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14.2 全等三角形的判定 第1课时 用"SAS"判定三角形全等
课题 14.2 全等三角形的判定
第1课时 用"SAS"判定三角形全等 课型 新授课
课时 1课时（45分钟） 教材版本 人教版八年级上册 第十四章
教学方法 情境导入、实验探究、合作交流、讲练结合 教学用具 多媒体课件、三角板、直尺
教材分析 本节课选自人教版八年级上册第十四章"全等三角形"的第二节"全等三角形的判定"第1课时。本节课是在学生学习了全等三角形的定义和性质（对应边相等、对应角相等）的基础上，首次系统研究三角形全等的判定方法。SAS（边角边）判定定理是三角形全等的第一个判定方法，也是后续学习ASA、AAS、SSS等其他判定方法的基础。本节课通过"提出问题——实验探究——归纳总结——规范书写——应用巩固"的过程，引导学生经历从"6个条件"到"3个条件"的简化过程，通过画图、剪裁、叠合等操作活动直观验证SAS基本事实，培养学生的几何直观和推理能力。SSA不能判定全等的反例辨析是本节课的易错点，有助于学生建立严谨的数学思维。
学情分析 八年级学生已经学习了全等三角形的定义："能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形"，以及全等三角形的性质——对应边相等、对应角相等。学生对于"全等"这一概念有了初步的认识，但还不知道如何用最少的条件来判定两个三角形全等。学生在前面的学习中已经接触过角的平分线、垂线等基本作图，具备一定的尺规作图能力，为画图探究SAS奠定了基础。但学生对"夹"角的概念可能不够清晰，容易将SAS中的"S"和"A"的相对位置关系搞混。同时，SSA不能判定的结论与学生直觉相悖，需要教师通过具体反例加以说明。学生在几何证明的书写规范方面还需要进一步训练，特别是SAS证明格式中"先写边、再写角、最后写边"的对应顺序。
教学重点：掌握SAS基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等；能正确运用SAS判定定理进行几何证明；规范书写SAS证明格式，明确"边—角—边"的对应关系。 掌握SAS基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等；能正确运用SAS判定定理进行几何证明；规范书写SAS证明格式，明确"边—角—边"的对应关系。
教学难点：理解SAS中"夹角"的含义，明确"角"必须是两边的夹角而不是任意角；辨析SSA不能判定全等的原因，理解反例的构造方法；在复杂图形中准确找出满足SAS条件的对应边和对应角，完成规范的几何证明。 理解SAS中"夹角"的含义，明确"角"必须是两边的夹角而不是任意角；辨析SSA不能判定全等的原因，理解反例的构造方法；在复杂图形中准确找出满足SAS条件的对应边和对应角，完成规范的几何证明。
一、核心素养目标
1. 几何直观
通过画图、剪裁、叠合等操作活动，直观感知"两边及其夹角分别相等"的两个三角形能够完全重合。在具体图形中能准确识别SAS条件中的"夹角"——即两条边所夹的角，建立"边—角—边"位置关系的几何直观。通过SSA反例的图形演示，直观理解"两边和其中一边的对角"不能保证三角形全等，体会"夹角"与"对角"的本质区别。
2. 推理能力
经历"提出问题——实验探究——归纳总结——规范表达"的完整探究过程，从"6个条件全等"到"3个条件全等"的简化中体会数学的简洁之美。通过图形叠合的方法验证SAS基本事实，培养合情推理能力。能运用SAS判定定理进行规范的几何证明，按"边—角—边"的对应顺序书写证明过程，培养演绎推理能力。通过SSA反例的辨析，理解"为什么SSA不能判定"的数学原理，培养批判性思维。
3. 应用意识
能运用SAS判定定理解决实际问题，包括证明两个三角形全等、利用全等三角形证明线段相等或角相等。在池塘测距、工件测量等实际问题中，体会全等三角形判定定理的工具性价值，增强数学应用意识。能根据题目条件准确判断是否满足SAS条件，培养"选择合适判定方法"的策略意识。
4. 模型观念
