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第二十五章 一元二次方程
知识点一 一元二次方程的有关概念
1. 定义
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2，且是整式方程，叫做一元二次方程。
三个必备条件：① 一个未知数；
② 最高次数为 2；
③ 整式方程（分母不含未知数、无根号含未知数）。
2. 一般形式
：二次项系数， 是核心前提（ 则变成一元一次方程）；
：一次项系数，可为 0；
：常数项，可为 0。
3. 方程的根
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解（根）。已知根可代入方程求参数。
知识点二 一元二次方程的解法
1. 直接开平方法
适用形式： 或
要求： 才有实数根； 无解。
2. 因式分解法（首选最快）
步骤：移项使右边=0 → 左边因式分解 → 令每个因式=0 → 直接得根。
常用：提公因式、平方差、完全平方、十字相乘法。
3. 配方法（必考基础）
步骤：二次项系数化为 1 → 移常数项 → 两边加一次项系数一半的平方 → 写成完全平方 → 开方求解。
作用：推导求根公式、求最值、代数式配方。
4. 公式法（万能解法）
通用公式：
步骤：化为一般式→找 、、→算 →代入公式。
知识点三 根的判别式、根与系数的关系（韦达定理）
1. 根的判别式
：方程有两个不相等的实数根
：方程有两个相等的实数根
：方程没有实数根
含参题型：根据根的情况列不等式，求参数取值范围，务必保留 。
2. 韦达定理（根与系数关系）
若 的两根为 、，则：
3. 常用变形求值
注意：使用韦达定理前提：方程必须有实数根（）。
知识点四 列一元二次方程解应用题
1. 解题六步骤
审（审题找等量）→ 设（设未知数）→ 列（列方程）→ 解（解方程）→ 验（验方程 + 实际）→ 答（规范作答）
2. 四大必考模型
增长率问题：
面积问题：道路、边框、裁剪图形，利用面积差列方程
销售利润问题：单件利润×销量=总利润
传播、分支问题：病毒传播、树枝分支递增模型
易错点1 求参数时忽略二次方程的定义
易错提醒
易错点总结
1. 含参数方程题目，只考虑根的情况、方程解的情况，忘记保证二次项系数 a≠0。
2. 参数求解后不检验，出现 a=0 仍然保留解，使一元二次方程退化为一次方程，导致整题错误。
3. 题目明确说是“一元二次方程”，却忽略最高次数为 2 的隐藏条件。
注意事项总结
1. 只要题干出现一元二次方程，第一条件必写：二次项系数≠0。
2. 求参数取值范围时，必须同时满足判别式条件且a≠0。
3. 算出参数后代回检验，舍去使二次项系数为 0 的解。
【对点训练】1．若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（ ）．
A． B． C．或 D．或
【答案】B
【分析】将已知根代入原方程，得到关于的方程，解方程即可，并根据已知方程是一元二次方程排除，即可得到答案．
【详解】解：将代入方程，
得，解得，
∵已知方程是一元二次方程，
∴，即，
∴．
易错点2 利用根与系数的关系求参数的时忽略有实数根的前提
易错提醒
易错点总结
1. 直接套用韦达定理、，忘记前提 Δ≥0。
2. 算出参数后不验证方程是否真的存在实数根，出现无实数根仍用韦达的错误。
3. 只看式子代数成立，忽略“无根时韦达定理不能用”的规则，造成答案多解、错解。
注意事项总结
1. 韦达定理使用铁律：必须有实数根 Δ≥0。
2. 含参韦达题型解题顺序：先列式求值 → 再用 Δ≥0 筛解。
3. 最终参数取值必须同时满足 a≠0、Δ≥0 双重条件。
【对点训练】2．已知关于的一元二次方程有两个实数根．
(1)求实数的取值范围；
(2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据根的判别式列不等式求解；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系求解即可．
【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个实数根，
∴，
解得；
（2）解：∵，是该方程的两个根，
∴，，
∴，
解得，，
由（1）可知：，
∴．
易错点3 解二次方程时的常见错误
易错提醒
易错点总结
1. 因式分解法漏根、丢根，直接除以含未知数式子导致少一个解。
2. 配方法时常数项移项符号错、配方时漏加平方数。
3. 公式法代错 a、b、c 符号，负号频繁出错、判别式算错。
4. 开平方法只写正根、漏掉负根，出现单解丢分。
注意事项总结
1. 解方程严禁两边同除含未知数式子，防止丢根。
2. 配方法牢记：移项变号、两边同时加“一次项系数一半的平方”。
3. 公式法先整理成标准式，再代入 a、b、c，先算 Δ 再求根。
4. 完全平方开方必须带 ±，保证两根齐全。
【对点训练】3．下面分别是甲、乙两位同学解方程的过程．
甲同学 解：第一步 第二步 乙同学 解：∵ 第一步 ∴ 第二步 ∴ 第三步 即， 第四步
(1)甲、乙两位同学的解题过程都出现了错误，甲同学是第 步开始出现错误，乙同学是第 步开始出现错误；
