资源简介

13.2.1 三角形的边
课题 13.2.1 三角形的边 课型 新授课
课时 1课时（45分钟） 教材版本 人教版八年级上册 第十三章
教学方法 情境导入、探究归纳、合作交流、讲练结合 教学用具 多媒体课件、三角板、直尺、木条、钉子
教材分析 本节课选自人教版八年级上册第十三章"三角形"的第二节"与三角形有关的线段"的第一课时"三角形的边"。本节课在学生已经学习了三角形的定义、基本元素和分类的基础上，进一步研究三角形三边之间的数量关系——三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。这一关系是三角形最基本的性质之一，它从"两点之间线段最短"这一基本事实出发，通过逻辑推理得出，是几何推理的典型范例。同时，本节课还介绍了三角形的稳定性及其在生活中的广泛应用，让学生体会数学与现实生活的紧密联系。本节课是后续学习三角形的高、中线、角平分线以及全等三角形的重要基础。
学情分析 八年级学生已经学习了三角形的定义和基本元素，具备了一定的几何直观能力，能够识别三角形并理解线段、角等基本概念。在几何推理方面，学生已经在"两点之间线段最短"等基本事实的基础上进行过简单的推理，具备初步的逻辑推理能力。但学生对于"由不等式移项推导两边之差小于第三边"这一代数变形过程可能存在困难，需要教师引导。此外，学生在应用三边关系判断三条线段能否组成三角形时，可能会忽略"任意"二字，只检查一组不等式而遗漏其他情况。三角形的稳定性虽然直观，但学生需要从数学角度理解其原理——由三边长度唯一确定三角形的形状。在涉及等腰三角形的讨论中，学生容易忽略分类讨论的必要性，需要用方程思想解题。
一、核心素养目标
1. 几何直观
通过彩灯电线长短比较的情境问题，从实际问题中抽象出三角形三边关系的数学模型。在画三角形、探究三边关系的过程中，体会"两点之间线段最短"这一基本事实在三角形中的具体应用，发展几何直观和空间想象能力。
2. 推理能力
经历从"两点之间线段最短"到"三角形两边之和大于第三边"的推理过程，再通过不等式变形得出"两边之差小于第三边"，体会从已知到未知的演绎推理方法。在判断三条线段能否组成三角形的过程中，理解"任意"二字的含义，发展严谨的逻辑推理能力。
3. 应用意识
能运用三角形的三边关系解决实际问题，如判断三条线段能否组成三角形、已知两边求第三边的取值范围、用给定长度的细绳围等腰三角形等。在三角形稳定性的学习中，认识三角形在建筑、工程等领域的广泛应用，体会数学的应用价值。
4. 模型观念
通过三角形的稳定性实验（三角形木架与四边形木架的对比），建立"三角形稳定性"的数学模型，理解三角形三边长度确定后形状唯一确定的原理，培养从具体实验现象中抽象出数学本质的模型观念。
二、教学重难点
教学重点
三角形的定义、表示方法、按边分类;三角形三边关系定理及应用。
教学难点
三角形三边关系定理的探究与证明;运用三边关系解决含参数的实际问题(如等腰三角形边长求解)
三、教学过程
环节一：情境导入（3分钟）
【教师活动】同学们，节日的晚上，房间内亮起了彩灯。如图所示，从点A到点C，装有黄色彩灯的电线与装有白色彩灯的电线，哪根更长呢？请说明你的理由。
【学生活动】装有黄色彩灯的电线更长。因为从点A到点C，白色彩灯的电线是直接连接的，而黄色彩灯的电线经过了点B，即从A到B再到C。根据"两点之间线段最短"，从A直接到C的线段最短，所以经过B的黄色彩灯电线更长。
【教师活动】分析得非常准确！"两点之间线段最短"是我们在小学就学过的基本事实，今天我们将用它来研究三角形的一个重要性质——三角形的三边关系。
【过渡语】通过生活中的彩灯电线问题，激活学生已有的"两点之间线段最短"的知识经验，为三角形三边关系的探究做好铺垫，体现数学来源于生活。
【设计意图】以节日彩灯电线为情境，贴近学生生活，直观形象。"哪根更长"的设问方式具有挑战性，能够激发学生的探究兴趣。从"两点之间线段最短"这一基本事实出发，自然引出三角形三边关系的探究，体现了从已知到未知、从特殊到一般的数学思维过程。
环节二：三角形三边关系（10分钟）
一、探究三角形两边之和与第三边的关系
【教师活动】请同学们任意画一个三角形ABC，从点B出发，沿三角形的边到点C，有几条线路可以选择？