通过SAS判定定理的学习，建立"两边及其夹角"这一基本全等判定模型。理解SAS模型中"角"必须是"夹角"这一关键条件，形成对全等判定条件的结构化认识。在复杂图形中能识别出满足SAS条件的基本三角形对，体会"复杂图形→基本模型"的建模思想。为后续学习ASA、AAS、SSS等判定方法奠定模型基础，建立全等三角形判定方法的完整体系。
二、教学重难点
教学重点
1. 掌握SAS基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。
2. 规范书写SAS证明格式，明确"边—角—边"的对应顺序，正确使用几何语言：在△ABC与△A'B'C'中，AB=A'B'，∠A=∠A'，AC=A'C'，所以△ABC≌△A'B'C'(SAS)。
3. 能运用SAS判定定理进行几何证明，利用全等三角形证明线段相等或角相等。
教学难点
1. 理解SAS中"夹角"的含义，明确"角"必须是两边的夹角，能正确区分"夹角"与"对角"。
2. 辨析SSA不能判定全等的原因，理解反例的构造方法，避免在证明中误用SSA。
3. 在复杂图形中准确找出满足SAS条件的对应边和对应角，完成规范的几何证明书写。
三、教学过程
环节一：复习导入（3分钟）
【教师活动】同学们，在前面的学习中，我们已经认识了全等三角形。请同学们回忆一下，什么样的两个三角形叫做全等三角形？全等三角形有哪些性质？
【学生活动】能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。全等三角形的对应边相等，对应角相等。
【教师活动】很好！如果△ABC≌△A'B'C'，那么AB=A'B'，BC=B'C'，AC=A'C'，∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'。也就是说，要说明两个三角形全等，需要三组边和三组角共6个条件都相等。那么，问题来了——
【教师活动】【提出问题】一定要满足这6个条件，才能保证两个三角形全等吗？能不能用更少的条件来判定两个三角形全等呢？
【学生活动】好像不需要6个条件那么多吧？比如三条边确定了，三角形就确定了……
【教师活动】你的直觉很敏锐！今天，我们就来探究这个问题——从最简单的开始，看看最少需要几个条件，就能判定两个三角形全等。
【设计意图】从全等三角形的定义和性质出发，自然引出"6个条件是否必要"的问题，激发学生的探究欲望。"能不能用更少的条件"这一问题直接指向本节课的核心——三角形全等的判定方法，为后续探究1个条件、2个条件、3个条件做好了铺垫。学生在思考"最少需要几个条件"时，会自然地产生分类讨论的意识。
【过渡语】让我们从最简单的假设开始，逐步探索三角形全等的判定条件。
环节二：探究新知（15分钟）
一、探究只给1个条件
【教师活动】我们先来探究最简单的情况：只给出1个条件，能保证两个三角形全等吗？1个条件有两种可能——只给一条边相等，或者只给一个角相等。
【教师活动】只给一条边相等：如图，已知BC=B'C'。请同学们思考，能画出多少个不同的三角形，使其满足BC=B'C'？
【学生活动】可以画出无数个！因为只知道一条边的长度，另外两条边的长度和角度都可以任意变化，所以形状不唯一，不能保证全等。
【教师活动】只给一个角相等：如图，已知∠B=∠B'。同样，能画出多少个不同的三角形？
【学生活动】也可以画出无数个！因为只知道一个角的大小，边长可以任意变化，所以也不能保证全等。
【教师活动】结论很明确：只给1个条件，无论是边相等还是角相等，都不能保证两个三角形全等。
【知识点】探究1个条件
只给一条边相等：不能保证三角形全等（边长确定，但另外两边和角度可以任意变化）。
只给一个角相等：不能保证三角形全等（角度确定，但对应边长可以任意变化）。
结论：1个条件不足以判定三角形全等。
二、探究给2个条件
【教师活动】既然1个条件不够，那我们增加条件，看看给2个条件够不够。2个条件有三种可能的情况：两边分别相等、两角分别相等、一边一角分别相等。
【教师活动】情况一：两边分别相等。如图，已知AB=A'B'，BC=B'C'。请同学们动手画一画，满足条件的三角形唯一吗？
【学生活动】不唯一！两边确定后，它们的夹角可以变化，就像圆规的两条腿可以张开不同的角度一样，所以三角形形状不唯一，不能保证全等。
【教师活动】情况二：两角分别相等。如图，已知∠A=∠A'，∠B=∠B'。
【学生活动】也不唯一！两角确定后，虽然三个角都确定了（因为三角形内角和为180°），但边长可以成比例缩放，所以三角形大小不确定，不能保证全等。
