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13.2.2 三角形的中线、角平分线、高
课题 13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 课型 新授课
课时 1课时（45分钟） 教材版本 人教版八年级上册 第十三章
教学方法 情境导入、动手操作、探究归纳、合作交流、讲练结合 教学用具 多媒体课件、三角板、直尺、量角器
教材分析 本节课选自人教版八年级上册第十三章"三角形"的第二节"与三角形有关的线段"的第二课时"三角形的中线、角平分线、高"。本节课在学生学习三角形基本概念和三边关系的基础上，进一步研究三角形中三种重要的特殊线段——中线、角平分线和高。中线将三角形分为面积相等的两部分，体现了"等分"思想；角平分线是角的对称轴在三角形中的延伸，需要与"角的平分线（射线）"进行辨析；高是垂线在三角形中的特殊化，不同形状的三角形（锐角、直角、钝角）的高位置不同，是本节课的难点。三种线段的交点（重心、内心、垂心）是三角形的重要特征点。本节课的学习为后续学习三角形的面积、全等三角形的判定和性质奠定基础。
学情分析 八年级学生已经学习了线段中点、角平分线和垂线的基本概念，能够在简单图形中识别这些基本元素。学生具备了一定的动手操作能力，能够使用直尺、量角器进行作图。但将线段中点、角平分线、垂线这三种基本几何元素"迁移"到三角形内部，形成三角形中线、角平分线、高的概念，需要学生进行认知重构。学生在画钝角三角形的高时容易出错——不理解"延长对边"的必要性，找不到垂足的正确位置。对角平分线的概念容易与"角的平分线（射线）"混淆，需要教师明确辨析。三条中线/角平分线/高交于一点的结论，学生可以通过作图直观发现，但严格证明需要后续全等三角形的知识，本课以直观感知为主。
【教学目标]
1.掌握三角形的中线、角平分线、高的概念.
2.掌握三角形的中线、角平分线、高的画法.
3.掌握钝角三角形的两短边上高的画法.
4.经历画图实践过程,理解三角形的中线、角平分线、高的概念.
[重点难点】
重点:了解三角形的中线、角平分线、高的概念,会用工具画出三角形的中线、
角平分线、高.了解三角形的稳定性.
形的高的画法及不同类型的三角形高线的位置关系
难点:三角形的角平分线与角平分线的区别，三角形的高与垂线的区别.钝角三角
教学过程
环节一：复习导入（3分钟）
【教师活动】同学们，我们已经学习过线段的中点、角的平分线以及过一点画已知直线的垂线。请大家回顾一下，这些概念分别是什么？
【学生活动】线段的中点是线段上到两端点距离相等的点。角的平分线是从角的顶点出发，将角分成两个相等角的射线。过一点画已知直线的垂线，就是画一条过该点且与已知直线垂直的直线。
【教师活动】很好！那么，如果把这些概念放到三角形中，会得到什么样的特殊线段呢？
【学生活动】在三角形中，线段的中点对应的应该是三角形某条边的中点，角平分线对应的是三角形内角的平分线，垂线对应的是从顶点到对边的垂线段。
【教师活动】说得很对！今天我们就来系统地学习三角形的三种重要线段——中线、角平分线和高。
在三角形ABC中，点D是BC边上的动点
【教师活动】如图，在三角形ABC中，点D是BC边上的一个动点，连接AD。在点D的运动过程中，点D或线段AD有没有特殊的位置？你认为有哪些特殊位置？
【学生活动】当点D运动到BC的中点时，AD就是三角形的一条中线；当AD恰好平分角A时，AD就是三角形的一条角平分线；当AD垂直于BC时，AD就是三角形的一条高。
【教师活动】非常棒！这三种特殊位置对应的线段，就是我们今天要学习的三角形的中线、角平分线和高。接下来我们先来学习三角形的中线。
