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教案：16.3.2 完全平方公式 第2课时 添括号
课题 16.3.2 完全平方公式 第2课时 添括号 课型 新授课
课时 1课时（45分钟） 教材版本 人教版八年级上册 第十五章 整式的乘法与因式分解
教学方法 情境导入、探究发现、讲练结合 教学用具 多媒体课件
教材分析 本节课是完全平方公式的第2课时，在学习了完全平方公式和平方差公式的基础上，进一步学习添括号法则。添括号是去括号的逆运算，是乘法公式综合应用的重要工具。通过添括号，可以将多项式变形为符合乘法公式结构的形式，从而运用平方差公式或完全平方公式进行简化运算，体现了"整体思想"在代数运算中的灵活运用。
学情分析 学生已掌握去括号法则和完全平方公式、平方差公式，能熟练运用乘法公式进行计算。但添括号是去括号的逆过程，学生容易混淆符号变化规则，尤其是在添括号时判断括号前应放"+"号还是"-"号。将多项式变形为符合乘法公式的结构，需要较强的观察能力和整体意识，对部分学生有一定难度。教学中需通过大量的类比和练习，帮助学生建立"添括号"与"去括号"之间的双向联系。
一、核心素养目标
1. 运算能力
掌握添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。能正确运用添括号法则对多项式进行变形，并能利用添括号将表达式转化为符合乘法公式结构的形式，熟练运用平方差公式和完全平方公式进行化简和计算。
2. 推理能力
经历"去括号回顾→添括号归纳→法则应用→公式综合运用"的探究过程。从去括号法则出发，通过逆向思考归纳出添括号法则，体会数学中的互逆关系。通过添括号将复杂表达式变形为(a+b)(a-b)或的结构，培养代数变形和推理能力。
3. 模型观念
建立"添括号→乘法公式"的运算模型。理解添括号是连接多项式与乘法公式的桥梁，通过合理添括号，将看似不满足乘法公式结构的表达式转化为符合公式的形式，运用平方差公式
和完全平方公式
进行简化运算，体会"整体思想"在代数运算中的重要作用。
4. 应用意识
能灵活运用添括号法则和乘法公式解决综合问题。如将
转化为
[(a+b)+c]
后运用完全平方公式展开，体会添括号在简化运算中的价值。
二、教学重难点
教学重点
1. 掌握添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。
2. 能利用添括号法则和乘法公式（平方差公式、完全平方公式）进行综合运算。
3. 理解添括号与去括号的互逆关系，能用去括号法则检验添括号是否正确。
教学难点
1. 正确判断添括号时括号前符号和括号内各项符号的变化，避免混淆。
2. 在复杂表达式中灵活选择添括号策略，将多项式变形为符合乘法公式结构的形式。
3. 运用"整体思想"将多项式的一部分看作一个整体，运用乘法公式进行运算。
三、教学过程
环节一：复习导入（5分钟）
【教师活动】上节课我们学习了完全平方公式和平方差公式，请同学们回顾一下。
【学生活动】完全平方公式：=+2ab+，=-2ab+。平方差公式：(a+b)(a-b)=。
【教师活动】（展示课件）在这之前，我们还学过去括号法则。请同学们完成以下去括号练习。
(1) x+(2y-3) = __________；
(2) x-(2y-3) = __________；
(3) (a+1)-(b-c) = ____________。
【学生活动】(1) x+2y-3。(2) x-2y+3。(3) a+1-b+c。
【教师活动】去括号的法则是什么？
【学生活动】去括号时，如果括号前面是正号，去掉括号后，括号里的各项不变符号；如果括号前面是负号，去掉括号后，括号里的各项都改变符号。
【知识点】复习：去括号法则
去括号时，如果括号前面是正号，去掉括号后，括号里的各项不变符号；
如果括号前面是负号，去掉括号后，括号里的各项都改变符号。
即：a+(b+c)=a+b+c；a-(b+c)=a-b-c。
【设计意图】通过回顾去括号法则，为逆向思考——添括号法则的引出做好知识准备。去括号和添括号是互逆运算，理解去括号有助于学生自然过渡到添括号的学习。
【过渡语】去括号和添括号是互逆的过程。如果我们将去括号的结果反过来，就会得到添括号的法则。下面我们一起来研究添括号。
环节二：探究新知（18分钟）
一、添括号法则
【教师活动】（展示课件）请同学们观察下面的去括号运算，反过来思考可以得到什么？
a+(b+c) = a+b+c
a-(b+c) = a-b-c
【教师活动】反过来，就得到：
a+b+c = __________
a-b-c = __________
【学生活动】a+b+c=a+(b+c)；a-b-c=a-(b+c)。