【学生活动】有两条线路可以选择：第一条是从B到A再到C（即BA+AC），第二条是从B直接到C（即BC）。
【教师活动】哪条线路较短？理由是什么？
【学生活动】第二条线路更短，因为根据"两点之间线段最短"，从B到C的线段就是所有路径中最短的。所以。
【教师活动】很好！这说明三角形的两边之和与第三边之间存在什么关系？
【学生活动】三角形的两边之和大于第三边。
【教师活动】这个结论是否正确？我们能否从数学上证明它？
二、证明三角形三边关系
【教师活动】对于任意一个三角形ABC，如果把其中任意两个顶点看成定点（例如B和C），由"两点之间，线段最短"，我们可以得到什么？
【学生活动】可以得到。
【教师活动】正确！同理，我们还可以得到另外两个不等式。请同学们写出来。
【学生活动】同理有，。
【教师活动】这样，我们就证明了三角形的任意两边之和大于第三边。这是三角形三边关系的第一条重要结论。
【知识点】三角形三边关系——两边之和大于第三边：
三角形任意两边之和大于第三边。
即：在三角形ABC中，有
注意：是"任意"两边之和都大于第三边，三个不等式必须同时成立。
三、推导两边之差小于第三边
【教师活动】从这三个不等式出发，我们还能得到什么结论？请同学们观察不等式AB+AC>BC，能否通过移项得到新的不等式？
【学生活动】将AB+AC>BC移项，把AC移到右边，得到。
【教师活动】如果把AB移到右边呢？
【学生活动】得到。
【教师活动】也就是说，BC大于AB与AC的差。同理，从另外两个不等式移项，也能得到类似的结论。这说明了什么？
【学生活动】这说明三角形的任意两边之差小于第三边。
【教师活动】总结得非常好！三角形的两边之差小于第三边，是由两边之和大于第三边通过移项推导出来的，两条结论是等价的。
【知识点】三角形三边关系——两边之差小于第三边：
三角形任意两边之差小于第三边。
推导过程：由
移项得
和
同理可得其他两边之差小于第三边。
简记为：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
规律总结：三角形三边关系可以用一句话概括：三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。可以统一记为：第三边x满足（其中a、b为已知两边长，x为第三边长）。这个不等关系是判断三条线段能否组成三角形的核心依据。
四、针对训练——已知两边求第三边
【教师活动】已知三角形的三边长分别为3、8、x，则x的取值范围是多少？请同学们独立完成。
【学生活动】根据三角形的三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。由，得；由，得。所以x的取值范围是。
【教师活动】完全正确！已知两边求第三边取值范围的方法是：第三边大于已知两边的差，小于已知两边的和。请同学们记住这个结论。
【设计意图】三角形三边关系的探究遵循"直观感知→猜想验证→逻辑证明→结论应用"的完整数学探究过程。从"两点之间线段最短"这一基本事实出发，通过严格的逻辑推理得出三边关系定理，再通过不等式移项推导出"两边之差小于第三边"，体现了代数与几何的有机结合。针对训练及时巩固了"已知两边求第三边取值范围"的方法。
【过渡语】我们已经掌握了三角形三边关系的基本定理，那么如何运用这一定理来判断三条线段能否组成三角形呢？接下来我们继续探究。
环节三：判断三条线段能否组成三角形（8分钟）
一、探究判断条件
【教师活动】对于三条线段，当它们满足什么条件时，这三条线段能组成三角形？请同学们动手试一试：任意选择三条线段作三角形，使它的三条边长分别为你所选择的三条线段的长。
【教师活动】在作三角形的过程中，可能会出现几种情况：有的三条线段能组成三角形，有的不能。请同学们思考，为什么会出现这种情况？
【学生活动】因为并不是任意三条线段都可以组成一个三角形。当其中两条线段的和小于或等于第三条线段时，就无法围成三角形。
【教师活动】总结得很到位！一般地，如果三条线段中任意两条线段的和大于第三条线段，那么这三条线段能组成三角形。如果三条线段中有两条线段的和小于或等于第三条线段，那么这三条线段不能组成三角形。
【知识点】三条线段能否组成三角形的判断条件：
能组成三角形：三条线段中，任意两条线段的和大于第三条线段。
不能组成三角形：三条线段中，有两条线段的和小于或等于第三条线段。