【设计意图】通过"连一连"复习线段中点、角平分线、垂线三个基本概念，唤醒学生已有的知识经验。再通过"动点D"的情境，让学生直观感受同一条线段AD在三种特殊位置时分别对应中线、角平分线和高，将新旧知识巧妙衔接，为后续学习做好铺垫。
环节二：三角形中线（8分钟）
一、中线的定义
【教师活动】如图，连接三角形ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做三角形ABC的边BC上的中线。
【学生活动】也就是说，AD是三角形ABC的中线，因为D是BC的中点。
【教师活动】非常好！中线需要满足两个条件：一是连接顶点和对边上的点，二是这个点是对边的中点。那么，如何用几何符号语言来表达呢？
【学生活动】因为D是BC的中点，所以。因为AD是中线，所以。
【教师活动】完全正确！中线的核心性质是：中线将对边分成两条相等的线段。
【知识点】三角形的中线定义：
连接三角形一个顶点和它所对的边的中点，所得线段叫做三角形这条边上的中线。
几何符号语言：若AD是三角形ABC中BC边上的中线，则
注意：中线是一条线段，三角形的中线一定在三角形内部。
二、三条中线及重心
【教师活动】三角形有几条边？一个三角形可以画出几条中线？
【学生活动】三角形有3条边，所以一个三角形可以画出3条中线。
【教师活动】请同学们分别画出锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的三条中线，观察你有什么发现。
【学生活动】我发现不管是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形，三条中线都相交于三角形内部的一个点。
【教师活动】这个结论非常重要！三角形的三条中线相交于三角形内一点，这个点叫做三角形的重心。
【知识点】三角形的三条中线及重心：
三角形有3条中线，分别对应三条边。
三角形的三条中线相交于三角形内部一点，这个点叫做三角形的重心。
重心是三角形的一个重要特征点，具有重要的物理意义。
三、重心的实际意义
三角形框架被手指托起后保持平衡
质地均匀的三角形木板
【教师活动】图中框架能被手指托起后保持平衡，是因为手指恰好托在了框架的重心上。一块质地均匀的三角形木板，顶住三条中线的交点，木板会保持平衡，这个平衡点就是这块木板的重心。
【学生活动】原来重心的物理意义就是物体的平衡点！三角形的重心在数学和物理中都有重要的应用。
【设计意图】中线的学习遵循"定义→几何符号语言→三条中线→重心→实际意义"的认知路径。从单条中线的定义出发，推广到三条中线交于一点的规律，再引申到重心的物理意义，层层递进。重心的引入将数学与物理联系起来，体现了学科融合。
四、针对训练——中线
【教师活动】请同学们完成教材P8练习第2题中关于中线的填空。
【学生活动】如图，分别填空：CD是三角形ABC中AB边上的中线，所以BD与CD的关系为BD=CD。AC是三角形中某条中线。AF是三角形ABC中BC边上的中线。BF是三角形ABC中AC边上的中线。
【设计意图】针对训练紧扣中线定义，考查学生对中线标识的识别能力，帮助学生巩固"中线将对边分成两条相等线段"这一核心性质。
【过渡语】我们已经学习了三角形的中线，知道了三条中线交于一点——重心。接下来，我们继续学习三角形的第二种重要线段——角平分线。
环节三：三角形角平分线（8分钟）
一、角平分线的定义
【教师活动】如图，画三角形ABC中角A的平分线AD，交角A所对的边BC于点D，所得线段AD叫做三角形ABC的角平分线。
【学生活动】AD是角A的平分线，所以角BAD等于角CAD。
【教师活动】正确！那么，如何用几何符号语言来表达呢？
【学生活动】因为AD是三角形ABC的角平分线，所以。
【教师活动】很好！角平分线的核心性质是：角平分线将三角形的一个内角分成两个相等的角。
【知识点】三角形的角平分线定义：
画三角形一个内角的平分线，交这个角所对的边于一点，所得线段叫做三角形这条边对应的角平分线。