【教师活动】（展示课件）由此，我们可以总结出添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。
【知识点】添括号法则
添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；
如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。
即：a+b+c = a+(b+c)；a-b-c = a-(b+c)。
* 添括号正确与否，可用去括号法则进行检验。
【教师活动】（展示课件）请同学们记忆口诀：添括号，看符号：正号在前直接抄；负号在前变号抄；验证对错去括号。
【记忆口诀】添括号法则添括号，看符号：正号在前直接抄；负号在前变号抄；验证对错去括号。
【设计意图】从去括号的逆过程引出添括号法则，让学生体会数学中的互逆关系。口诀的引入帮助学生快速记忆符号变化规则，降低学习难度。
【过渡语】同学们已经掌握了添括号法则和记忆口诀。下面我们通过具体的例题，来练习添括号法则的应用。
例题1：按要求添括号
【教师活动】（展示课件）按要求给多项式添括号。
【教师活动】(1) 使最高次项的系数变为正数，且把每一项都放在括号里；(2) 把奇次项放在前面是"-"号的括号里，其余的项放在前面是"+"号的括号里。
【学生活动】(1) 最高次项的系数为负，括号前为"-"号，括号内各项都变号：原式=-(+a-1)。(2) 奇次项和-a放在"-"号括号里，其余项和1放在"+"号括号里：原式=-(+a)+(+1)。
【解答】解：(1) 原式 = -(+a-1)
【解答】(2) 原式 = -(+a)+(+1)
【易错提示】添括号符号变化注意：(1)中括号前为"-"号，括号内每一项都要变号：→，+→，-a→+a，+1→-1。(2)中奇次项和-a（系数为负）放入"-"号括号，变为和a。其余项和1放入"+"号括号，不变号。
例题2：在括号里填上适当的项
【教师活动】（展示课件）在括号里填上适当的项。
(1) a+2b-c = a+(________)；
(2) a-b-c+d = a-(________)；
(3) (a+b-c)(a-b+c) = [a+(_______)] [a-(_______)]。
【学生活动】(1) 括号前是"+"号，各项不变号，应填2b-c。(2) 括号前是"-"号，-b变为b，-c变为c，+d变为-d，应填b+c-d。(3) 第一个括号前是"+"号，b-c不变；第二个括号前是"-"号，b变为-b，-c变为c，即b-c。所以都填b-c。
【答案】(1) 2b-c (2) b+c-d (3) b-c；b-c
【设计意图】通过层层递进的练习，从简单添括号到在乘法公式中灵活运用添括号，帮助学生逐步掌握添括号法则。第(3)题将添括号与乘法公式结合，为后续例5的综合运用做铺垫。
【过渡语】同学们已经掌握了添括号法则。那么，乘法公式中的a和b可以是一个多项式吗？如果a或b是一个多项式，如何运算？
二、添括号与乘法公式的综合运用
【教师活动】（展示课件）公式中的a和b可以是一个字母，也可以是一个多项式。如果a或b是一个多项式，计算时可以看作一个整体，先按照乘法公式进行计算，然后再根据相应的法则进行运算。
【知识点】公式中的a和b的整体思想乘法公式中的a和b可以是一个字母，也可以是一个多项式。计算时把多项式看作一个整体，先按照乘法公式计算，再展开化简。完全平方公式： = ±2ab+平方差公式：(a+b)(a-b) =
例5（教材例题）
【教师活动】（展示课件——例5）运用乘法公式计算。
例5 运用乘法公式计算：
(1) (x+2y-3)(x-2y+3)；
【教师活动】第(1)题，观察式子结构，x相同，2y-3和-2y+3互为相反数，可以利用平方差公式。第(2)题，三个数的和的平方，可以利用完全平方公式。
【学生活动】(1) (x+2y-3)(x-2y+3)=[x+(2y-3)][x-(2y-3)]=-=-(-12y+9)=+12y-9。
【学生活动】(2) =[(a+b)+c]=+2(a+b)c+=+2ab++2ac+2bc+=+++2ab+2ac+2bc。
【解答】解：(1) (x+2y-3)(x-2y+3)
【解答】 = [x+(2y-3)][x-(2y-3)]
【解答】 = -
【解答】 = -(-12y+9)
【解答】 = +12y-9
【解答】解：(2)
【解答】 = [(a+b)+c]
【解答】 = +2(a+b)c+
【解答】 = +2ab++2ac+2bc+
【解答】 = +++2ab+2ac+2bc
