资源简介

1.2 菱形的性质与判定
回顾复习：
菱形的定义： 有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形 .
可以发现：菱形的四条边相等，对角线互相垂直。请你尝试证明这些结论.
已知：如图，在菱形ABCD中，AB＝AD，对角线AC与BD相交于点O.
求证：(1)AB＝BC＝CD＝AD；(2)AC⊥BD.
证明：(1)∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝CD，AD＝BC(菱形的对边相等). 又∵AB＝AD， ∴AB＝BC＝CD＝AD. (2)∵AB＝AD， ∴ △ABD是等腰三角形. 又∵四边形ABCD是菱形， ∴OB＝OD(菱形的对角线互相平分). 在等腰三角形ABD中， ∵OB＝OD， ∴ AO⊥BD，即AC⊥BD.
定理：
①菱形的四条边都相等. 几何语言：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD ②菱形的对角线互相垂直 几何语言：∵四边形 ABCD 是菱形 ∴BD⊥AC
思考·交流
你是如何发现菱形的特殊性质的
例1：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD＝60°，BD＝6.
(1)求AB和AC的长；(2)求菱形ABCD的面积.
解：(1)∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AB＝AD(菱形的四条边相等)， AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直)， OB＝OD＝BD＝＝3(菱形的对角线互相平分) 在等腰三角形 ABD 中，∵∠BAD＝60°， ∴△ABD是等边三角形. ∴AB＝BD＝6. 在Rt△AOB中，由勾股定理，得 OA2＋OB2＝AB2， ∴OA＝＝3 ∴AC＝2OA＝6 (菱形的对角线互相平分) (2)菱形ABCD的面积 ＝△ABC的面积＋△ADC的面积 ＝AC·OB＋AC·OD ＝AC(OB＋OD) ＝AC·BD ＝×6×6 ＝18
菱形的面积可以怎样计算？
①菱形是平行四边形：菱形的面积＝底×高＝BC·AE
②菱形的对角线互相垂直：菱形的面积＝对角线乘积的一半＝BD·AC
随堂练习：
如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.已知AB＝5cm，AO＝4cm，求BD的长.
解：∵四边形 ABCD 是菱形，∴AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直)，
在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA2＋OB2＝AB2，
∴BO＝＝＝3.
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD＝2BO＝2×3＝6(菱形的对角线互相平分).
∴BD的长为6cm.
菱形ABCD的周长为40cm，它的一条对角线长10cm.
(1)求这个菱形每一个内角的度数；
(2)求这个菱形另一条对角线的长.
解：(1)菱形内角分别为：60°，120°，60°，120°.
(2)对角线BD＝5
思考·交流
(1)由菱形的性质定理可知，如果一个四边形是菱形，那么它的四条边相等.反过来，四条边相等的四边形一定是菱形吗？为什么？
猜想：四边相等的四边形是菱形
已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，
求证：四边形 ABCD 是菱形
证明：∵AB＝CD，BC＝DA，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形
(2)菱形的对角线具有怎样的性质？写出它的逆命题，这个逆命题成立吗？为什么？
性质：菱形的对角线互相垂直
猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
逆命题：如果一个四边形是平行四边形，它的对角线互相垂直，那么这个平行四边形是菱形.
已知：如图，在□ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AC⊥BD.
求证：□ABCD 是菱形
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC
又∵AC⊥BD，
∴BD是线段 AC 的垂直平分线
定理:
①四边相等的四边形是菱形 几何语言： ∵四边形ABCD是平行四边形， AB＝BC＝CD＝DA， ∴四边形ABCD是菱形 ②对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 几何语言： ∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形
尝试·交流
(1)如图，已知线段a，请用尺规作菱形ABCD，使它的对角线AC＝a.
如图，利用尺规作出线段AC＝a，分别以A，C为圆心，以大于AC为半径作弧，两弧交于B、D，依次连接A，B，C，D
(2)满足(1)中条件的菱形唯一吗？如果不唯一，那么你认为添加怎样的条件，就可以使作出的菱形是唯一的？
答： 不唯一.
因为在垂直平分线上取点B、D 时，只要OB＝OD，无论OB取多长，都能构成菱形，所以这样的菱形有无数个.添加：给定另一条对角线的长度或给定菱形的边长或给定菱形的一个内角的条件，就可以使作出的菱形是唯一.
例2：已知：如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝，OA＝2，OB＝1.