(2)从两个方程中任选一个进行正确解答．
【答案】(1)一，一
(2)选甲：方程的解为；选乙：方程的解为
【分析】（）根据解答过程判断即可求解；
（）选甲的方程：利用因式分解法直接解答即可；选乙的方程：先把方程转化为一般式，再利用公式法解答即可；
本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
【详解】（1）解：甲同学第一步开始出现错误，漏了的情况；乙同学第一步开始出现错误，没有把方程转化为一般式，误得到，
故答案为：一，一；
（2）解：选甲的方程：
∵，
∴，
∴，
即，
∴或，
∴，；
选乙的方程：
∵，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
∴，．
易错点4 实际应用问题中忽略未知数的实际意义
易错提醒
易错点总结
1. 应用题解出两根，不舍去负数解、不合理解，直接双解作答。
2. 增长率、边长、人数、价格等出现负数、小数、超范围数值，不筛选。
3. 只解方程不验实际，数学成立但现实不成立，造成大题扣分。
注意事项总结
1. 应用题必须两步检验：检验方程、检验实际意义。
2. 长度、人数、增长率、价格：负数一律舍去。
3. 超出题目限定范围（如增长率不超 1、边长超图形范围）的根全部舍去。
4. 最终答案一定符合生活实际，不盲目照搬方程解。
【对点训练】4．小西家有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，小西打算利用围墙和木栏围一块长方形养蜂场，已知木栏总长为米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为米的门，门不消耗木栏，设长为米．
(1)如图①，当时，
①___________米（用含的代数式表示）．
②若围成的养蜂场面积为平方米，求的长．
(2)如图②，当时，养蜂场的面积是否可以达到平方米？请说明理由．
【答案】(1)①；②米
(2)养蜂场的面积不能达到平方米．理由如下：
假设养蜂场的面积可以达到平方米，
∵长为米，
∴，
依题意，得：，
整理得：，
∵，
∴原方程没有实数根，
∴假设不正确，即养蜂场的面积不能达到平方米．
【分析】（1）①利用“的长的长木栏总长门的宽度的长”，可用含的代数式表示出的长；
②根据“围成的养蜂场面积为平方米”可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合，即可确定结论；
（2）假设养蜂场的面积可以达到平方米，由长为米，可得出长为米，根据“围成的养蜂场面积为平方米”可列出关于的一元二次方程，由根的判别式，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不正确．
【详解】（1）解：①依题意，得：（米）；
②依题意，得：，
解得：，，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意，
∴的长为米；
（2）略．
一、单选题
1．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】当一元二次方程有两个不相等的实数根时，判别式，据此列不等式求解参数范围即可．
【详解】解：∵ 一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
化简得，
解得．
2．若关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】A
【分析】当，即时，原方程为一元一次方程，满足题意；当，即时，原方程是一元二次方程，利用判别式求出此时m的取值范围即可得到答案．
【详解】解：当，即时，此时原方程为，解得，有实数根，符合题意；
当，即时，原方程是一元二次方程，
∵原方程有实数根，
∴，
∴，
解得，即此时满足条件的范围是且，
综上所述，的取值范围是．
3．定义运算：，例如，时，．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据新定义的运算规则，将整理为一元二次方程的一般形式，再利用一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等实数根时判别式大于，求解得到的取值范围．
【详解】解：∵定义运算，
∴，
∵，
∴，
即，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
化简得，
解得．
4．若关于x的一元二次方程的两根互为倒数，则k的值为（ ）
A． B．2 C．2或 D．1
【答案】A
【分析】先根据两根互为倒数得到两根乘积为1，求出k的可能值，再利用判别式验证方程存在实根，舍去不符合的解得到结果．
【详解】解：设方程的两根为．
∵ 方程两根互为倒数，
∴ ．
又∵由根与系数的关系得．
∴ ，解得或．
∵ 一元二次方程有两个实数根，
∴．
∴．
∵ ，不符合要求舍去，
∴ ．
5．已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】若一元二次方程的两根为，，则有，，再代入所求代数式计算即可．