便捷判断方法：只需计算两条较短线段的和，看是否大于最长线段即可。
若较短两边之和 > 最长边，则能组成三角形；
若较短两边之和 <= 最长边，则不能组成三角形。
二、针对训练
【教师活动】判断下列长度的三条线段能否拼成三角形？为什么？(1) 3cm、9cm、5cm；(2) 6cm、8cm、10cm。
【学生活动】(1) 不能，因为，较短两边之和小于最长边。
【学生活动】(2) 能，因为，较短两边之和大于最长边。
【教师活动】分析得很清楚！那么，已知三条线段，如何简单有效地判断能否组成三角形？
【学生活动】只需要计算两条较短的线段的和，如果比最长的线段长，则可以组成三角形；如果小于或等于，则不可以组成三角形。这样只需要检查一组不等式，比检查三组不等式更简便。
解题策略：判断三条线段能否组成三角形的"三步法"：第一步：将三条线段按长度从小到大排序，设为a、b、c（a<=b<=c）；第二步：计算较短两边之和a+b；第三步：比较a+b与c的大小。若a+b>c，则能组成三角形；若a+b<=c，则不能。注意：不需要检查b+c>a和a+c>b，因为c是最大边，这两条自动成立。
【设计意图】通过操作体验和对比分析，让学生从"动手做"到"动脑想"，经历从具体操作到抽象概括的认知过程。便捷判断方法的总结（只需比较较短两边之和与最长边）降低了学生的认知负荷，提高了判断效率，同时培养了学生的优化意识。
【过渡语】我们已经掌握了三角形的三边关系以及判断方法，接下来让我们运用这些知识来解答教材中的例题。
环节四：例题精讲（10分钟）
一、教材P6例题——用细绳围等腰三角形
【教师活动】请同学们看教材P6的例题。用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形。（1）如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？
【教师活动】这是一道与等腰三角形有关的应用题，需要用到方程思想。请同学们设未知数，列方程求解。
【学生活动】设底边长为x cm，则腰长为2x cm。根据等腰三角形的周长等于三条边之和，列方程：x + 2x + 2x = 18，解得x = 3.6。所以三角形三边的长分别为3.6cm、7.2cm、7.2cm。
【教师活动】解答完全正确！要注意，解出边长后还需要验证是否满足三边关系。3.6 + 7.2 > 7.2，满足条件，所以这个等腰三角形是存在的。
【教师活动】（2）能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗？为什么？
【教师活动】注意，这道题中"有一边的长是4cm"是什么意思？这个边可能是腰，也可能是底边，所以需要分情况讨论。
【学生活动】因为长为4cm的边可能是腰，也可能是底边，所以需要分情况讨论。
【学生活动】第一种情况：如果4cm长的边为底边，设腰长为x cm，则列方程，解得。此时三边长为4cm、7cm、7cm。验证：4+7>7，满足三边关系，可以围成。
【学生活动】第二种情况：如果4cm长的边为腰，设底边长为y cm，则列方程，解得。此时三边长为4cm、4cm、10cm。验证：4+4<10，不满足三角形三边关系，所以不能围成。
【学生活动】由以上讨论可知，可以围成底边长是4cm的等腰三角形，但不能围成腰长是4cm的等腰三角形。
【教师活动】分析得非常透彻！这道题的关键有两点：一是分类讨论——腰为4cm和底边为4cm两种情况都要考虑；二是解出边长后必须验证是否满足三边关系。不能只列方程求解就结束，验证这一步必不可少。
易错提示：解等腰三角形边长问题的常见错误：错误一：不进行分类讨论，只考虑一种情况。当题目说"有一边的长是4cm"时，必须分腰和底边两种情况讨论。错误二：解出边长后不验证三边关系。有些解虽然在数学上成立，但不满足三角形的三边关系，必须舍去。错误三：只验证"两边之和大于第三边"，忘记验证"两边之差小于第三边"。实际上，验证了前者，后者自动成立，但需要确保三组不等式都满足。正确做法：分类讨论→列方程求解→验证三边关系→得出结论。
【设计意图】通过教材例题的精讲，引导学生掌握"分类讨论+方程求解+验证三边关系"的完整解题流程。这道题综合考查了等腰三角形的定义、方程思想和三角形三边关系，是三种知识的有机融合，体现了数学知识的综合运用。