【教师活动】情况三：一边一角分别相等。如图，已知AB=A'B'，∠B=∠B'。
【学生活动】还是不唯一！一边一角确定后，第三点的位置可以在一条射线上任意移动，三角形形状不确定，不能保证全等。
【教师活动】结论：2个条件也不够！三种情况都不能保证三角形全等。
【知识点】探究2个条件
两边分别相等：不能保证全等（夹角可以变化，形状不唯一）。
两角分别相等：不能保证全等（边长可以等比例缩放，大小不唯一）。
一边一角分别相等：不能保证全等（另一边可以任意变化）。
结论：2个条件也不足以判定三角形全等。
【设计意图】通过1个条件和2个条件的探究，学生经历了"假设——验证——否定"的探究过程，逐步逼近"3个条件"这一正确答案。三种2条件的分类讨论（两边、两角、一边一角）涵盖了两类条件的所有组合方式，为后续3条件的分类做了铺垫。学生的画图操作为直观理解"条件不足"提供了感性经验。
【过渡语】1个条件不够，2个条件也不够，那么3个条件够不够呢？3个条件会有哪些不同的组合呢？
三、三个条件的分类
【教师活动】如果给出3个条件，可能有哪几种情况？请同学们从边和角的角度，对3个条件进行分类。
【学生活动】3个条件可以从边和角两个维度来分类：可以全是边——三边分别相等；可以全是角——三角分别相等；也可以是边和角的混合——两边一角、两角一边。
【教师活动】分类非常清晰！3个条件共有四种情况：两边一角、两角一边、三边、三角。今天这节课，我们先来研究第一种情况——两边一角。
【教师活动】在"两边一角"中，这个"角"的位置有两种可能：一种是这个角是两条边的夹角，我们记作SAS；另一种是这个角是其中一条边的对角，我们记作SSA。正方形S代表边（Side），A代表角（Angle）。
【知识点】三个条件的四种分类
两边一角（本节课重点研究）：
SAS —— 两边及其夹角（角在两边之间）
SSA —— 两边及其中一边的对角（角是其中一边的对角）
两角一边（后续课时研究）：ASA、AAS
三边（后续课时研究）：SSS
三角：AAA（不能判定全等，仅能判定相似）
四、SAS基本事实的直观验证
【教师活动】我们先来探究SAS——两边及其夹角分别相等的两个三角形是否全等。请同学们按以下步骤操作：
【教师活动】第一步：任意画一个△ABC，使AB=6cm，AC=5cm，∠A=60°。用直尺和量角器完成作图。
【教师活动】第二步：将画好的△ABC剪下来（或画在透明纸上），然后与同桌画的三角形进行比较——将两个三角形的顶点A重合，边AB重合，观察边AC是否重合，顶点C是否重合，点B和点C是否都重合。
【学生活动】我画出的三角形和同桌画出的三角形完全重合了！AB和AC的长度确定，∠A=60°确定，三角形的形状和大小就完全确定了。
【学生活动】我也发现了，只要AB=6cm，AC=5cm，∠A=60°，画出来的三角形都是一样的，将它们叠合在一起，点B和点C都能完全重合。
【教师活动】通过实验操作，我们得到了一个重要的发现：两边及其夹角分别相等的两个三角形能够完全重合，即它们全等。这个结论被作为判定三角形全等的一个基本事实，我们称之为"SAS"判定定理。
【教师活动】注意：这里的"夹角"非常关键——必须是两条边的夹角，也就是角位于两条边之间。如果角不是夹角，而是其中一边的对角，结果会怎样？我们稍后会专门研究这个问题。
【知识点】SAS基本事实
基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。
简记：SAS（边角边）——Side-Angle-Side。
关键条件：
（1）两边对应相等。
（2）这两边的夹角对应相等（角必须是夹角，不是任意角）。
（3）两个条件缺一不可。
验证方法：画图——剪裁——叠合（图形叠合说明全等）。
【知识要点】SAS判定定理的核心理解"SAS"中的"A"必须是夹角——即两条已知边所夹的角。例如：已知AB=A'B'，AC=A'C'，则∠A必须是AB和AC的夹角，即∠A。如果已知的是AB=A'B'，AC=A'C'，∠B=∠B'，∠B是AB和BC的夹角，不是AB和AC的夹角，这种情况下不满足SAS条件。记忆口诀：边角边，角在中间。
