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16.3.1 平方差公式
课题 16.3.1 平方差公式 课型 新授课
课时 1课时（45分钟） 教材版本 人教版八年级上册 第十六章 乘法公式
教学方法 情境导入、探究发现、讲练结合 教学用具 多媒体课件
教材分析 平方差公式是乘法公式中的重要内容，也是后续学习因式分解和分式运算的重要基础。本节课通过多项式乘法运算发现规律，从代数和几何两个角度推导平方差公式，让学生理解公式中"相同项"和"相反项"的结构特征，体会数形结合的思想方法。平方差公式是多项式乘法中的特殊情形，体现了从一般到特殊的思想。
学情分析 学生已掌握多项式乘法法则，能熟练进行多项式乘以多项式的运算。但平方差公式作为一种特殊的多项式乘法，学生需要理解公式的结构特征——"相同项的平方减去相反项的平方"，才能准确识别和运用公式。在混合运算中，学生容易混淆平方差公式与一般多项式乘法，或在使用公式时错误识别"相同项"和"相反项"。教学中需通过结构分析和变式练习帮助学生建立公式的识别能力。
教学重点：掌握平方差公式及其推导过程。理解公式的结构特征：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。能正确识别公式中的"相同项"和"相反项"，熟练运用公式进行计算。了解平方差公式的几何意义，体会数形结合的思想方法。 掌握平方差公式及其推导过程。理解公式的结构特征：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。能正确识别公式中的"相同项"和"相反项"，熟练运用公式进行计算。了解平方差公式的几何意义，体会数形结合的思想方法。
教学难点：准确识别公式中的"相同项"和"相反项"，特别是当项的位置交换或符号变化时（如、等变形）。在混合运算中正确选择使用平方差公式还是一般多项式乘法，以及平方差公式的连续使用（如+1)）。灵活运用平方差公式进行简便运算（如。 准确识别公式中的"相同项"和"相反项"，特别是当项的位置交换或符号变化时（如、等变形）。在混合运算中正确选择使用平方差公式还是一般多项式乘法，以及平方差公式的连续使用（如+1)）。灵活运用平方差公式进行简便运算（如。
一、核心素养目标
1. 运算能力
理解平方差公式的推导过程，掌握公式的结构特征——"相同项的平方减去相反项的平方"。能熟练运用平方差公式进行整式乘法运算，包括直接应用、连续应用和简便运算。
2. 推理能力
经历"多项式乘法计算→观察规律→猜想公式→代数证明→几何验证"的完整探究过程。能从多项式乘法的一般法则出发，推导出平方差公式这一特殊情形，体会从一般到特殊的数学思想方法。通过几何图形的面积关系验证公式，培养数形结合的推理能力。
3. 模型观念
建立平方差公式的运算模型，能准确识别公式中的"相同项"和"相反项"。理解平方差公式是多项式乘法中的特殊情形，能用模型观念解释公式的适用条件。
4. 应用意识
能在混合运算中灵活选择平方差公式或一般多项式乘法。能运用平方差公式进行简便运算，如=9996。能解决平方差公式的连续使用问题，如
二、教学重难点
教学重点
1. 掌握平方差公式，即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。
2. 理解公式的结构特征：左边是两个二项式的乘积，其中一项相同、另一项互为相反数；右边是相同项的平方减去相反项的平方。
3. 了解平方差公式的几何意义，体会数形结合的思想方法。
教学难点
1. 准确识别公式中的"相同项"和"相反项"，特别是在项的符号变化、位置交换等变形情况下。
2. 在混合运算中正确判断何时使用平方差公式、何时使用一般多项式乘法，避免公式的误用。
3. 平方差公式的连续使用——如+1)=-1，以及灵活运用公式进行简便运算。
三、教学过程
环节一：情境导入（5分钟）
【教师活动】（地主租地故事）从前有一个狡猾的地主，他把一块边长x米的正方形的土地租给老张种植。有一天，他对老张说："我把这块地的一边减少5米，另一边增加5米，继续租给你，你也没有吃亏，你看如何？"老张答应了。你认为老张吃亏了吗？
【学生活动】原来土地面积是平方米。改变后，土地变成一边米，另一边米，面积是平方米。老张有没有吃亏，要看和哪个大。
【教师活动】非常好！这个问题实际上就是比较和的大小。那么等于多少呢？如果算出来发现-25，比少了25平方米，老张就吃亏了！这里面的规律就是我们今天要学习的——平方差公式。