【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根，
∴，，
∴．
二、填空题
6．已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是______________．
【答案】
【分析】先根据一元二次方程根的判别式确定参数的取值范围，再利用根与系数的关系将变形为关于的一次式，结合一次函数的增减性求出最小值．
【详解】解：，是关于的一元二次方程的两个实数根，
，
解得，
由根与系数的关系得：，，
，
，
随的增大而减小，
当取最大值时，取得最小值，
代入得，最小值为．
7．若关于的一元二次方程有两个相等实数根，则的值是________．
【答案】
【分析】根据一元二次方程的定义可得二次项系数不为，再根据方程有两个相等的实数根，可得根的判别式的值为，列方程求解即可得到的值．
【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程，
∴，
∵方程有两个相等的实数根，
∴根的判别式，
将，，代入得，
解得，
满足，
∴的值是．
8．已知的两个根为，则_______，_______，_______，_______，_______．
【答案】 /
【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系的应用，先根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再将所求代数式变形为含两根之和与两根之积的形式，代入计算即可得到结果．
【详解】解：对于一元二次方程，其中二次项系数，一次项系数，常数项，
根据根与系数的关系可得：，，
∴；
；
，
．
9．若，是方程的两个实数根，则的值为______．
【答案】
【分析】利用一元二次方程的解得到，根据根与系数的关系得到，将所求代数式变形后整体代入计算即可得到结果．
【详解】解：∵是方程的根，
∴，即，
∵，是方程的两个实数根，
∴由根与系数的关系得，
∴．
10．已知关于x的方程的两根分别为，，则________．
【答案】1
【分析】已知一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系求出和的值，再计算即可.
【详解】解：∵方程的两根为，，
∴，
，
∴.
三、解答题
11．解一元二次方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）利用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：
或
，．
（2）解：
或
，．
12．阅读材料：
为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程可化为，①
解得，．
当时，，，．
当时，，，．
原方程的解为，，，．
以上方法就叫换元法，体现了转化的思想．
请仿照材料解决问题：
(1)解方程：．
(2)若四个连续正整数的积为，求出这四个连续的正整数．
【答案】(1)原方程的解为，，
(2)这四个整数为2，3，4，5
【分析】（1）将原方程整理，设，则原方程可化为，利用因式分解法解方程，再求x．
（2）设最小数为，由题意得，即，设，则再利用因式分解法解一元二次方程，最后再求出x即可．
【详解】（1）解：原方程整理得 ，
设，
则原方程可化为，
因式分解得，
解得，，
当时，，配方，得，
解得，，
当时，，配方，得，
解得，
原方程的解为，，．
（2）解：设最小数为，
由题意得，
即，
设，
则，即，
因式分解得 ，
，，
为正整数，，即，
因式分解得，
解得， 舍去．
这四个整数为．
13．已知关于的方程．
(1)求证：无论取何值，方程一定有两个实数根；
(2)若等腰的边长，另两边长，恰好是这个方程的根，求的周长．
【答案】(1)证明：，
∴无论取何实数，该方程总有两个实数根；
(2)的周长为或
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式证明即可；
（2）根据等腰三角形的定义，分两种情况讨论：当时；当或时，分别求出的值，进而得到另两边边长，再根据三角形的三边关系判断即可．
【详解】（1）略
（2）解：①当时，则，即，
，
．
，即，
∴三边为2，2，3，满足，
的周长；
②解：当或者时，得，
解得．
∴方程为，解得另一根为．
∴三边为2，3，3，满足，
的周长；
综上所述，的周长为或．
14．某网店销售一批同款护眼台灯，在销售过程中发现，这款护眼台灯销售单价为元时，每星期卖出个．如果调整销售单价，每降价元，每星期就可以多卖出个．现网店决定降价销售，设销售单价为元，每星期的销售量为个．
(1)关于的函数解析式为 ；
(2)若销售单价不低于元时，求最大销售量；
(3)若这款护眼台灯进价为每个元，该网店能否达到元的利润？
【答案】(1)
(2)
个
(3)
不能达到
【分析】（1）根据降价金额与销量增加的关系，推导y与x的函数解析式；
（2）利用一次函数的增减性，结合自变量的取值范围，求出最大销售量；
（3）根据总利润单个利润销售量列方程，通过判断方程是否存在实数解，得到能否达到目标利润的结论.