【设计意图】通过画图——剪裁——叠合的操作活动，让学生直观感受SAS能保证三角形全等。这种"做数学"的方式比直接告诉学生结论更有说服力，体现了"动手实践、自主探索"的学习理念。学生通过亲手操作，对"夹角"的位置关系有了深刻的感性认识，为后续规范书写SAS证明格式奠定了直观基础。
【过渡语】通过实验验证，我们确认了SAS能够判定三角形全等。接下来，我们需要学会用规范的几何语言来书写SAS的证明过程。
五、SAS的几何语言书写
【教师活动】学会了SAS判定定理，我们要学会用规范的几何语言来书写证明过程。在证明两个三角形全等时，需要按照"从大到小"的顺序：先指明两个三角形，再列出三个条件，最后写出全等结论并注明判定依据。
【教师活动】标准格式如下：
【教师活动】在△ABC与△A'B'C'中，先写出第一个条件——边相等：AB=A'B'，再写第二个条件——夹角相等：∠A=∠A'，最后写第三个条件——另一边相等：AC=A'C'。三条都写完后，得出结论：∴△ABC≌△A'B'C'(SAS)。
【学生活动】我明白了！SAS的书写要按照"边——角——边"的顺序，先写两条边，中间写夹角，这样有条理，不容易出错。
【学生活动】还要注意对应关系：AB对应A'B'，∠A对应∠A'，AC对应A'C'，不能写混。
【知识点】SAS证明的规范书写格式
在△ABC与△A'B'C'中，
AB = A'B'（已知），
∠A = ∠A'（已知），
AC = A'C'（已知），
∴ △ABC ≌ △A'B'C'（SAS）。
书写要点：
（1）先指明两个三角形："在△ABC与△A'B'C'中"。
（2）按"边—角—边"顺序列出三个条件，每个条件注明"已知"。
（3）最后得出结论，在括号中注明判定依据"SAS"。
（4）注意对应顶点顺序：A对应A'，B对应B'，C对应C'。
六、针对训练——找全等三角形
【教师活动】请同学们看大屏幕上的题目。如图，找出图中的全等三角形，并说明理由。
针对训练——找全等三角形
【教师活动】第1题：如图，已知AB=AD，∠BAC=∠DAC，AC=AC（公共边）。请判断△ABC与△ADC是否全等，并说明理由。
【学生活动】△ABC≌△ADC。在△ABC与△ADC中，AB=AD（已知），∠BAC=∠DAC（已知），AC=AC（公共边），所以△ABC≌△ADC(SAS)。
【教师活动】第2题：如图，已知AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=CB（公共边）。请判断△ABC与△DCB是否全等，并说明理由。
【学生活动】△ABC≌△DCB。在△ABC与△DCB中，AB=DC（已知），∠ABC=∠DCB（已知），BC=CB（公共边），所以△ABC≌△DCB(SAS)。
【教师活动】注意第2题中的公共边BC=CB，虽然书写上BC和CB是同一条线段，但在证明中要写成对应形式。
【答案】第1题：△ABC≌△ADC(SAS)。第2题：△ABC≌△DCB(SAS)。
【解题策略】利用SAS找全等三角形的步骤步骤一：在图形中标注已知条件（相等的边用相同的记号，相等的角用相同的弧线）。步骤二：观察是否有公共边或公共角（公共边/角天然相等，可直接作为SAS条件之一）。步骤三：检查已知的两边是否"夹"住了已知的角（即角必须是两边的夹角）。步骤四：按"边—角—边"顺序列出三个条件。步骤五：写出全等结论，注明(SAS)。常见陷阱：角不是两边夹角时不能使用SAS——例如已知AB=DE，AC=DF，∠B=∠E，这里∠B是AB和BC的夹角，不是AB和AC的夹角，不能用SAS。
七、SSA不能判定——反例辨析
【教师活动】现在我们回到之前提出的问题：两边和其中一边的对角分别相等（SSA），能判定两个三角形全等吗？
【教师活动】请同学们看大屏幕上的反例。如图，在△ABC中，已知AB和AC的长度，以及∠B（即AB的对角）的大小。以A为圆心、AC为半径画弧，交BC所在的直线于两点C和C'。
【教师活动】我们发现，△ABC与△ABC'满足：AB=AB（公共边），AC=AC'（同圆半径），∠B=∠B（公共角）。也就是说，这两个三角形满足SSA的条件——两边（AB、AC）和其中一边（AB）的对角（∠B）分别相等。但是，这两个三角形显然不全等！
【学生活动】原来SSA真的不能判定全等！因为满足SSA条件的三角形可能有两个，一个是锐角三角形，一个是钝角三角形，它们不全等。
【学生活动】我理解了：SAS中角是"夹角"，位置固定，所以三角形唯一确定；SSA中角是"对角"，位置不固定，所以三角形可能不唯一。
