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13.3.2 三角形的外角
课题 13.3.2 三角形的外角 课型 新授课
课时 1课时（45分钟） 教材版本 人教版八年级上册 第十三章
教学方法 情境导入、探究归纳、合作交流、讲练结合 教学用具 多媒体课件、三角板
教材分析 本节课选自人教版八年级上册第十三章"三角形"的第三节"三角形的外角"。本节课是在学生学习三角形内角和定理的基础上，进一步研究三角形外角的概念和性质。三角形外角是三角形的重要概念之一，外角性质（外角等于与它不相邻的两个内角的和，外角大于任何一个与它不相邻的内角）是三角形内角和定理的直接推论，也是后续学习多边形外角和、几何证明中角度转化的重要工具。本节课通过"观察猜想——操作验证——逻辑证明"的探究过程，引导学生从三角形内角和定理出发，推导出外角性质，培养推理能力。外角和等于360°的结论是三角形外角性质的重要应用，也是多边形外角和定理的雏形，具有承上启下的重要作用。
学情分析 八年级学生已经学习了三角形内角和定理，掌握了三角形内角和等于180°的基本结论，并具备了一定的几何推理能力。学生在前一节中学习了添加辅助线（作平行线）进行证明的方法，为外角性质的证明奠定了方法基础。但学生对"外角"这一概念可能比较陌生，需要从直观图形入手，明确外角的定义和构成要素。学生容易混淆外角与内角的关系，需要教师通过具体计算和图形演示，帮助学生理解"外角等于两个不相邻内角的和"这一性质。外角性质的两种证明方法（利用内角和定理和利用平行线性质）分别体现了不同的推理路径，有助于学生体会"一题多解"的思维方法。外角和等于360°的证明需要学生综合运用外角性质，对学生的综合推理能力有一定要求。
教学重点：理解三角形外角的概念，掌握外角的两个性质（外角等于与它不相邻的两个内角的和；外角大于任何一个与它不相邻的内角）；能运用三角形外角性质进行角度计算和几何推理；掌握三角形外角和等于360°的结论及其证明方法。 理解三角形外角的概念，掌握外角的两个性质（外角等于与它不相邻的两个内角的和；外角大于任何一个与它不相邻的内角）；能运用三角形外角性质进行角度计算和几何推理；掌握三角形外角和等于360°的结论及其证明方法。
教学难点：理解外角性质"外角等于与它不相邻的两个内角的和"的证明思路，能从三角形内角和定理自然过渡到外角性质；正确区分外角与相邻内角、不相邻内角的关系，在复杂图形中准确识别外角；综合运用外角性质解决实际问题（如五角星角度求和问题），建立几何模型。 理解外角性质"外角等于与它不相邻的两个内角的和"的证明思路，能从三角形内角和定理自然过渡到外角性质；正确区分外角与相邻内角、不相邻内角的关系，在复杂图形中准确识别外角；综合运用外角性质解决实际问题（如五角星角度求和问题），建立几何模型。
一、核心素养目标
1. 几何直观
通过观察三角形外角的图形，直观感知外角的位置特征——由三角形的一边与另一边的延长线组成。在具体图形中能准确识别外角、相邻内角与不相邻内角，建立"外角与内角关系"的几何直观。通过计算具体角度（如三角形中两个内角分别为70°和60°时求外角）发现规律，为猜想和证明外角性质提供直观支撑。
2. 推理能力
经历"观察计算——提出猜想——逻辑证明"的完整探究过程，从三角形内角和定理出发，通过两种不同的推理路径（证法一：利用三角形内角和定理和平角定义；证法二：作平行线利用平行线性质）证明外角性质，培养逻辑推理能力。能运用外角性质推导出三角形外角和等于360°，体会"从特殊到一般"的推理方法。
3. 应用意识
能运用三角形外角性质解决实际问题，包括已知内角求外角、利用外角性质进行角度计算和几何推理、在复杂图形（如五角星）中识别外角并应用外角性质求和。体会外角性质在几何问题中的工具性价值，增强数学应用意识。
4. 模型观念
通过外角性质的学习，建立"外角—不相邻内角—和"的关系模型。通过外角和等于360°的探究，建立"三角形外角和"的模型，为后续学习多边形外角和定理奠定基础。在五角星角度求和问题中，体会将复杂图形转化为基本三角形外角模型的建模思想。
二、教学重难点
教学重点
1. 理解三角形外角的概念，明确外角是由三角形的一边与另一边的延长线组成的角。
2. 掌握三角形外角的两个性质：外角等于与它不相邻的两个内角的和；外角大于任何一个与它不相邻的内角。
3. 掌握三角形外角和等于360°的结论，并能运用外角性质进行角度计算和证明。