几何符号语言：若AD是三角形ABC中角A的平分线，则
注意：三角形的角平分线是一条线段（不是射线），位于三角形内部。
二、辨析：角的平分线与三角形的角平分线
【教师活动】请同学们思考：角的平分线和三角形的角平分线有什么区别？
【学生活动】角的平分线是一条射线，从角的顶点出发，可以无限延伸。而三角形的角平分线是一条线段，它的两个端点分别是三角形的顶点和角平分线与对边的交点。
【教师活动】总结得非常到位！角的平分线是射线，三角形的角平分线是线段，这是两者最本质的区别。三角形的角平分线只是角的平分线上的一段——从顶点到对边的那一段。
【知识点】辨析：角的平分线 vs 三角形的角平分线：
角的平分线：是一条射线（从顶点出发，无限延伸），以角的顶点为端点。
三角形的角平分线：是一条线段（有固定长度），两个端点分别是三角形的顶点和角平分线与对边的交点。
关系：三角形的角平分线是角的平分线在三角形内部的一段。
三、三条角平分线
【教师活动】三角形有几个内角？一个三角形可以画出几条角平分线？
【学生活动】三角形有3个内角，所以可以画出3条角平分线。
【教师活动】请同学们分别画出锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的三条角平分线，观察你有什么发现。
【学生活动】我发现不管是什么三角形，三条角平分线都相交于三角形内部的一个点。
【教师活动】完全正确！三角形的三条角平分线相交于三角形内一点，这个点叫做三角形的内心。内心到三角形三边的距离相等，这个性质我们以后会进一步学习。
【知识点】三角形的三条角平分线：
三角形有3条角平分线，分别对应三个内角。
三角形的三条角平分线相交于三角形内部一点，这个点叫做三角形的内心。
无论锐角、直角还是钝角三角形，三条角平分线始终交于三角形内部。
四、针对训练——角平分线
【教师活动】请同学们完成教材P8练习第2题中关于角平分线的填空。
【学生活动】根据角平分线的定义填空：若AD是角平分线，则；若BE是角平分线，则；若CF是角平分线，则。
【教师活动】非常好！角平分线将角分成两个相等的角，所以角平分线两边的角是相等的，同时原角是平分后小角的两倍。
【学生活动】另一题中，DC是角平分线，所以角的关系为：角EDC等于角BDC。角CAE是角平分线所分的角。
【设计意图】角平分线的学习突出"辨析"——对比"角的平分线（射线）"与"三角形的角平分线（线段）"，帮助学生建立清晰的概念区分。三条角平分线交于内心，与三条中线交于重心形成对比，为后续的归纳总结表做铺垫。
知识要点：角平分线辨析角的平分线是一条射线，从角的顶点出发，将角分成两个相等的角。三角形的角平分线是一条线段，是内角平分线与对边的交点之间的线段。两者关系：三角形的角平分线是角的平分线被三角形限制后的部分。
【过渡语】我们已经学习了三角形的中线和角平分线，它们都交于三角形内部一点。接下来，我们学习三角形的第三种重要线段——高。高的情况比较复杂，不同形状的三角形，高的位置也不一样。
环节四：三角形的高（12分钟）
一、复习回顾——过一点画已知直线的垂线
【教师活动】你还记得"过一点画已知直线的垂线"吗？请同学们回顾一下画法。
【学生活动】用三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线移动三角板，使另一条直角边经过已知点，然后沿这条直角边画直线，这条直线就是过已知点且垂直于已知直线的垂线。
【教师活动】画得很好！那么，如果把"已知点"换成三角形的顶点，把"已知直线"换成对边所在的直线，会得到什么呢？
【学生活动】就会得到从顶点到对边的垂线段，也就是三角形的高。
二、高的定义
【教师活动】如图，从三角形ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做三角形ABC边BC上的高线，简称三角形的高。