【教师活动】总结得非常到位！SSA不能判定全等，这是本节课最重要的易错点之一。在证明中，如果已知两条边和一个角，一定要先确认这个角是不是这两条边的夹角。如果是夹角，用SAS；如果是对角，不能直接用！
【知识点】SSA不能判定三角形全等
SSA：两边及其中一边的对角分别相等，不能判定三角形全等。
反例构造：以A为圆心、AC为半径画弧，交BC所在直线于两点，
得到△ABC和△ABC'，满足SSA条件但不全等。
本质原因：SSA条件下，第三边（BC）的长度有两种可能，三角形不唯一。
SAS vs SSA：
SAS：角是夹角 → 三角形唯一确定 → 可以判定全等。
SSA：角是对角 → 三角形不唯一 → 不能判定全等。
注意：在解题中，遇到"两边一角"的条件时，务必确认角的位置！
【易错提示】SAS与SSA的区分SAS（可判定）：两边及其夹角。角在两条边之间，三角形唯一确定。 例：AB=A'B'，∠A=∠A'，AC=A'C' → 可以用SAS。SSA（不可判定）：两边及其中一边的对角。角在一条边对面，三角形不唯一。 例：AB=A'B'，AC=A'C'，∠B=∠B' → 不能用SAS，也不能判定全等。关键判断：看已知的角是已知两边的"夹角"还是"对角"。 判断方法：角的顶点必须是两条已知边的公共端点，角的两边恰好是已知的两条边。记忆口诀：SAS行，SSA不行；角在中间行，角在两边不行。
【设计意图】SSA反例的辨析是本节课的难点和易错点。通过"以A为圆心、AC为半径画弧"的作图方式直观展示SSA条件下三角形的非唯一性，让学生理解"为什么SSA不能判定"。将SAS与SSA进行对比，帮助学生建立"夹角"与"对角"的本质区别，避免在后续学习中误用SSA。这是培养学生严谨思维和批判性思维的重要环节。
【过渡语】现在我们已经掌握了SAS判定定理和规范的书写格式，也了解了SSA不能判定的原因。接下来，让我们通过例题来巩固SAS的应用。
环节三：例题精讲（8分钟）
教材P33例题——利用SAS证明角相等
【教师活动】请同学们看教材P33的例题。如图，已知AC=AD，AB平分∠CAD。求证：∠C=∠D。
【教师活动】分析思路：要证明∠C=∠D，可以证明这两个角所在的三角形全等。∠C在△ABC中，∠D在△ABD中。观察这两个三角形，它们共用边AB，已知AC=AD，AB平分∠CAD意味着∠CAB=∠DAB。这恰好满足SAS条件！
【教师活动】请同学们尝试写出完整的证明过程。注意书写规范：先指明两个三角形，再按"边—角—边"顺序列出三个条件，最后得出结论。
【学生活动】证明：在△ABC与△ABD中，AC=AD（已知），∠CAB=∠DAB（AB平分∠CAD），AB=AB（公共边）。所以△ABC≌△ABD(SAS)。由全等三角形的性质，∠C=∠D。
【教师活动】非常好！这个例题展示了SAS的一个重要应用——利用全等三角形证明角相等。证明思路是：先证明两个三角形全等（用SAS），再由全等三角形的性质得出对应角相等。
【解答】证明：在△ABC与△ABD中，AC=AD（已知），∠CAB=∠DAB（AB平分∠CAD），AB=AB（公共边），∴△ABC≌△ABD(SAS)。∴∠C=∠D（全等三角形的对应角相等）。
【知识点】SAS证明格式——教材P33例题规范板书
已知：AC = AD，AB平分∠CAD。
求证：∠C = ∠D。
证明：在△ABC与△ABD中，
AC = AD（已知），
∠CAB = ∠DAB（AB平分∠CAD），
AB = AB（公共边），
∴ △ABC ≌ △ABD（SAS）。
∴ ∠C = ∠D（全等三角形的对应角相等）。
证明策略：
证角（或线段）相等 → 找所在三角形 → 证三角形全等 → 利用全等性质得结论。
【方法归纳】利用SAS证明线段或角相等的策略基本思路： 要证线段相等 → 证线段所在三角形全等。 要证角相等 → 证角所在三角形全等。解题步骤： （1）观察图形，找出要证线段（或角）所在的三角形。 （2）分析已知条件，判断是否满足SAS条件。 （3）注意寻找隐藏条件：公共边、公共角、对顶角等。 （4）按规范格式书写证明过程。 （5）由全等三角形性质得出最终结论。关键技巧：在复杂图形中，要善于发现两个三角形共用的边或角。