【设计意图】通过地主租地这一有趣的情境故事引入，激发学生的学习兴趣和探究欲望。将数学问题与现实情境相结合，让学生体会到数学来源于生活，同时引出本节课的核心问题——的运算结果有什么规律？
【过渡语】下面我们就通过几个具体的多项式乘法运算，来寻找其中的规律。
环节二：探究新知（18分钟）
一、公式的探究与推导
【教师活动】请同学们计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
(1) = __________；
(2) = __________；
(3) = __________。
【学生活动】(1) -1。(2) -4。(3) -1。规律：中间两项总是抵消，结果都是两项的平方差！
【教师活动】观察得非常准确！中间两项互为相反数，所以抵消了。结果都是两个数的平方相减。如果用字母表示这个规律，就是。
【教师活动】为什么会有这样的规律呢？我们一起来推导一下。
【学生活动】=。中间和抵消了，所以只剩下。
【知识点】平方差公式的代数推导 = + = = - 中间两项 和 互为相反数，互相抵消。
【教师活动】（几何证明）我们还可以用几何图形来验证这个公式。
【教师活动】如图，从一个边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，剩余部分的面积是。将剩余部分剪开并重新拼成一个长方形，长方形的长是宽是面积是。因此。
【学生活动】原来代数公式也可以用几何图形来验证！这就是数形结合的思想。
【知识点】平方差公式的几何验证大正方形面积：剪去小正方形面积：剩余面积： - 拼成长方形：长宽长方形面积因此 = -
【设计意图】从代数推导和几何验证两个角度得出平方差公式，体现了数形结合的思想方法。代数推导利用多项式乘法分配律，几何验证通过面积关系直观展示，两种方法相辅相成，帮助学生从不同维度理解公式的本质。
二、公式的结构特征
【教师活动】现在我们已经得到了平方差公式。请同学们观察等号左边两个二项式中的每一项有什么联系？
【学生活动】左边两个二项式中，a是相同的项，b和是相反项。所以公式也可以理解为：相同项的平方减去相反项的平方。
【教师活动】总结得非常到位！平方差公式的结构特征就是：-。a是相同项，b是相反项。注意是用谁减谁？是用相同项的平方减去相反项的平方。
【知识点】平方差公式的结构特征 = - 结构特征： - 为相同项，b为相反项（含的那一项）注意：用相同项的平方减去相反项的平方。
【教师活动】平方差公式是多项式乘法中的特殊情形。也就是说，平方差公式是多项式乘法的一个特例。
【设计意图】通过分析公式的结构特征，帮助学生建立"识别相同项和相反项"的能力，这是正确使用平方差公式的前提。理解公式作为多项式乘法特例的地位，有助于学生将新知识与已有知识建立联系。
三、公式的识别练习
【教师活动】请同学们在下列各式中找出"相同项"和"相反项"，并判断能否运用平方差公式。
【学生活动】要判断能否用平方差公式，关键是看两个二项式中是否一项相同、另一项互为相反数。
【答案】：相同项为1，相反项为x和结果为=。
【答案】-3+a：注意变形后找相同项和相反项。
【设计意图】识别练习是公式应用的基础。通过找"相同项"和"相反项"的训练，帮助学生建立公式的识别能力，避免在后续计算中错误使用公式。
【过渡语】同学们已经掌握了平方差公式的结构特征和识别方法。下面我们通过例题来学习如何正确运用公式进行计算。
四、例1（教材例题）
【教师活动】（例1）运用平方差公式计算：
例1 运用平方差公式计算：
(1)
(2) 。
【学生活动】(1) 相同项是3x，相反项是2和-2，所以=-4。(2) 相同项是相反项是2y和所以-=。
【解答】解：(1) = - = - 4；
【解答】(2) = - = - 。
【教师活动】注意第(2)题，相同项是-x，=，千万不要漏了负号。
【易错防范】注意相同项的识别中相同项是不是x。 = （偶次幂为正），结果正确。如果错误地认为相同项是x，则结果为，虽然结果碰巧相同，但思路错误。关键：先找相同项，再找相反项，不要混淆！
五、变式练习
【教师活动】计算：
(1)
【学生活动】(1) 相同项是a，相反项是5和-5，所以原式==-25。(2) (相同项是，相反项是y和所以原式=(=。
【解答】解：(1) 原式 = - = - 25；
【解答】(2) 原式 = ( - = - 。