教学难点
1. 理解外角性质"外角等于与它不相邻的两个内角的和"的证明思路，能从三角形内角和定理自然过渡到外角性质。
2. 正确区分外角与相邻内角、不相邻内角的关系，在复杂图形中准确识别外角。
3. 综合运用外角性质解决实际问题（如五角星角度求和问题），建立几何模型。
三、教学过程
环节一：情境导入（3分钟）
【教师活动】同学们，上节课我们学习了三角形内角和定理，并通过多种证法证明了三角形三个内角的和等于180°。在证明过程中，我们曾延长BC，得到了一个角∠ACD。请同学们回忆一下，∠ACD有什么特点？它和三角形的三个内角之间有什么关系？
【学生活动】∠ACD在三角形外部，它是由三角形的一边AC和另一边BC的延长线CD组成的角。
【教师活动】观察得很仔细！像∠ACD这样由三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。今天我们就来系统学习三角形的外角——它的概念、性质和重要应用。
【设计意图】从三角形内角和定理的证明过程中自然引出外角的概念，以旧引新，激活学生已有的知识经验。学生在证明内角和定理时已经接触过外角，但不了解其名称和性质，这种"熟悉的陌生感"能有效激发学生的探究兴趣。
【过渡语】首先，让我们明确什么是三角形的外角，它有哪些构成要素。
环节二：探究新知（15分钟）
一、外角的定义
【教师活动】三角形的外角：由三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。外角有三个关键特征：第一，外角的顶点是三角形的一个顶点；第二，外角的一边是三角形的一边；第三，外角的另一边是三角形某条边的延长线。
【教师活动】请同学们注意，三角形的每个顶点处都可以画出两个外角——分别延长该顶点的两条边。这两个外角互为对顶角，大小相等。因此，三角形共有6个外角，但通常我们每个顶点只取一个外角，共取3个外角。
【学生活动】明白了！每个顶点处的两个外角是对顶角，所以相等。我们通常每个顶点只研究一个外角。
【知识点】三角形外角的定义：
由三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。
三个特征：顶点是三角形的顶点；一边是三角形的一边；另一边是某条边的延长线。
三角形共有6个外角，每个顶点处的两个外角互为对顶角（相等），通常每个顶点取一个外角，共3个。
注意：外角的顶点必须是三角形的顶点，外角的一边必须是三角形的一边。
二、针对训练——判断外角
【教师活动】请同学们看大屏幕上的选择题：如图，下列各角是△ABC 的外角的是（）。
A. ∠4
B. ∠3
C. ∠2
D. ∠1
【学生活动】我选B。图中∠3是由三角形的一边与另一边的延长线组成的角，顶点是三角形的一个顶点，符合外角的定义。其他选项中的∠3要么顶点不是三角形顶点，要么边不是由三角形的一边和另一边延长线组成的。
【答案】正确答案：B。∠3的顶点是三角形的一个顶点，一边是三角形的一边，另一边是另一边的延长线，满足外角的三个特征。
【设计意图】通过选择题的形式巩固外角的定义，让学生在辨析中加深对外角三个构成要素的理解。选项设置涵盖了常见的错误类型（如顶点不是三角形顶点、边不是延长线等），帮助学生建立清晰的外角概念。
三、外角与内角的关系
【教师活动】以△ABC为例，外角∠ACD与三角形的三个内角之间有什么关系？请同学们观察：∠ACD与∠ACB有什么关系？∠ACD与∠A、∠B又有什么关系？
【学生活动】∠ACD与∠ACB是邻补角——它们共用一边AC，另一边CD是CB的延长线，所以∠ACD + ∠ACB = 180°。∠ACD与∠A和∠B没有公共边，它们是不相邻的。
【教师活动】非常好！∠ACD与∠ACB是相邻的，我们称∠ACB为与∠ACD相邻的内角。而∠A和∠B与∠ACD不相邻，称为不相邻的内角。那么，外角∠ACD与两个不相邻的内角∠A和∠B之间有什么数量关系呢？
【教师活动】请同学们看大屏幕：已知在△ABC中，∠A = 70°，∠B = 60°。求∠ACD的度数。
【学生活动】由三角形内角和定理，∠ACB = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 70° - 60° = 50°。因为∠ACD与∠ACB是邻补角，所以∠ACD = 180° - ∠ACB = 180° - 50° = 130°。同时我发现，∠A + ∠B = 70° + 60° = 130°，恰好等于∠ACD！