【设计意图】教材P33的例题是SAS判定定理的典型应用，通过"证全等→得角相等"的推理链条，展示了全等三角形判定定理的工具性价值。教师在讲解时注重分析思路——"要证什么→找什么→怎么证"，帮助学生建立"执果索因"的推理习惯。提示框中的方法归纳为学生提供了清晰的解题策略框架，有助于学生形成系统的几何证明思维。
【过渡语】通过例题，我们学会了如何运用SAS证明角相等。接下来，请同学们独立完成随堂演练，检验自己的掌握情况。
环节四：课堂练习（16分钟）
一、随堂演练1——选择题
【教师活动】请同学们看第1题。如图，已知AB=AC，要使△ABE≌△ACD，还需添加一个条件。下列条件中不能使△ABE≌△ACD的是哪一个？
随堂演练1——选择题
【教师活动】A. ∠B=∠C B. ∠ADC=∠AEB C. BE=CD D. AD=AE。请同学们仔细分析每个选项，选出不能使两个三角形全等的选项。
【学生活动】已知AB=AC，∠A是公共角。分析各选项：A选项∠B=∠C，与AB=AC恰好构成SAS（AB=AC，∠B=∠C，但∠B的对边是AC，∠C的对边是AB，这实际上是AAS，可以判定全等...让我再想想，∠A是公共角。如果选B，∠ADC=∠AEB，加上公共角∠A和AB=AC，这是AAS。如果选C，BE=CD，加上AB=AC和公共角∠A，但BE和CD不是∠A的两边，所以不满足SAS。如果选D，AD=AE，加上AB=AC和公共角∠A，满足SAS。所以不能使△ABE≌△ACD的应该是C。
【教师活动】分析得很透彻！已知AB=AC，∠A=∠A（公共角），这构成了SAS中的两边（AB和AC）和夹角（∠A）。选项C中BE=CD，BE和CD都不是∠A的两边，不满足SAS条件。而选项D中AD=AE，AD和AE恰好是∠A的两边，与AB=AC组合满足SAS。选项A和B虽不能直接用SAS，但可以通过ASA或AAS判定，所以也能使三角形全等。
【答案】正确答案：C。BE=CD不能使△ABE≌△ACD，因为BE和CD不是∠A的两边，不满足SAS条件。
【解答】已知AB=AC，∠A=∠A（公共角）。选项C：添加BE=CD，BE不是∠A的边，无法构成SAS条件。选项D：添加AD=AE，AD和AE是∠A的两边，满足SAS条件。选项A/B：可通过ASA或AAS判定全等。
二、随堂演练2——垂直关系
【教师活动】请同学们看第2题。 已知AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别为B、C，AB=DC。求证：△ABC≌△DCB。
【教师活动】注意：由垂直条件能得出什么？AB⊥BC意味着∠ABC=90°，DC⊥BC意味着∠DCB=90°。所以∠ABC=∠DCB=90°。再加上AB=DC（已知），BC=CB（公共边），这恰好满足SAS条件！
【学生活动】证明：因为AB⊥BC，DC⊥BC，所以∠ABC=∠DCB=90°。在△ABC与△DCB中，AB=DC（已知），∠ABC=∠DCB=90°，BC=CB（公共边），所以△ABC≌△DCB(SAS)。
【答案】△ABC≌△DCB(SAS)。
【解答】证明：∵AB⊥BC，DC⊥BC，∴∠ABC=∠DCB=90°。在△ABC与△DCB中，AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=CB，∴△ABC≌△DCB(SAS)。
三、随堂演练3——角平分线综合
【教师活动】请同学们看第3题。
如图，AB=AC，AD是∠BAC的平分线。求证：BD=CD。
【教师活动】请同学们思考：要证BD=CD，可以证明哪两个三角形全等？
【学生活动】可以证明△ABD≌△ACD。在△ABD与△ACD中，AB=AC（已知），∠BAD=∠CAD（AD平分∠BAC），AD=AD（公共边），所以△ABD≌△ACD(SAS)。由全等三角形性质，BD=CD。
【答案】BD=CD。
【解答】证明：在△ABD与△ACD中，AB=AC，∠BAD=∠CAD（AD平分∠BAC），AD=AD（公共边），∴△ABD≌△ACD(SAS)，∴BD=CD。
四、随堂演练4——池塘测距（教材P34练习第1题）
【教师活动】请同学们看第4题，这是一道实际应用题。如图，为了测量池塘两端A、B之间的距离，可以先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD=CA；连接BC并延长到E，使CE=CB；连接DE。那么量出DE的长就是A、B的距离。为什么？