【详解】（1）解： 由题意可得，销售单价为元时，降价金额为元，
每降价1元多卖出2个，因此多卖出的销量为个，
总销量，
整理得；
（2）解：由题意得，结合(1)可得，
函数中，，
∴随的增大而减小，
当取最小值时，取得最大值，
将代入得；
答：最大销售量为（个）.
（3）解：由题意， ，
展开整理得，
∵，
∴该方程没有实数根，
∴不存在满足条件的销售单价；
答：该网店不能达到元的利润.
15．定义：若关于的一元二次方程中的常数项是该方程的一个根，则称该一元二次方程为理想方程．
(1)已知关于的方程是理想方程，求的值；
(2)当，满足什么条件时，方程是理想方程；
(3)关于的理想方程的两个实根为，，若，求的取值范围．
【答案】(1)或
(2)当或时，方程是理想方程
(3)的取值范围是或
【分析】（1）根据理想方程的定义求解即可；
（2）根据理想方程的定义求解即可；
（3）根据理想方程的定义结合根与系数的关系求得，再分两种情况讨论，即可求解．
【详解】（1）解：∵是理想方程，
∴是方程的解，
∴，
解得或；
（2）解：∵方程是理想方程，
∴，
∴或，
即当或时，方程是理想方程；
（3）解：∵方程有两个实数根，
∴，
由理想方程的定义知是方程的解，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
∴，
，
这个不等式对于所有非0实数a都成立，
由根与系数关系得（其中），
又由理想方程定义知有一根为，
不妨设，则，
∴，
①当时，；
②当时，；
综上所述，的取值范围是或．
（北京）股份有限公司
（北京）股份有限公司第二十五章 一元二次方程
知识点一 一元二次方程的有关概念
1. 定义
只含有_______未知数，并且未知数的最高次数是_______，且是_______方程，叫做一元二次方程。
三个必备条件：① 一个未知数；
② 最高次数为 2；
③ 整式方程（分母不含未知数、无根号含未知数）。
2. 一般形式
：______________，_______ 是核心前提（ 则变成______________方程）；
：______________，可为 0；
：______________，可为 0。
3. 方程的根
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解（根）。已知根可代入方程求参数。
知识点二 一元二次方程的解法
1. 直接开平方法
适用形式： 或
要求： 才有实数根； 无解。
2. 因式分解法（首选最快）
步骤：移项使右边=0 → 左边因式分解 → 令每个因式=0 → 直接得根。
常用：______________、______________、______________、______________。
3. 配方法（必考基础）
步骤：二次项系数化为_______ → 移_______ → ____________________________ → 写成完全平方 → 开方求解。
作用：推导求根公式、求最值、代数式配方。
4. 公式法（万能解法）
通用公式：
步骤：化为一般式→找 、、→算 →代入公式。
知识点三 根的判别式、根与系数的关系（韦达定理）
1. 根的判别式
：方程有______________的实数根
：方程有______________的实数根
：方程没有______________
含参题型：根据根的情况列不等式，求参数取值范围，务必保留 。
2. 韦达定理（根与系数关系）
若 的两根为 、，则：
3. 常用变形求值
注意：使用韦达定理前提：方程必须有实数根（）。
知识点四 列一元二次方程解应用题
1. 解题六步骤
审（审题找等量）→ _______（设未知数）→ _______（列方程）→ _______（解方程）→ _______（验方程 + 实际）→ _______（规范作答）
2. 四大必考模型
增长率问题：
面积问题：道路、边框、裁剪图形，利用面积差列方程
销售利润问题：单件利润×销量=总利润
传播、分支问题：病毒传播、树枝分支递增模型
易错点1 求参数时忽略二次方程的定义
易错提醒
易错点总结
1. 含参数方程题目，只考虑根的情况、方程解的情况，忘记保证二次项系数 a≠0。
2. 参数求解后不检验，出现 a=0 仍然保留解，使一元二次方程退化为一次方程，导致整题错误。
3. 题目明确说是“一元二次方程”，却忽略最高次数为 2 的隐藏条件。
注意事项总结
1. 只要题干出现一元二次方程，第一条件必写：二次项系数≠0。
2. 求参数取值范围时，必须同时满足判别式条件且a≠0。
3. 算出参数后代回检验，舍去使二次项系数为 0 的解。
【对点训练】1．若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（ ）．
A． B． C．或 D．或
易错点2 利用根与系数的关系求参数的时忽略有实数根的前提
易错提醒
易错点总结
1. 直接套用韦达定理、，忘记前提 Δ≥0。
2. 算出参数后不验证方程是否真的存在实数根，出现无实数根仍用韦达的错误。