【教师活动】你的发现太棒了！∠ACD = ∠A + ∠B = 130°。这提示我们一个重要的猜想：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。这个猜想是否对所有三角形都成立呢？我们需要进行严格的证明。
四、证明外角性质——证法一
【教师活动】请同学们尝试用已学过的知识来证明这个猜想。已知：∠ACD是△ABC的一个外角。求证：∠ACD = ∠A + ∠B。
【教师活动】证法一：我们可以利用三角形内角和定理。在△ABC中，∠A + ∠B + ∠ACB = 180°（三角形内角和定理）。又因为∠ACD与∠ACB是邻补角，所以∠ACD + ∠ACB = 180°（平角定义）。由这两个等式，可得∠ACD = ∠A + ∠B。这就是证法一，简洁明了，直接利用三角形内角和定理。
【学生活动】证法一的思路很清晰：利用三角形内角和定理得出∠A + ∠B + ∠ACB = 180°，再利用邻补角关系得出∠ACD + ∠ACB = 180°，两式相减即得∠ACD = ∠A + ∠B。
【学生活动】已知：∠ACD是△ABC的一个外角。求证：∠ACD = ∠A + ∠B。证法一：∵ ∠A + ∠B + ∠ACB = 180° （三角形内角和定理），又∵ ∠ACD + ∠ACB = 180° （邻补角定义），∴ ∠ACD = ∠A + ∠B （等量代换）。
五、证明外角性质——证法二
【教师活动】除了证法一，我们还可以用上节课学过的"作平行线"的方法来证明。请同学们思考：过点C作CE∥AB，能否证明∠ACD = ∠A + ∠B？
【学生活动】可以！过点C作CE∥AB，因为CE∥AB，所以∠A = ∠ACE（两直线平行，内错角相等），∠B = ∠ECD（两直线平行，同位角相等）。又因为∠ACD = ∠ACE + ∠ECD，所以∠ACD = ∠A + ∠B。
【教师活动】非常棒！证法二利用了平行线的性质，将∠A和∠B分别"转移"到∠ACD的内部，这种"移角"的思路与上节课证明三角形内角和定理的思路一脉相承。
【学生活动】证法二：过点C作CE∥AB。∵ CE∥AB，∴ ∠A = ∠ACE （两直线平行，内错角相等），∠B = ∠ECD （两直线平行，同位角相等）。又∵ ∠ACD = ∠ACE + ∠ECD，∴ ∠ACD = ∠A + ∠B （等量代换）。
方法归纳：外角性质的两种证法证法一（利用三角形内角和定理）： 由三角形内角和 180° 和邻补角 180° 联立，直接得出外角等于两不相邻内角的和。 优点：简洁直接，易于理解。证法二（利用平行线性质）： 作平行线，利用内错角相等和同位角相等，将两个不相邻内角"转移"到外角内部。 优点：体现了"转化"思想，与三角形内角和定理的证明方法一致，有助于知识迁移。两种证法都体现了"从已知到未知"的推理过程，培养学生的逻辑推理能力。
六、外角的两个性质
【教师活动】通过证明，我们得到了三角形外角的两个重要性质。
【教师活动】性质1（推论1）：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。符号语言：因为∠ACD是△ABC的一个外角，所以∠ACD = ∠A + ∠B。
【教师活动】性质2（推论2）：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。由性质1可知，∠ACD = ∠A + ∠B，因为∠A和∠B都是正数，所以∠ACD > ∠A，∠ACD > ∠B。
【学生活动】性质2很容易理解——外角等于两个不相邻内角的和，所以外角肯定大于其中任何一个不相邻的内角。
【知识点】三角形外角的两个性质：
性质1（推论1）：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
符号语言：∵ ∠ACD是△ABC的一个外角，
∴ ∠ACD = ∠A + ∠B。
性质2（推论2）：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
符号语言：∵ ∠ACD是△ABC的一个外角，
∴ ∠ACD > ∠A，∠ACD > ∠B。
注意：性质2是性质1的直接推论，两者统称为三角形外角的性质。