池塘测距示意图
【教师活动】请同学们分析：在这个实际问题中，哪些三角形可能全等？已知条件是什么？
池塘测距示意图
【学生活动】观察△ABC与△DEC。由题意，CD=CA，CE=CB。又因为∠ACB与∠DCE是对顶角，所以∠ACB=∠DCE。在△ABC与△DEC中，CA=CD，∠ACB=∠DCE，CB=CE，所以△ABC≌△DEC(SAS)。由全等三角形性质，AB=DE。所以量出DE的长就是AB的距离！
【教师活动】非常精彩！这道题是利用SAS解决实际问题的经典范例。通过构造全等三角形，将不可直接测量的距离AB转化为可以直接测量的距离DE，体现了数学建模的思想。
【答案】DE的长就是A、B的距离。因为△ABC≌△DEC(SAS)，所以AB=DE。
【解答】证明：在△ABC与△DEC中，CA=CD（已知），∠ACB=∠DCE（对顶角相等），CB=CE（已知），∴△ABC≌△DEC(SAS)，∴AB=DE。因此量出DE的长就是AB的距离。
【规律总结】SAS在实际测量中的应用测量原理：利用全等三角形将不可直接测量的距离转化为可以直接测量的距离。构造方法：以C为公共点，构造一对全等三角形（SAS条件）。关键步骤： （1）选取一个能同时到达两个目标点的中间点C。 （2）延长AC到D使CD=CA，延长BC到E使CE=CB。 （3）利用"对顶角相等"提供夹角条件。 （4）证明△ABC≌△DEC(SAS)，得出AB=DE。数学思想：建模思想——将实际问题转化为数学问题（全等三角形模型）。
五、随堂演练5——教材P34练习第2题
【教师活动】请同学们看第5题。如图，已知BE=CF，AB=DC，∠B=∠C。求证：∠A=∠D。
随堂演练5——证明角相等
【教师活动】请同学们思考：要证∠A=∠D，可以证哪两个三角形全等？已知条件AB=DC，∠B=∠C，还需要什么条件？
【学生活动】要证∠A=∠D，可以证△ABF≌△DCE。已知AB=DC，∠B=∠C。还需要BF=CE。由BE=CF得，BE=CF，即BF+FE=CE+FE，所以BF=CE。在△ABF与△DCE中，AB=DC，∠B=∠C，BF=CE，所以△ABF≌△DCE(SAS)。所以∠A=∠D。
【教师活动】推理链非常清晰！注意：BE=CF推出BF=CE这一步是关键——利用了等式的性质，同时减去公共部分FE。这种"由线段和差关系推出线段相等"的技巧在几何证明中很常见。
【答案】∠A=∠D。
【解答】证明：∵BE=CF，∴BE-FE=CF-FE，即BF=CE。在△ABF与△DCE中，AB=DC，∠B=∠C，BF=CE，∴△ABF≌△DCE(SAS)，∴∠A=∠D。
六、随堂演练6——等腰直角三角尺综合题
【教师活动】请同学们看第6题。如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE。连接BD、CE。
【教师活动】第（1）问：求证△ABE≌△ACD。
【教师活动】第（2）问：求证CD⊥BE。
【教师活动】请同学们先分析第（1）问。已知条件有哪些？还需要什么条件？
【学生活动】已知AB=AC，AD=AE。还需要一组角相等。观察图形，∠BAE与∠CAD有什么关系？∠BAE=∠BAC+∠CAE=90°+∠CAE，∠CAD=∠DAE+∠CAE=90°+∠CAE，所以∠BAE=∠CAD。在△ABE与△ACD中，AB=AC，∠BAE=∠CAD，AE=AD，所以△ABE≌△ACD(SAS)。
【教师活动】第（1）问的关键在于证明∠BAE=∠CAD。你的分析非常到位！现在来看第（2）问。如何由全等推出CD⊥BE？
【学生活动】由△ABE≌△ACD得∠ABE=∠ACD，即∠ABO=∠ACO（O为BE与CD交点）。由∠ABO=∠ACO，在四边形ABOC中，∠ABO+∠BAC+∠ACO+∠BOC=360°，而∠BAC=90°，所以∠ABO+∠ACO+∠BOC=270°。由∠ABO=∠ACO，得2∠ABO+∠BOC=270°......这个思路好像不太对。让我再想想——由全等得∠AEB=∠ADC，设BE与CD交于点O，利用外角性质或三角形内角和可以证明∠BOC=90°。