求证：□ABCD 是菱形
证明：在△AOB 中，∵AB＝，OA＝2，OB＝1，
∴AB2＝AO2＋OB2.
∴△AOB 是直角三角形，∠AOB 是直角。∴AC⊥BD.
∴□ABCD 是菱形(对角线垂直的平行四边形是菱形)
随堂练习：
如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD是菱形吗？为什么？
证明：∵等宽纸条对边平行，
∴AD∥BC， AB∥CD，∴□ABCD是平行四边形，从A点作AM⊥DC交于点M，作AN⊥BC交于点 N，
∵是两张等宽的纸，∴AM＝AN.
∵□ABCD 是平行四边形，∴∠ABN＝∠ADM，
∵AM⊥DC ，AN⊥BC，∴∠ANB＝∠AMD＝90°，
∴△ABN≌△ADM，∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形).
习题1.2
[知识技能]
已知：如图，在菱形 ABCD 中，∠BAD＝2∠B.
求证：△ABC是等边三角形.
解: ∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AB＝BC.
∴∠BAD＋∠B＝180°，
又∵∠BAD＝2∠B ，得∠B＝60°。
在 △ABC 中，AB＝BC，且 ∠B＝60 ，∴△ABC是等边三角形.
如图，在菱形ABCD中，BD＝6，AC＝8，求菱形ABCD的周长.
解：设菱形对角线AC、BD交于点 O.
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝AC，BO＝BD.
∵BD＝6，AC＝8，
∴AO＝×8 ＝4，BO＝×6＝3.
在Rt△AOB中，由勾股定理：AB＝＝＝5.
∵ 菱形四条边相等，∴ 周长＝4AB＝4×5＝20.
答：菱形ABCD的周长为20.
已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点 O.
求证：AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC.
证明：∵ 四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，BC＝DC，AC⊥BD，BO＝DO.
在等腰△ABD中，AO是底边BD上的中线，
∴AO也是顶角∠BAD的角平分线(等腰三角形三线合一)，即AC平分∠BAD.
同理，在等腰△BCD中，CO是底边BD上的中线，∴CO 平分∠BCD，即AC平分∠BCD.
同理可证：BD平分∠ABC和∠ADC.综上，AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC.
证明：菱形的面积等于其对角线长的乘积的一半.
证明：如图，∵四边形 ABCD为菱形.
∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO.
∵S菱形ABCD＝S△AOB＋S△BOC＋S△COD＋S△DOA
＝OA·OB＋OB·OC＋OC·OD＋OD·OA
＝OB·AC＋OD·AC＝AC·BD，即菱形的面积等于其对角线乘积的一半.
如图，在菱形ABCD，对角线AC与BD相交于点O，且AC＝16，BD＝12，求菱形ABCD的高DH .
解：∵ AB·DH＝AC·BD，而AC＝16，BD＝12，AB＝10，
∵ DH＝×16×12÷10＝9.6.
已知：如图，在□ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与AD，AC，BC相交于点E，O，F. 求证：四边形AFCE是菱形.
证明：在□ABCD 中，AD∥BC，即AE∥FC.
又∵EF为AC的垂直平分线，
∴AC⊥EF，AO＝OC，即∠AOE＝∠COF＝90°，∠EAO＝∠FCO.
∴△FOC≌△EOA，即AE＝FC.∴四边形AFCE为平行四边形.
又∵AC⊥EF，∴四边形AFCE是菱形.
已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O ，点E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD 的中点.求证：四边形EFGH 是菱形.
证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD平行且等于CB，AC⊥BD.
又点E，F，G，H 分别为OA，OB，OC，OD的中点，
∴HE∥AD且 HE＝AD，FG∥BC且FG＝BC，
∴HE平行且等于GF，即四边形EFGH为平行四边形.
又∵AC⊥BD，∴四边形EFGH是菱形.
[数学理解]
如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，图中有多少个等腰三角形？有多少个直角三角形？
有4个等腰三角形：△ABC、△ADC、△ABD、△BCD
有4个直角三角形：Rt△AOB、Rt△BOC、Rt△COD、Rt△DOA
如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，且BE＝BF.从上述条件出发，你能提出哪些问题？从你提出的问题中选择一个加以解答.
提问：求证△ADE≌CDF或求证∠DEF＝∠DFE
证明：在菱形ABCD中， ∠C＝∠A，AD＝DC＝BC＝AB.