【学生活动】AD垂直于BC，所以角BDA等于角CDA等于90度。
【教师活动】很好！那么，如何用几何符号语言来表达呢？
【学生活动】因为AD垂直于BC，所以，所以AD是三角形ABC的高。
【知识点】三角形的高的定义：
从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形这条边上的高线，简称三角形的高。
几何符号语言：若AD是三角形ABC中BC边上的高，则
即
注意：高是顶点到垂足之间的线段，垂足可能在边上，也可能在边的延长线上。
三、锐角三角形的三条高
【教师活动】请同学们画出锐角三角形的三条高，你有什么发现？
【学生活动】我发现锐角三角形的三条高都在三角形的内部，而且三条高交于三角形内部一点。
【教师活动】观察得很仔细！锐角三角形的三条高都在三角形内部，三条高交于一点，这个点叫做三角形的垂心。
【知识点】锐角三角形的三条高：
锐角三角形的三条高都在三角形的内部。
锐角三角形的三条高交于三角形内一点，这个点叫做三角形的垂心。
四、直角三角形的三条高
【教师活动】请同学们画出直角三角形的三条高，你有什么发现？
【学生活动】我发现直角边BC边上的高恰好是AC，直角边AC边上的高恰好是BC，斜边AB边上的高是CD。
【教师活动】非常正确！直角三角形中，两条直角边互为对方的高。也就是说，直角边AC就是BC边上的高，直角边BC就是AC边上的高。那么三条高的交点在哪里？
【学生活动】三条高的交点在直角顶点处。
【知识点】直角三角形的三条高：
直角三角形有两条高恰好是它的两条直角边。
直角边BC边上的高是AC，直角边AC边上的高是BC。
斜边AB边上的高是CD（D为垂足）。
直角三角形的三条高（所在直线）交于直角顶点处。
【设计意图】直角三角形的高的学习是本节课的一个关键转折点。学生容易习惯性地认为"高都在三角形内部"，而直角三角形中两条高恰好是直角边，打破了学生的固有认知，为后续学习钝角三角形的高（两条高在外部）做好认知准备。
五、钝角三角形的三条高
【教师活动】请同学们画出钝角三角形的三条高，你有什么发现？
【学生活动】我发现钝角三角形有两条高在三角形的外部，只有一条高在三角形内部。而且三条高的交点在三角形外部。
【教师活动】这是本节课的难点！钝角三角形中，从两个锐角顶点向对边所在直线画垂线时，垂足落在对边的延长线上，所以这两条高在三角形外部。钝角三角形的三条高（所在直线）交于三角形外部一点。
【知识点】钝角三角形的三条高：
钝角三角形有两条高在三角形的外部，两个垂足落在边的延长线上。
钝角三角形只有一条高（最长边上的高）在三角形内部。
钝角三角形的三条高（所在直线）交于三角形外部一点。
画钝角三角形的高时，必须注意延长对边，才能找到垂足。
易错提示：画钝角三角形高的注意事项常见错误：忘记延长对边，直接在边上画垂线，导致找不到垂足或画出的线段不是高。正确画法：步骤一：确定要画高的顶点和对应的对边（所在的直线）。步骤二：用三角板的一条直角边与对边（或其延长线）重合。步骤三：移动三角板，使另一条直角边经过顶点。步骤四：沿这条直角边画线段，交对边（或其延长线）于垂足。关键：钝角三角形中，从锐角顶点画高时必须延长对边！
六、归纳总结——三种三角形的高、中线、角平分线对比
【教师活动】现在，我们来对三种三角形（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形）的中线、角平分线、高做一个全面的归纳总结。
三角形类型 三条中线交点位置 三条角平分线交点位置 三条高所在直线交点位置
锐角三角形 三角形内部 三角形内部 三角形内部
直角三角形 三角形内部 三角形内部 直角顶点处
钝角三角形 三角形内部 三角形内部 三角形外部