【过渡语】我们已经学习了三角形三边关系的所有理论知识和应用方法。现在，我们来看三角形的另一个有趣的性质——三角形的稳定性。
环节五：三角形的稳定性（8分钟）
一、生活引入
【教师活动】在日常生活中，三角形的形状随处可见，并且工程建筑中经常采用三角形的结构，如图中的屋顶钢架结构等。你知道其中的道理是什么吗？
屋顶钢架结构
钢架结构
【学生活动】因为三角形具有稳定性，不容易变形，所以工程师们经常使用三角形结构。
【教师活动】说得很对！那么，三角形的稳定性到底是什么意思？我们通过实验来验证。
二、实验探究
【教师活动】实验一：将三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？
三角形木架实验
【学生活动】发现：三角形木架的形状不会改变。无论怎么用力扭动，三角形的形状始终保持不变。
【教师活动】实验二：将四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？
四边形木架实验
【学生活动】发现：四边形木架的形状会改变。轻轻一扭，四边形就变成了不同的形状。
【教师活动】实验三：在四边形的木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后扭动它，它的形状会改变吗？
四边形加木条实验
【学生活动】发现：加了一根木条后，四边形被分成了两个三角形，它的形状不会改变了。
【教师活动】通过这三个实验，我们得出了一个重要结论：三角形是具有稳定性的图形，而四边形不具有稳定性。将四边形转化为三角形，就可以使其变得稳定。
【知识点】三角形的稳定性：
三角形是具有稳定性的图形。
原理：当三角形的三条边长确定后，三角形的形状和大小就唯一确定了（SSS全等条件）。
四边形不具有稳定性：四边形的四条边长确定后，其形状不唯一，可以变形。
增强稳定性的方法：在四边形中添加对角线，将其转化为三角形结构。
三、稳定性在生活中的应用
【教师活动】三角形的稳定性有着广泛的应用。请同学们观察以下图片，找一找其中的三角形结构。
三角形稳定性应用
三角形稳定性应用
三角形稳定性应用
起重机中的三角形结构
钢架桥中的三角形结构
【学生活动】起重机、钢架桥、自行车车架、屋顶的钢架、电线塔等，都利用了三角形的稳定性。
【教师活动】同学们观察得很仔细！三角形稳定性是数学在工程领域最重要的应用之一。
四、针对训练
【教师活动】如图，工人师傅砌门时，常用木条EF、EG固定门框ABCD，使其不变形，这种做法的根据是什么？
【学生活动】利用的是三角形的稳定性。四边形ABCD不具有稳定性，通过增加木条EF和EG，将四边形分割成多个三角形（如三角形AEF、三角形EFG等），达到了稳固的效果。
【教师活动】回答正确！这道题再次说明了"将四边形转化为三角形"是增强结构稳定性的常用方法。
实验方法归纳：三角形稳定性实验充分体现了"控制变量+对比实验"的科学探究方法：实验一（三角形木架）：形状不变 → 三角形具有稳定性；实验二（四边形木架）：形状改变 → 四边形不具有稳定性；实验三（四边形+对角线木架）：形状不变 → 四边形转化为三角形后获得稳定性。三个实验层层递进，从"发现问题"到"验证结论"再到"应用方法"，体现了完整的科学探究过程。
【设计意图】三角形的稳定性是本课的一个重要知识点，也是数学与工程实践紧密结合的典范。通过三个递进式实验，让学生动手操作、观察比较、得出结论，从感性认识上升到理性认识。同时，通过展示三角形稳定性在生活中的广泛应用，让学生感受数学的实用价值，增强学习数学的兴趣。
【过渡语】我们已经学习了三角形三边关系和三角形的稳定性，接下来通过课堂练习来巩固和运用这些知识。
环节六：课堂练习（6分钟）
一、教材P7练习 第1题
【教师活动】下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？（1）3，4，8；（2）5，6，11；（3）5，6，10。
【学生活动】(1) 不能，因为，较短两边之和小于第三边。
【学生活动】(2) 不能，因为，较短两边之和等于第三边。
【学生活动】(3) 能，因为，较短两边之和大于第三边。