知识要点：外角性质的理解与应用核心记忆：外角 = 不相邻内角1 + 不相邻内角2。关键区分：相邻内角（与外角共边且互补）和不相邻内角（与外角没有公共边）。应用方向1：已知两个不相邻内角，求外角。应用方向2：已知一个外角和一个不相邻内角，求另一个不相邻内角。应用方向3：利用"外角大于任一不相邻内角"进行不等关系推理。易错点：不要把外角与相邻内角的关系（互补）和外角与不相邻内角的关系（相等）混淆。
七、针对训练（教材P16练习）
【教师活动】请同学们完成教材P16练习中的6道题，求出各图中∠1、∠2的度数。注意运用外角性质。
【教师活动】第1题：如图，已知三角形中两个内角分别为45°和50°，外角∠1是多少度？
【学生活动】∠1 = 45° + 50° = 95°。
【教师活动】第2题：如图，已知∠1 = 110°，三角形的一个内角为40°，求另一个内角∠2。
【学生活动】由外角性质，∠1 = ∠2 + 40°，所以110° = ∠2 + 40°，∠2 = 70°。
【教师活动】第3题：如图，已知三角形中两个内角分别为60°和80°，求外角∠1。
【学生活动】∠1 = 60° + 80° = 140°。
【教师活动】第4题：如图，∠ACD是△ABC的一个外角，∠A = 50°，∠ACD = 120°，求∠B。
【学生活动】由外角性质，∠ACD = ∠A + ∠B，所以120° = 50° + ∠B，∠B = 70°。
【教师活动】第5题：如图，已知∠1 = 130°，三角形的一个内角为65°，求另一个内角∠2。
【学生活动】由外角性质，∠1 = ∠2 + 65°，所以130° = ∠2 + 65°，∠2 = 65°。
【教师活动】第6题：如图，已知三角形中两个内角分别为35°和55°，求外角∠1。
【学生活动】∠1 = 35° + 55° = 90°。
【教师活动】六道题都做对了！同学们已经熟练掌握了外角性质的基本应用：直接利用"外角等于两个不相邻内角的和"进行计算。解题时注意：首先要确认哪个角是外角，然后找出与它不相邻的两个内角，最后代入公式计算。
解题策略：外角计算的基本方法已知两个不相邻内角，求外角：外角 = 内角1 + 内角2。已知外角和一个不相邻内角，求另一个不相邻内角：内角2 = 外角 - 内角1。已知外角和相邻内角，求不相邻内角的和：不相邻内角和 = 外角 = 180° - 相邻内角。关键步骤： （1）在图形中准确标出外角。 （2）找出与它不相邻的两个内角。 （3）列出等式：外角 = 不相邻内角1 + 不相邻内角2。 （4）代入已知数据，求解未知量。
【知识点】外角性质2（推论2）——外角与不相邻内角的不等关系：
三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
符号语言：∵ ∠ACD是△ABC的一个外角，
∴ ∠ACD > ∠A，∠ACD > ∠B。
推导依据：由性质1，∠ACD = ∠A + ∠B，而∠A > 0，∠B > 0，
∴ ∠ACD > ∠A，∠ACD > ∠B。
应用场景：比较角的大小关系；证明角的不等关系；判断三角形的形状。
【设计意图】从外角定义到性质探究再到性质应用，环节二按照"概念——猜想——证明——应用"的逻辑顺序展开，符合学生的认知规律。两种证法的对比展示，让学生体会"一题多解"的数学魅力，同时感受不同推理路径的内在联系。6道针对训练题由直接计算到逆向求解，层层递进，帮助学生全面掌握外角性质的应用方法。两个提示框分别总结了证明方法和解题策略，为学生提供了清晰的方法论指导。
【过渡语】我们已经掌握了三角形外角的基本性质。接下来，让我们探索一个更精彩的结论——三角形的外角和等于多少度？
环节三：例题精讲（12分钟）
一、教材P15例4——外角和等于360°
【教师活动】请同学们看教材P15例4。如图，∠1、∠2、∠3是△ABC的三个外角，它们的和是多少？请同学们先独立思考，尝试用不同的方法求解。
【教师活动】解法一：利用内角和定理。∠1、∠2、∠3分别是三个内角∠BAC、∠ABC、∠ACB的外角。由外角与相邻内角互补，得∠1 = 180° - ∠BAC，∠2 = 180° - ∠ABC，∠3 = 180° - ∠ACB。所以∠1 + ∠2 + ∠3 = (180° - ∠BAC) + (180° - ∠ABC) + (180° - ∠ACB) = 540° - (∠BAC + ∠ABC + ∠ACB) = 540° - 180° = 360°。