【解题策略】添括号与乘法公式综合运用第(1)题关键：观察发现x相同，2y-3与-2y+3互为相反数，通过添括号变形为[x+(2y-3)][x-(2y-3)]，利用平方差公式(a+b)(a-b)=。第(2)题关键：将(a+b)看作一个整体，利用完全平方公式=+2ab+。这就是"整体思想"——将多项式的一部分看作一个整体a或b。
【设计意图】例5是添括号与乘法公式综合运用的典型例题。第(1)题通过添括号将看似不满足平方差公式结构的表达式变形为(a+b)(a-b)的形式；第(2)题通过添括号将三项和的平方转化为两项和的平方，体现了"整体思想"在代数运算中的灵活运用。
综合练习
【教师活动】（展示课件）运用乘法公式计算。
(2) (2x-y-3)(2x-y+3)。
【学生活动】(1) =[(a-m)+2n]=+4n(a-m)+=-2am++4an-4mn+。
【学生活动】(2) (2x-y-3)(2x-y+3)=[(2x-y)-3][(2x-y)+3]=-9=-4xy+-9。
【解答】解：(1) 原式 = [(a-m)+2n]
【解答】 = +4n(a-m)+
【解答】 = -2am++4an-4mn+
【解答】解：(2) 原式 = [(2x-y)-3][(2x-y)+3]
【解答】 = -9
【解答】 = -4xy+-9
【方法归纳】添括号策略第(1)题：将(a-m)看作整体，利用完全平方公式=□+4n□+。第(2)题：观察发现2x-y相同，-3和+3互为相反数，利用平方差公式(□-3)(□+3)=□-9。关键：先观察结构相同与相反的部分，再合理添括号，套用乘法公式。
【设计意图】综合练习进一步巩固添括号与乘法公式的综合运用。两道题分别对应完全平方公式和平方差公式的变形应用，帮助学生建立"观察结构→添括号变形→套用公式"的解题思路。
环节三：课堂练习（17分钟）
练习1（选择题）
【教师活动】（展示课件）下列去括号或添括号的变形中，错误的是（ ）。
A. a-(b-c)=a-b+c
B. a-b+c=a-(b+c)
C. (a+1)-(b-c)=a+1-b+c
D. a-b+c-d=a-(b-c+d)
【学生活动】B是错误的。a-b+c添括号，括号前放"-"号，括号内各项变号：a-b+c=a-(b-c)，不是a-(b+c)。A、C、D都是正确的。
【答案】B
练习2
【教师活动】（展示课件）已知2a-3b=2，则7-2a+3b的值是______。
【学生活动】7-2a+3b=7-(2a-3b)=7-2=5。
【解答】解：7-2a+3b = 7-(2a-3b) = 7-2 = 5。
【方法点拨】整体代入将2a-3b看作一个整体，通过添括号变形：7-2a+3b = 7-(2a-3b)，然后整体代入2a-3b=2，得7-2=5。
练习3
【教师活动】（展示课件）不改变多项式的值，把它的最后两项放在：
【教师活动】(1) 前面带有"+"号的括号里；(2) 前面带有"-"号的括号里。
【学生活动】(1) 括号前是"+"号，最后两项-2不变号：原式=+(-2)。(2) 括号前是"-"号，最后两项变号：变为，-2变为+2，所以原式=-(+2)。
【解答】解：(1) 原式 = +(-2)
【解答】(2) 原式 = -(+2)
练习4（教材P117练习 第1题）
【教师活动】（展示课件）在等号右边的括号里填上适当的项。
(1) a+b-c = a+( )；
(2) a-b+c = a-( )；
(3) a+b-c = a-( )；
(4) a+b+c = a-( )。
【学生活动】(1) 括号前是"+"号，填b-c。(2) 括号前是"-"号，-b变为b，+c变为-c，填b-c。(3) 括号前是"-"号，+b变为-b，-c变为+c，填-b+c。(4) 括号前是"-"号，+b变为-b，+c变为-c，填-b-c。
【答案】(1) b-c (2) b-c (3) -b+c (4) -b-c
练习5（教材P117练习 第2题）
【教师活动】（展示课件）运用乘法公式计算。
(1) (x+y-1)(x-y-1)；
(2) (2x+y+z)(2x-y-z)。
【学生活动】(1) (x+y-1)(x-y-1)=(x-1+y)(x-1-y)=[(x-1)+y][(x-1)-y]==-2x+=+1。
【学生活动】(2) (2x+y+z)(2x-y-z)=[2x+(y+z)][2x-(y+z)]=-=-(+2yz+)=。
【解答】解：(1) (x+y-1)(x-y-1)
【解答】 = (x-1+y)(x-1-y)
【解答】 = [(x-1)+y][(x-1)-y]
【解答】 =
【解答】 = -2x+
【解答】 = +1
【解答】解：(2) (2x+y+z)(2x-y-z)
【解答】 = [2x+(y+z)][2x-(y+z)]
【解答】 = -
【解答】 = -(+2yz+)