【教师活动】从这张表中我们可以清晰地看到：无论哪种三角形，三条中线和三条角平分线都交于三角形内部一点。而三条高所在直线的交点位置则因三角形形状不同而不同：锐角三角形在内部，直角三角形在直角顶点处，钝角三角形在外部。
【知识点】归纳总结：
三条中线：无论锐角、直角还是钝角三角形，三条中线始终交于三角形内部一点（重心）。
三条角平分线：无论锐角、直角还是钝角三角形，三条角平分线始终交于三角形内部一点（内心）。
三条高所在直线：锐角三角形交于内部（垂心），直角三角形交于直角顶点，钝角三角形交于外部。
核心规律：中线、角平分线——"始终在内"；高——"形状决定位置"。
【设计意图】归纳总结表是本课的点睛之笔。通过表格对比三种三角形中中线、角平分线、高所在直线的交点位置，将分散的知识点整合为系统化的知识网络。学生通过对比可以发现：中线、角平分线的交点"始终在内"，而高的交点位置因三角形形状而异，形成"变与不变"的辩证认识。
【过渡语】通过归纳总结，我们对三种三角形中的中线、角平分线和高有了全面的认识。接下来，我们通过针对训练来巩固高的知识。
七、针对训练——高
【教师活动】请同学们完成以下关于高的选择题。
【教师活动】第1题：如图，AC垂直于BC，CD垂直于AB，DE垂直于BC，垂足分别为点C、D、E，则下列说法不正确的是哪个选项？
A. AC是△ABC的高
B. DE是△BCD的高
C. DE是△ABE的高
D. AD是△ACD的高
【学生活动】A选项"AC是三角形ABC的高"正确；B选项"DE是三角形BCD的高"正确；C选项"DE是三角形ABE的高"不正确，因为DE的垂足E在BC上，而三角形ABE中，从D到BE的垂线段才是三角形ABE的高；D选项"AD是三角形ACD的高"正确。所以选C。
【教师活动】分析得很清楚！这道题考查的是对"高"的定义的准确理解：高必须是从顶点到对边所在直线的垂线段。
【教师活动】第2题：在下图中，正确画出三角形ABC中边BC上高的是哪个选项？
【学生活动】正确选项是C。因为从顶点A向BC边所在直线画垂线，垂足应该落在BC边上，且AD垂直于BC。
方法归纳：判断高的正误"三步法"第一步：确认是从顶点出发的线段。第二步：确认线段的另一个端点在对应的对边（或其延长线）上。第三步：确认这条线段与对边（或其延长线）垂直。三个条件缺一不可。
【设计意图】高的针对训练通过选择题形式，考查学生对高的定义和画法的准确理解。第1题考查在不同三角形中识别高的能力，需要学生找准"顶点"和"对边"；第2题考查高的画法是否正确，需要关注"垂直"和"垂足位置"两个关键点。
【过渡语】现在我们已经学习了三角形的中线、角平分线和高三种重要线段，接下来通过随堂演练来巩固和运用这些知识。
四、板书设计
13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 一、三角形的中线
1. 定义：连接顶点和对边中点的线段 几何符号：BD = DC = BC 2. 三条中线交于一点——重心 3. 性质：中线等分三角形面积
二、三角形的角平分线 三、三角形的高
1. 定义：内角平分线交对边所得线段 几何符号：∠BAD = ∠CAD = ∠BAC 2. 三条角平分线交于一点——内心 3. 辨析：角的平分线(射线) vs 三角形的角平分线(线段) 1. 定义：顶点到对边垂足之间的线段 几何符号：AD⊥BC 2. 锐角三角形：三条高都在内部 交于内部一点（垂心） 3. 直角三角形：两条高是直角边 交于直角顶点
四、钝角三角形的高 五、归纳总结
1. 两条高在三角形外部 2. 需要延长对边找垂足 3. 三条高交于三角形外部 中线 角平分线 高 锐角三角形 内部 内部 内部 直角三角形 内部 内部 直角顶点 钝角三角形 内部 内部 外部

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