【教师活动】思路很好！由全等得∠AEB=∠ADC。在△ADE中，∠ADE+∠AED+∠DAE=180°，即∠ADE+∠AED=90°。设BE与CD交于点O，在△ODE中，∠ODE+∠OED+∠DOE=180°，其中∠ODE=∠ADC，∠OED=∠AEB。又∠ADC=∠AEB，所以∠DOE=180°-∠ADC-∠AEB=180°-2∠AEB。但这不是直接等于90°。换一个思路：由全等得∠ABE=∠ACD，在△ABO和△ACO中利用外角性质可得∠BOC=90°，所以CD⊥BE。
【答案】（1）△ABE≌△ACD(SAS)。（2）CD⊥BE。
【解答】（1）证明：∠BAE=∠BAC+∠CAE=90°+∠CAE，∠CAD=∠DAE+∠CAE=90°+∠CAE，∴∠BAE=∠CAD。在△ABE与△ACD中，AB=AC，∠BAE=∠CAD，AE=AD，∴△ABE≌△ACD(SAS)。（2）由△ABE≌△ACD得∠ABE=∠ACD。设BE与CD交于点O，则∠BOC=∠BAC=90°（利用外角性质或旋转构造），∴CD⊥BE。
【易错防范】SAS综合题中的常见错误错误一：在证∠BAE=∠CAD时，直接写"∠BAE=∠CAD（已知）"，这是错误的——需要推理证明。正确做法：∠BAE=∠BAC+∠CAE=90°+∠CAE，∠CAD=∠DAE+∠CAE=90°+∠CAE，所以∠BAE=∠CAD。错误二：SAS条件中角的对应关系写反——∠BAE的对应角是∠CAD，不是∠DAC。错误三：在全等证明中遗漏条件——三个条件必须完整列出，缺一不可。错误四：证垂直时没有利用全等三角形的性质提供中间条件。解题口诀：先找全等，再推结论；条件写全，顺序不乱。
【设计意图】六道随堂演练从不同角度考查了SAS判定定理的综合应用。第1题是选择题，考查SAS条件的辨析和判定方法的灵活选择。第2题利用垂直条件提供SAS中的角相等。第3题将角平分线与SAS结合，是经典题型。第4题是实际应用题，体现了数学建模思想。第5题涉及线段和差关系的转化，是几何证明中的常见技巧。第6题是综合题，难度较大，涉及角度推导和垂直证明，适合学有余力的学生挑战。练习题难度递进，从基础巩固到综合应用，满足不同层次学生的学习需求。
【过渡语】同学们通过练习已经能够熟练运用SAS判定定理了。现在，让我们一起回顾本节课的主要收获。
环节五：课堂小结与作业（3分钟）
【教师活动】同学们，本节课我们学习了用SAS判定三角形全等。请同学们回顾一下，本节课你有哪些收获？可以从SAS基本事实、几何语言书写、易错点和应用四个方面来总结。
【学生活动】我掌握了SAS基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。SAS中的"A"必须是两条边的夹角，不能是任意角。
【学生活动】我学会了SAS证明的规范书写格式：先指明两个三角形，再按"边—角—边"顺序列出三个条件，最后得出结论并注明(SAS)。
【学生活动】我知道了SSA不能判定全等，原因是SSA条件下三角形可能不唯一。在解题中遇到"两边一角"的条件时，一定要先判断角是"夹角"还是"对角"。
【学生活动】我学会了利用SAS证明线段相等或角相等的方法：先证全等，再利用全等三角形的性质得出结论。在复杂图形中，要善于寻找公共边、公共角、对顶角等隐藏条件。
【学生活动】我还学会了利用SAS解决实际问题，如池塘测距问题——通过构造全等三角形，将不可直接测量的距离转化为可以直接测量的距离。
【教师活动】同学们总结得非常全面！SAS是三角形全等判定的第一个方法，也是最重要的方法之一。记住：SAS的核心是"角必须是夹角"，SSA不能判定全等。在后续的学习中，我们还会学习ASA、AAS、SSS等其他判定方法。那时你会发现，三角形全等的判定方法构成了一个完整的体系，而SAS是其中最基础的一环。请同学们课后认真完成以下作业。
1. 从课后习题中选取：完成教材P34的练习题。
2. 完成练习册本课时的习题。
【设计意图】课堂小结采用学生自主回顾的方式，从SAS基本事实、规范书写、易错点、应用四个方面全面梳理本节课的知识体系。学生通过自主表述，将零散的知识点串联成系统的知识网络。教师在小结中强调SAS的核心要点（角必须是夹角）和SSA不能判定的易错点，帮助学生建立清晰的知识边界。同时，预告后续学习内容，为本单元其他判定方法的学习做好铺垫。
四、板书设计

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