3. 只看式子代数成立，忽略“无根时韦达定理不能用”的规则，造成答案多解、错解。
注意事项总结
1. 韦达定理使用铁律：必须有实数根 Δ≥0。
2. 含参韦达题型解题顺序：先列式求值 → 再用 Δ≥0 筛解。
3. 最终参数取值必须同时满足 a≠0、Δ≥0 双重条件。
【对点训练】2．已知关于的一元二次方程有两个实数根．
(1)求实数的取值范围；
(2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值．
易错点3 解二次方程时的常见错误
易错提醒
易错点总结
1. 因式分解法漏根、丢根，直接除以含未知数式子导致少一个解。
2. 配方法时常数项移项符号错、配方时漏加平方数。
3. 公式法代错 a、b、c 符号，负号频繁出错、判别式算错。
4. 开平方法只写正根、漏掉负根，出现单解丢分。
注意事项总结
1. 解方程严禁两边同除含未知数式子，防止丢根。
2. 配方法牢记：移项变号、两边同时加“一次项系数一半的平方”。
3. 公式法先整理成标准式，再代入 a、b、c，先算 Δ 再求根。
4. 完全平方开方必须带 ±，保证两根齐全。
【对点训练】3．下面分别是甲、乙两位同学解方程的过程．
甲同学 解：第一步 第二步 乙同学 解：∵ 第一步 ∴ 第二步 ∴ 第三步 即， 第四步
(1)甲、乙两位同学的解题过程都出现了错误，甲同学是第 步开始出现错误，乙同学是第 步开始出现错误；
(2)从两个方程中任选一个进行正确解答．
易错点4 实际应用问题中忽略未知数的实际意义
易错提醒
易错点总结
1. 应用题解出两根，不舍去负数解、不合理解，直接双解作答。
2. 增长率、边长、人数、价格等出现负数、小数、超范围数值，不筛选。
3. 只解方程不验实际，数学成立但现实不成立，造成大题扣分。
注意事项总结
1. 应用题必须两步检验：检验方程、检验实际意义。
2. 长度、人数、增长率、价格：负数一律舍去。
3. 超出题目限定范围（如增长率不超 1、边长超图形范围）的根全部舍去。
4. 最终答案一定符合生活实际，不盲目照搬方程解。
【对点训练】4．小西家有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，小西打算利用围墙和木栏围一块长方形养蜂场，已知木栏总长为米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为米的门，门不消耗木栏，设长为米．
(1)如图①，当时，
①___________米（用含的代数式表示）．
②若围成的养蜂场面积为平方米，求的长．
(2)如图②，当时，养蜂场的面积是否可以达到平方米？请说明理由．
一、单选题
1．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．若关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
3．定义运算：，例如，时，．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．若关于x的一元二次方程的两根互为倒数，则k的值为（ ）
A． B．2 C．2或 D．1
5．已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是______________．
7．若关于的一元二次方程有两个相等实数根，则的值是________．
8．已知的两个根为，则_______，_______，_______，_______，_______．
9．若，是方程的两个实数根，则的值为______．
10．已知关于x的方程的两根分别为，，则________．
三、解答题
11．解一元二次方程：
(1)；
(2)．
12．阅读材料：
为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程可化为，①
解得，．
当时，，，．
当时，，，．
原方程的解为，，，．
以上方法就叫换元法，体现了转化的思想．
请仿照材料解决问题：
(1)解方程：．
(2)若四个连续正整数的积为，求出这四个连续的正整数．
13．已知关于的方程．
(1)求证：无论取何值，方程一定有两个实数根；
(2)若等腰的边长，另两边长，恰好是这个方程的根，求的周长．
14．某网店销售一批同款护眼台灯，在销售过程中发现，这款护眼台灯销售单价为元时，每星期卖出个．如果调整销售单价，每降价元，每星期就可以多卖出个．现网店决定降价销售，设销售单价为元，每星期的销售量为个．
(1)关于的函数解析式为 ；
(2)若销售单价不低于元时，求最大销售量；
(3)若这款护眼台灯进价为每个元，该网店能否达到元的利润？
15．定义：若关于的一元二次方程中的常数项是该方程的一个根，则称该一元二次方程为理想方程．
(1)已知关于的方程是理想方程，求的值；
(2)当，满足什么条件时，方程是理想方程；
(3)关于的理想方程的两个实根为，，若，求的取值范围．
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