【解答】 =
练习6（教材P117练习 第3题）
【教师活动】（展示课件）运用乘法公式计算。
【学生活动】(1) =[(a+2b)-1]=-2(a+2b)+1=+4ab+-2a-4b+1。或将括号添在第一项后：原式=[a+(2b-1)]。
【学生活动】(2) =[(2x-y)+1]=+2(2x-y)+1=-4xy++4x-2y+1。或将括号添在第一项后：原式=[2x-(y-1)]。
【解答】解：(1)
【解答】 = [(a+2b)-1]
【解答】 = -2(a+2b)+
【解答】 = +4ab+-2a-4b+1
【解答】解：(2)
【解答】 = [(2x-y)+1]
【解答】 = +2(2x-y)+
【解答】 = -4xy++4x-2y+1
【方法拓展】多种添括号策略第(1)题还可以：原式=[a+(2b-1)]（将后两项添括号）。第(2)题还可以：原式=[2x-(y-1)]（将后两项添括号）。不同的添括号策略通向同样的结果，根据题目特点灵活选择。
【设计意图】课堂练习从基础填括号（练习4）到综合运用乘法公式（练习5、6），层层递进。练习4巩固添括号法则的基本应用；练习5训练利用平方差公式进行变形；练习6训练利用完全平方公式进行变形。多种添括号策略的展示，培养学生灵活应变的能力。
环节四：课堂小结（5分钟）
【过渡语】通过本节课的学习，同学们对添括号法则及其在乘法公式中的应用有了系统的认识。下面我们一起来回顾本节课的核心内容。
【教师活动】请一位同学总结一下添括号法则。
【学生活动】添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。口诀：添括号，看符号：正号在前直接抄，负号在前变号抄，验证对错去括号。
【教师活动】总结得很好！老师再强调几点：第一，添括号和去括号是互逆运算，可以用去括号法则检验添括号是否正确。第二，乘法公式中的a和b可以是一个多项式，计算时把多项式看作一个整体。第三，遇到复杂表达式时，先观察结构中相同和相反的部分，再合理添括号，套用平方差公式或完全平方公式。
【知识点】课堂小结：添括号一、添括号法则 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号； 如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。 即：a+b+c = a+(b+c)；a-b-c = a-(b+c)。 口诀：添括号，看符号：正号在前直接抄，负号在前变号抄，验证对错去括号。二、添括号与乘法公式的综合运用 平方差公式：(a+b)(a-b) = 完全平方公式： = ±2ab+ 关键：将多项式的一部分看作整体a或b，通过添括号变形为公式结构。三、解题策略 观察结构→添括号变形→套用乘法公式→展开化简。
四、板书设计
【知识点】16.3.2 完全平方公式 第2课时 添括号一、添括号法则 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号； 如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。 即：a+b+c = a+(b+c)；a-b-c = a-(b+c)。 口诀：添括号，看符号：正号在前直接抄，负号在前变号抄。二、添括号与乘法公式的综合运用 例5 (1) (x+2y-3)(x-2y+3) = [x+(2y-3)][x-(2y-3)] = - = +12y-9 例5 (2) = [(a+b)+c] = +++2ab+2ac+2bc三、整体思想 乘法公式中的a和b可以是多项式，看作整体进行运算。
五、教学反思
本节课从去括号法则的回顾出发，通过逆向思考引出添括号法则，体现了数学中的互逆关系。教学中注重让学生理解去括号和添括号的双向联系，通过口诀帮助学生记忆添括号的符号变化规则，降低学习难度。
添括号与乘法公式的综合运用是本节课的核心内容。通过例5的两道典型例题，展示了如何将看似不满足乘法公式结构的表达式通过添括号变形为公式形式。第(1)题利用平方差公式，第(2)题利用完全平方公式，两道题分别对应两种乘法公式的变形应用，体现了"整体思想"在代数运算中的灵活运用。
学生在添括号的符号判断上容易出错，特别是在"-"号括号前将各项变号时。通过练习1（选择题）和练习4（填空），帮助学生反复练习添括号法则的基本应用。练习5和练习6进一步提升难度，训练学生在复杂表达式中灵活选择添括号策略，综合运用乘法公式的能力。教学中展示了多种添括号策略（如第6题），体现了数学方法的多样性。

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