【学生活动】解法一利用了外角与相邻内角互补的关系，将三个外角分别用三个内角表示，再代入三角形内角和为180°，非常巧妙！
【学生活动】解法一：∠1 = 180° - ∠BAC，∠2 = 180° - ∠ABC，∠3 = 180° - ∠ACB。∴ ∠1 + ∠2 + ∠3 = (180° - ∠BAC) + (180° - ∠ABC) + (180° - ∠ACB) = 540° - (∠BAC + ∠ABC + ∠ACB) = 540° - 180° = 360°。
【教师活动】解法二：利用外角性质。由外角性质，∠1 = ∠ABC + ∠ACB，∠2 = ∠BAC + ∠ACB，∠3 = ∠BAC + ∠ABC。所以∠1 + ∠2 + ∠3 = (∠ABC + ∠ACB) + (∠BAC + ∠ACB) + (∠BAC + ∠ABC) = 2(∠BAC + ∠ABC + ∠ACB) = 2 × 180° = 360°。
【学生活动】解法二直接利用外角等于两个不相邻内角的和，将三个外角全部用内角表示，提取公因数后得到2倍的内角和，也是360°。
【学生活动】解法二：由外角性质，∠1 = ∠ABC + ∠ACB，∠2 = ∠BAC + ∠ACB，∠3 = ∠BAC + ∠ABC。∴ ∠1 + ∠2 + ∠3 = (∠ABC + ∠ACB) + (∠BAC + ∠ACB) + (∠BAC + ∠ABC) = 2(∠BAC + ∠ABC + ∠ACB) = 2 × 180° = 360°。
【教师活动】解法三：利用邻补角关系。∠1 + ∠BAC = 180°，∠2 + ∠ABC = 180°，∠3 + ∠ACB = 180°。三式相加得：(∠1 + ∠2 + ∠3) + (∠BAC + ∠ABC + ∠ACB) = 540°。而∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°，所以∠1 + ∠2 + ∠3 = 540° - 180° = 360°。三种解法殊途同归，都得到了外角和为360°。
【学生活动】解法三：∠1 + ∠BAC = 180°，∠2 + ∠ABC = 180°，∠3 + ∠ACB = 180°。三式相加，得：(∠1 + ∠2 + ∠3) + (∠BAC + ∠ABC + ∠ACB) = 540°。∵ ∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°，∴ ∠1 + ∠2 + ∠3 = 540° - 180° = 360°。
【教师活动】通过三种不同的解法，我们共同证明了：三角形的外角和等于360°。这是一个重要的结论，也是多边形外角和定理的基础。
【知识点】三角形外角和定理：
三角形的外角和等于360°。
符号语言：如图，∠1、∠2、∠3是△ABC的三个外角，
则 ∠1 + ∠2 + ∠3 = 360°。
证明方法：
解法一：利用外角与相邻内角互补 → 内角和代入。
解法二：利用外角=两不相邻内角和 → 内角和代入。
解法三：利用外角与内角互补三式相加 → 内角和代入。
核心思路：无论哪种方法，都归结为三角形内角和为180°。
规律总结：外角和三种解法的共同本质三种解法的共同点：都将"外角和"问题转化为"内角和"问题。解法一的本质：将外角用"180° - 相邻内角"表示，外角和 = 3×180° - 内角和。解法二的本质：将外角用"不相邻内角之和"表示，外角和 = 2×内角和。解法三的本质：将外角与相邻内角配对，整体求和再减去内角和。启示：三角形外角和为360°是三角形内角和为180°的必然推论。推广：任意多边形的外角和都等于360°，这是后续学习的重要内容。
【设计意图】例4展现了三种不同的解法，从不同角度揭示了"外角和等于360°"这一结论。三种解法都归结为三角形内角和为180°，体现了"转化"的数学思想——将未知问题转化为已知问题来解决。通过对比三种解法，学生不仅掌握了结论本身，更学会了多角度思考问题的方法。提示框总结了三种解法的共同本质，帮助学生提炼出通用的解题思路，为后续多边形外角和的学习奠定基础。
【过渡语】通过例4的学习，我们不仅掌握了外角和等于360°的结论，还学会了多种解题方法。接下来，请同学们运用所学知识，完成随堂演练。
四、板书设计

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