【方法归纳】识别相同项和相反项的技巧1. 先观察两个括号中完全相同的项——这是相同项。2. 再观察互为相反数的项——这是相反项。3. 结果 = - 。4. 注意：项的符号可能变化，要仔细辨认。5. 中，相同项是a，不是5。
【设计意图】变式练习通过改变项的排列顺序和符号，训练学生在不同形式下正确识别"相同项"和"相反项"的能力。特别是这种相同项在后面的情况，容易出错，需要重点辨析。
【过渡语】同学们已经掌握了平方差公式的基本运用。下面我们来看平方差公式的连续使用和混合运算。
六、例2（平方差公式的连续使用与混合运算）
【教师活动】（例2）计算：
(2) 。
【学生活动】(1) -1，再乘以(+1)，用平方差公式(-1)(+1)=-1。(2) 所以原式=(-4)-(。
【解答】解：(1) +1)
【解答】 = (-1)(+1)
【解答】 = - 1
【解答】
【解答】(2)
【解答】 = (-4)-(
【解答】 =
【解答】 =
【教师活动】第(1)题是平方差公式的连续使用，两次运用了平方差公式。第(2)题是混合运算，第一项用平方差公式，第二项用一般多项式乘法，注意括号前面是减号时去括号要变号。
【解题策略】连续使用平方差公式当出现+1)这种形式时，先对前两项用平方差公式-1，再对结果与第三项用平方差公式：(-1)(+1)=-1。关键是：每次使用前都要检查是否满足"一项相同、另一项相反"的结构。
七、简便运算
【教师活动】计算。
【学生活动】102=100+2，98=100-2，所以=10000-4=9996。
【解答】解
【解答】 = (100+2)(100-2)
【解答】 = -
【解答】 = 10000 - 4
【解答】 = 9996
【规律总结】平方差公式的简便运算当两个数可以表示为和的形式时，可以用平方差公式简化计算 = - 例如 = (100+2)(100-2) = - = 9996。关键：找到中间数a和差值b。
【设计意图】平方差公式在简便运算中有重要应用。将两个数表示为的形式，利用平方差公式可以快速得到结果，避免繁琐的竖式乘法。这体现了公式的应用价值。
八、公式的变形
【教师活动】平方差公式有多种变形，请同学们观察：
【学生活动】中相同项是a，相反项是b和所以结果还是。中相同项是b，相反项是a和所以结果是。中相同项是b，相反项是2a和所以结果是-=。
【教师活动】分析得很好！关键是要准确识别相同项和相反项，相同项是谁，结果的平方差就是谁减谁。
【知识要点】平方差公式的变形基本形式 = - 变形 = - （相同项a，相反项b）变形 = - （相同项b，相反项a）变形 = - = - 核心：找相同项和相反项，结果 = - 。
【设计意图】通过公式的变形举例，帮助学生理解平方差公式的灵活运用。公式的核心是"相同项的平方减去相反项的平方"，不论项的位置如何排列，只要满足结构特征即可使用。
环节三：课堂练习（17分钟）
练习1（选择题）
【教师活动】下列算式不能运用平方差公式计算的是（ ）。
A.
B.
C.
D.
【学生活动】A中相同项x，相反项a和可以用。B中即可以用。C中相同项找不到，a和相反，b和也相反，两项都是相反项，不能用平方差公式！D中相同项是相反项是和x，可以用。选C。
【答案】C
【易错防范】什么情况下不能使用平方差公式平方差公式的条件：两个二项式中，一项相同，另一项互为相反数。C选项中，两项都互为相反数，不满足条件，不能使用。这种情况需要用一般多项式乘法。
练习2（教材练习 第1题）
【教师活动】下面的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？
【学生活动】(1)不对，=4，不是2，应该为-4。(2)不对中相同项是-2，相反项是和a，所以原式==，不是-4。(3)不对中两项都互为相反数，不能用平方差公式。应该用一般多项式乘法：原式==。
【答案】(1) × 改正：-4（=4，不是2）
【答案】(2) × 改正：（相同项是-2，结果为=）
【答案】(3) × 改正：（两项都互为相反数，不能用平方差公式）
【设计意图】纠错题直击学生典型错误：漏掉平方（写成了2）、相同项识别错误、不满足条件时强行使用公式。通过纠错讨论，帮助学生建立正确的公式使用意识。
练习3（教材练习 第2题）
【教师活动】计算：
(1)
(2)
(3) 。
【学生活动】(1) -=。(2) 相同项是2a，相反项是3和-3，所以原式==-9。(3) =所以原式=-16-(。
【解答】解：(1) = - = - ；
【解答】(2) = - = - 9；
【解答】(3)
【解答】 = (-16)-(
【解答】 =