【教师活动】注意第（2）题，当较短两边之和恰好等于第三边时，三条线段共线，不能围成三角形。所以能组成三角形的条件是"较短两边之和严格大于第三边"，等号不成立。
二、教材P7练习 第2题
【教师活动】一根4dm长的木条和两根1dm长的木条，能否组成一个等腰三角形？两根4dm长的木条和一根1dm长的木条呢？
【学生活动】一根4dm长的木条和两根1dm长的木条：三边长为1dm、1dm、4dm。因为，不满足三角形三边关系，所以不能组成等腰三角形。
【学生活动】两根4dm长的木条和一根1dm长的木条：三边长为4dm、4dm、1dm。因为且，满足三角形三边关系，所以能组成一个等腰三角形。
【教师活动】分析得很清楚！这道题再次说明，判断能否组成三角形的关键就是验证三边关系。
三、随堂演练 第3题
【教师活动】如果三角形的两边长分别是2和4，且第三边是奇数，那么第三边长为多少？若第三边为偶数，那么三角形的周长为多少？
【学生活动】由三角形三边关系，第三边x满足，即。
【学生活动】当第三边是奇数时，x可取3或5，所以第三边长为3或5。
【学生活动】当第三边是偶数时，x只能取4，此时周长为2+4+4=10。
【教师活动】解题思路清晰！这道题考查了已知两边求第三边取值范围的方法，以及根据附加条件（奇偶性）筛选答案。
四、随堂演练 第4题
【教师活动】已知a，b，c分别是三角形三边的长，化简：|a - b + c| + |b - a - c| - |a + b + c|。
【学生活动】根据三角形三边关系，在三角形中有，即，所以。
【学生活动】又因为，即，所以。
【学生活动】而，所以。
【学生活动】因此，原式 = 。
【教师活动】这道题综合考查了三角形三边关系和绝对值化简，关键是利用三边关系判断每个绝对值内部表达式的符号。第一步判断符号，第二步去绝对值，第三步合并同类项。
五、随堂演练 第5题
【教师活动】如图，P是三角形ABC内一点，连结BP并延长，交AC于点D，连结CP。
（1）试探究AB+BC+AC与2BD的大小关系；
（2）试探究AB+AC与PB+PC的大小关系。
【学生活动】(1) 根据三角形的三边关系，在三角形BCD中，；在三角形ABD中，。两式相加得：，即。
【学生活动】(2) 根据三角形的三边关系，在三角形ABD中，；在三角形PCD中，。两式相加得：，即，整理得。
【教师活动】这道题是三角形三边关系的综合应用，解题的关键是选择合适的小三角形，利用三边关系列出不等式，再通过加减消元得到结论。
方法归纳：三角形三边关系综合题的解题策略：1. 基本判断：已知三边长度判断能否组成三角形 → 用"较短两边之和>最长边"快速判断；2. 求取值范围：已知两边求第三边范围 → 第三边大于两边之差、小于两边之和；3. 绝对值化简：利用三边关系判断绝对值内表达式的正负 → 去绝对值 → 合并同类项；4. 不等关系证明：在图形中选取合适的三角形 → 利用三边关系列不等式 → 加减消元得到结论。
【设计意图】课堂练习设计了五个递进层次的题目：第1题是基础判断，第2题结合等腰三角形，第3题结合奇偶性，第4题绝对值化简，第5题几何推理证明。从基础到综合，从简单到复杂，全面覆盖了三角形三边关系的各种应用场景，有效训练了学生的运算能力和逻辑推理能力。
四、板书设计
13.2.1 三角形的边 一、三角形三边关系
1. 两边之和大于第三边 在三角形ABC中： AB + AC > BC AC + BC > AB AB + BC > AC
二、判断能否组成三角形 2. 两边之差小于第三边 由不等式移项得： BC > AB - AC BC > AC - AB
方法：较短两边之和 > 最长边 （只需检查一组不等式） 三、已知两边求第三边
若较短两边之和 > 最长边 → 能 若较短两边之和 <= 最长边 → 不能 设两边为a、b，第三边为x 则 |a - b| < x < a + b
四、三角形的稳定性 五、教材P6例题
三角形具有稳定性 四边形不具有稳定性 通过添加对角线将四边形 转化为三角形可增强稳定性 1. 腰长=底边长的2倍 → 列方程求解 2. 有一边为4cm → 分类讨论 （腰=4cm 或 底边=4cm） 解出后必须验证三边关系
六、课堂练习 七、课后作业

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