∵BE＝BF，∴AE＝CF， ∴△ADE≌△CDF
如图，在四边形纸片ABCD中，AD∥BC，AD＞CD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点 C′ 处，折痕DE交BC于点E，连接C′E.你能确定四边形CDC′E的形状吗？证明你的结论.
四边形 CDC′E 是菱形.
证明：连接CC′ ，交 DE于点O.
由题意可知，OC＝OC′，CD＝C′D，CE＝C′E.
又∵AD∥BC，∠EOC＝∠DOC′，
∴△COE≌△C′OD，即EC＝C′D.
又∵C′D＝CD，∴C′D＝CD＝EC＝C′E，∴四边形 CDC′E 是菱形.
[问题解决]
如图，你能用一张锐角三角形纸片ABC折出一个菱形，使∠A成为菱形一个内角吗？写出你的折纸步骤，画出图形，并说明你的方法的正确性.
如图，按编号顺序翻折可得菱形1.2 菱形的性质与判定
回顾复习：
菱形的定义： .
可以发现：菱形的四条边相等，对角线互相垂直。请你尝试证明这些结论.
已知：如图，在菱形ABCD中，AB＝AD，对角线AC与BD相交于点O.
求证：(1)AB＝BC＝CD＝AD；(2)AC⊥BD.
定理：
①菱形的四条边都相等. 几何语言：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD ②菱形的对角线互相垂直 几何语言：∵四边形 ABCD 是菱形 ∴BD⊥AC
思考·交流
你是如何发现菱形的特殊性质的
例1：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD＝60°，BD＝6.
(1)求AB和AC的长；(2)求菱形ABCD的面积.
菱形的面积可以怎样计算？
随堂练习：
如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.已知AB＝5cm，AO＝4cm，求BD的长.
菱形ABCD的周长为40cm，它的一条对角线长10cm.
(1)求这个菱形每一个内角的度数；
(2)求这个菱形另一条对角线的长.
思考·交流
(1)由菱形的性质定理可知，如果一个四边形是菱形，那么它的四条边相等.反过来，四条边相等的四边形一定是菱形吗？为什么？
猜想：四边相等的四边形是菱形
已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，
求证：四边形 ABCD 是菱形
(2)菱形的对角线具有怎样的性质？写出它的逆命题，这个逆命题成立吗？为什么？
性质：菱形的对角线互相垂直
猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
逆命题：如果一个四边形是平行四边形，它的对角线互相垂直，那么这个平行四边形是菱形.
已知：如图，在□ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AC⊥BD.
求证：□ABCD 是菱形
定理:
①四边相等的四边形是菱形 几何语言： ∵四边形ABCD是平行四边形， AB＝BC＝CD＝DA， ∴四边形ABCD是菱形 ②对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 几何语言： ∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形
尝试·交流
(1)如图，已知线段a，请用尺规作菱形ABCD，使它的对角线AC＝a.
(2)满足(1)中条件的菱形唯一吗？如果不唯一，那么你认为添加怎样的条件，就可以使作出的菱形是唯一的？
例2：已知：如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝，OA＝2，OB＝1.
求证：□ABCD 是菱形
随堂练习：
如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD是菱形吗？为什么？
习题1.2[知识技能]
已知：如图，在菱形 ABCD 中，∠BAD＝2∠B.求证：△ABC是等边三角形.
如图，在菱形ABCD中，BD＝6，AC＝8，求菱形ABCD的周长.
已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点 O.
求证：AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC.
证明：菱形的面积等于其对角线长的乘积的一半.
如图，在菱形ABCD，对角线AC与BD相交于点O，且AC＝16，BD＝12，求菱形ABCD的高DH .
已知：如图，在□ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与AD，AC，BC相交于点E，O，F. 求证：四边形AFCE是菱形.
已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O ，点E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD 的中点.求证：四边形EFGH 是菱形.
[数学理解]
如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，图中有多少个等腰三角形？有多少个直角三角形？
如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，且BE＝BF.从上述条件出发，你能提出哪些问题？从你提出的问题中选择一个加以解答.
如图，在四边形纸片ABCD中，AD∥BC，AD＞CD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点 C′ 处，折痕DE交BC于点E，连接C′E.你能确定四边形CDC′E的形状吗？证明你的结论.
[问题解决]
如图，你能用一张锐角三角形纸片ABC折出一个菱形，使∠A成为菱形一个内角吗？写出你的折纸步骤，画出图形，并说明你的方法的正确性.

展开更多......

收起↑