【解答】 = 。
练习4（教材练习 第3题）
【教师活动】运用平方差公式计算：
(1)
(2)
【学生活动】(1) =2500-1=2499。
【解答】解：(1) = (50+1)(50-1) = - = 2500 - 1 = 2499。
【教师活动】注意：51和49的平均数是50，差是1，所以可以写成(50+1)(50-1)。
练习5（综合提升）
【教师活动】计算：
(2) 。
【学生活动】(1) 连续使用平方差公式-1，(-1)(+1)=-1，(-1)(+1)=-1。(2) =40000-1=39999。
【解答】解：(1) 原式 = (-1)(+1)(+1)
【解答】 = (-1)(+1)
【解答】 = - 1
【解答】
【解答】(2) = (200+1)(200-1) = - = 40000 - 1 = 39999。
【规律总结】平方差公式的连续使用连续使用平方差公式的关键：每次使用后，检查结果是否还满足平方差公式的结构。+1)(+1)=(-1)(+1)(+1) → 第一次使用=(-1)(+1) → 第二次使用=-1 → 第三次使用
练习6（混合运算）
【教师活动】计算：
。
【学生活动】第一项用一般多项式乘法：=+=+。第二项用平方差公式：相同项是相反项是y和=。所以原式=(+)-()=++=。
【解答】解：原式 = + - ()
【解答】 = ++
【解答】 = 7xy -
【解题策略】混合运算中的公式选择在混合运算中，要先判断每项是否满足平方差公式的条件： —— 两项没有相同项和相反项，用一般多项式乘法。 —— 相同项相反项y和用平方差公式。能使用公式的用公式简化计算，不能使用的用一般方法。
【设计意图】课堂练习从基础的选择题和纠错题开始，逐步过渡到教材练习题和综合提升题。选择题训练公式的识别能力，纠错题帮助学生识别常见错误，教材练习巩固公式的基本应用，综合提升题培养连续使用和混合运算的能力。
环节四：课堂小结（5分钟）
【过渡语】通过层层递进的练习，同学们对平方差公式已经有了比较深入的理解。下面我们一起来回顾本节课的核心内容。
【教师活动】请一位同学总结一下本节课学方差公式。
【学生活动】平方差公式。两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。公式的核心是找"相同项"和"相反项"，结果等于相同项的平方减去相反项的平方。
【教师活动】总结得很好！老师再强调几点：第一，平方差公式的结构特征是"一项相同、另一项互为相反数"，只有满足这个条件才能使用。第二，结果等于相同项的平方减去相反项的平方，注意是用谁减谁。第三，平方差公式可以连续使用，如+1)=-1。第四，平方差公式可以用于简便运算，如。第五，在混合运算中，要判断每项是否满足公式条件，能用的用公式，不能用的用一般方法。
【知识点】课堂小结：平方差公式一、公式 = - 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。二、结构特征 左边：一项相同，另一项互为相反数。 右边： - 。三、应用 1. 直接应用：识别相同项和相反项，代入公式。 2. 连续使用+1)=-1。 3. 简便运算。 4. 混合运算：先判断能否使用公式，能用的用公式。
四、板书设计
【知识点】16.3.1 平方差公式一、公式 = - 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。二、结构特征 相同项：a 相反项：b 结果 = - 三、推导 代数：多项式乘法分配律 几何：面积割补法四、应用 例-4 连续使用+1)=-1 简便运算
五、教学反思
本节课从情境故事引入，通过"多项式乘法计算→观察规律→代数推导→几何验证→结构分析→公式应用"的探究过程，引导学生自主发现并理解平方差公式。教学中注重从代数推导和几何验证两个角度说明公式的合理性，体现了数形结合的思想方法。
学生在识别"相同项"和"相反项"时容易出错，特别是当项的位置交换或符号变化时。教学中通过结构分析、公式变形和纠错练习，帮助学生建立正确的识别能力。在混合运算中，学生有时会错误地对不满足条件的式子使用平方差公式，需要通过对比练习加以区分。
平方差公式的连续使用和简便运算是本节课的重要拓展。通过+1)和等例题，让学生体会公式的灵活运用。对于综合题学生需要判断哪些部分能用公式、哪些不能，体现了知识的综合性和灵活性。

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