等的三角形、三条边都相等的三角形。其中，有两条边相等的三角形叫作等腰三角形，三条边都相等的三角形叫作等边三角形。
二、等腰三角形和等边三角形
【教师活动】在等腰三角形中，相等的两条边叫作腰，另一条边叫作底边。两腰的夹角叫作顶角，腰与底边的夹角叫作底角。等腰三角形的两个底角是相等的，这个性质我们以后会证明。
【教师活动】等边三角形是三条边都相等的三角形，它是特殊的等腰三角形。因为等边三角形满足"有两条边相等"的条件，所以等边三角形一定属于等腰三角形。但反过来，等腰三角形不一定是等边三角形，因为等腰三角形只要求有两条边相等，第三条边可以不相等。
【知识点】等腰三角形和等边三角形：
等腰三角形：有两条边相等的三角形。相等的两条边叫腰，另一条边叫底边。两腰所夹的角叫顶角，腰与底边所夹的角叫底角。
等边三角形：三条边都相等的三角形。等边三角形是特殊的等腰三角形（三边相等是两边相等的特殊情况）。
关系：等边三角形一定是等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形。
三、三角形按边分类的体系
【教师活动】请同学们根据我们刚才的讨论，将三角形按边分类，画出分类图。
【学生活动】三角形按边分类：第一大类是三边都不相等的三角形；第二大类是等腰三角形，等腰三角形又可以分成两类：底边和腰不相等的等腰三角形、等边三角形。
【教师活动】总结得非常清晰！三角形按边分类的体系可以用树状图来表示。同时，三角形按边分类和按角分类是两种独立的分类方式，同一个三角形可以同时属于两种分类体系中的不同类别。例如，一个三角形可以既是等腰三角形（按边分），又是直角三角形（按角分）。
【知识点】三角形按边分类的体系：
三角形
├── 三边都不相等的三角形
└── 等腰三角形
├── 底边和腰不相等的等腰三角形
└── 等边三角形（特殊的等腰三角形）
注意：三角形按边分类和按角分类是两种独立的分类方式，各自独立，可以交叉。
易错提示：关于等腰三角形与等边三角形关系的常见误区：误区一：认为"等腰三角形就是有两条边相等的三角形，等边三角形是三条边都相等，所以它们是并列关系"。实际上，等边三角形是等腰三角形的特殊情况，两者是包含关系（等边三角形 等腰三角形）。误区二：认为"等腰三角形一定不是等边三角形"。实际上，等边三角形也满足"有两条边相等"的条件，所以等边三角形同时也是等腰三角形。误区三：混淆按边分类和按角分类。例如，认为"等腰三角形一定是锐角三角形"——这是错误的，等腰三角形按角分可以是锐角、直角或钝角三角形。
【设计意图】通过"观察三组三角形边长的特点→归纳分类标准→学习等腰三角形和等边三角形的定义→构建分类体系"的递进过程，帮助学生建立完整的三角形分类知识框架。特别强调等边三角形与等腰三角形的包含关系，以及按边分类与按角分类的独立性，帮助学生形成正确的分类观念。
【过渡语】通过刚才的学习，我们已经掌握了三角形的定义、元素和分类。现在，让我们通过课堂练习来巩固和运用这些知识。
环节六：课堂练习（6分钟）
一、等腰三角形和等边三角形的识别
【教师活动】回到教材P3的例题。（3）找出图中的等腰三角形和等边三角形。
【学生活动】等腰三角形有△ABD和△ADC。因为BD = AD = DC = AC，所以△ABD中AD = BD，是等腰三角形；△ADC中AD = DC = AC，三边都相等，既是等腰三角形也是等边三角形。等边三角形是△ADC。
【教师活动】分析得很清楚！几个同学注意，△ADC满足三边相等，所以它是等边三角形，当然也属于等腰三角形。
二、判断正误——分类关系的辨析
【教师活动】请判断下列说法是否正确：
① 等边三角形一定不是钝角三角形。
② 钝角三角形一定不是等腰三角形。
③ 等腰三角形一定不是锐角三角形。
④ 直角三角形一定不是等腰三角形。
【学生活动】①正确。等边三角形的三个角都是60°，都是锐角，所以一定不是钝角三角形。
【学生活动】②错误。钝角三角形可以是等腰三角形，例如顶角为钝角的等腰三角形。
【学生活动】③错误。等腰三角形可以是锐角三角形，例如等边三角形就是锐角三角形。
【学生活动】④错误。直角三角形可以是等腰三角形，即等腰直角三角形。
【学生活动】所以正确的只有1个，选A。
【教师活动】分析得非常到位！这道题的核心是理解：按边分类和按角分类是两种独立的分类方式，它们可以任意组合。
三、集合关系图
【教师活动】设M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形，Q表示等腰直角三角形。请选出能正确表示它们之间关系的是哪个选项。
【学生活动】选C。因为P是N的子集（等边三角形是特殊的等腰三角形），Q是M和N的交集（等腰直角三角形是既是直角三角形又是等腰三角形），Q不是P的子集。
【教师活动】非常正确！用集合的关系图来表示各类三角形的包含关系，可以帮助我们更直观地理解它们之间的关系。
四、综合练习
【教师活动】看第2题：若△ABC的周长是13cm，边AB与AC的和为8cm，边AC与AB的差为2cm，则△ABC按边分类是什么三角形？
【学生活动】由AB + AC = 8，AC - AB = 2，可以求出AB = 3cm，AC = 5cm。再由周长AB + AC + BC = 13，得BC = 5cm。因为AC = BC = 5cm，所以△ABC是等腰三角形。
【教师活动】解题思路清晰！这道题将三角形按边分类与简单的方程求解结合在一起，考查了综合运用能力。
【教师活动】看第3题和第4题（教材P3练习），请同学们快速完成。
【学生活动】第3题：等腰三角形有△ABC、△BOC、△AOB、△AOC；等边三角形有△ABC。
【学生活动】第4题：锐角三角形有△ACE；直角三角形有△ABC、△ABD、△ACD、△ABE；钝角三角形有△ADE。
方法归纳：三角形分类问题的通用解题思路：1. 按边分类：看三条边中是否有相等关系，有一条相等→等腰三角形，有三条相等→等边三角形，都不等→三边都不相等的三角形。2. 按角分类：看最大角是什么角——锐角（<90°）→锐角三角形，直角（=90°）→直角三角形，钝角（>90°）→钝角三角形。3. 注意两种分类方式的独立性，可以组合判断，如"等腰直角三角形"是等腰三角形+直角三角形。
【设计意图】课堂练习环节设计了"识别等腰/等边三角形→判断正误→集合关系图→综合计算→按角分类"五个递进层次的练习，从知识巩固到能力提升，全面覆盖了本节课的核心知识点。判断正误题和集合关系图帮助学生深入理解分类体系中的包含关系和独立性。
四、板书设计

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