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第4章 三角形 小结与评价 教学设计
课题 第4章 三角形 小结与评价 单元 第4单元 学科 数学 年级 八年级上册
教学目标 1.掌握三角形及有关概念，会表示三角形及各部分名称; 2.掌握三角形的三边关系，内角和定理及推论; 3.掌握全等三角形的性质和判定方法及其应用; 4.掌握等腰三角形的性质和判定方法及其运用; 5.掌握线段的垂直平分线的性质定理及逆定理; 6.掌握基础作图,能尺规规范地作出三角形; 7.系统化知识要点，熟悉题型,提高综合应用能力。
教学重点 1.三角形的三边关系，内角和定理及推论的运用; 2.全等三角形的性质和判定的应用; 3.等腰(等边)三角形的性质和判定方法的应用。
教学难点 1.等腰(等边)三角形与全等三角形的综合应用; 2.需两次证明三角形全等、作辅助线证明三角形全等求线段和角的问题。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
知识图谱 学生与教师一起回顾本章的内容。 引导学生回顾本章知识点，使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系.
思考回顾 三角形的三边之间有怎样的关系？什么是三角形的内角和定理？ 三角形的三边关系： 三角形的任意两边之和大于第三边. 三角形的任意两边之差小于第三边. 三角形内角和定理： 三角形的内角和等于180°. 如图，∠A +∠B+∠C=180°. 2. 什么是命题？如何判断一个命题是真命题还是假命题？ 叙述一件事情的句子（陈述句）要么是真的，要么是假的，两者必居其一，我们称这个陈述句是一个命题. 如果一个命题叙述的事情是真的，就说它是真命题； 如果一个命题叙述的事情是假的，就说它是假命题. 例 命题：对顶角相等 真命题：直角三角形有一个角等于90° 假命题：同位角相等 3. 什么是互逆命题？原命题是真命题，它的逆命题一定是真命题吗？反证法的基本思路是怎样的？ 对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫作原命题，另一个叫作它的逆命题. 例 互逆命题： 两直线平行，同位角相等。 同位角相等，两直线平行。 原命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题. 例 若两数相等，则它们的绝对值也相等；（原命题是真命题） 绝对值相等的两个数相等。（逆命题是假命题） 反证法的基本思路： （1） 假设命题不成立； （2） 导出矛盾； （3） 肯定结论. 4. 如何判定两个三角形全等？全等三角形有哪些性质？ 判定两个三角形全等 (1)如果两个三角形的三条边和三个角分别对应相等，那么这两个三角形全等. (2)全等三角形的判定定理（边角边）: 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等. (3)全等三角形的判定定理（角边角）： 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等. (4)全等三角形的判定定理（角角边）： 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等. (5)全等三角形的判定定理（边边边）： 三边分别相等的两个三角形全等. 全等三角形的性质: 全等三角形的对应边相等，对应角相等. 5. 什么是等腰三角形的性质定理？什么是等腰三角形的判定定理？等边三角形呢？ 等腰三角形的性质定理： 等腰三角形的两个底角相等（简称 “等边对等角”)，底边上的高线、中线及顶角平分线重合（简称“三线合一”). 应用格式： ∵AB=AC，AD⊥BC, ∴BD=CD，∠BAD=∠CAD (三线合一) 等腰三角形的判定定理： 有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称 “ 等角对等边”） 应用格式：在△ABC 中， ∵∠B=∠C，（已知） ∴AC=AB. （等角对等边） 即△ABC 为等腰三角形. 等边三角形的性质定理: 等边三角形的各角都等于60°. 几何语言： 在△ABC中 ∵AB＝AC＝BC ∴∠A＝∠B＝∠C＝60° 等边三角形的判定定理1: 三个角都相等的三角形是等边三角形. 几何语言： 在△ABC中 ∵∠A=∠B=∠C ∴AB＝BC＝AC 等边三角形的判定定理2: 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 几何语言： 在△ABC中 ∵AB＝AC，∠A＝60° ∴AB＝BC＝AC 6. 什么是线段的垂直平分线？线段的垂直平分线的性质定理和它的逆定理分别是什么？ 线段的垂直平分线： 垂直并且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线（或中垂线）. 图中，直线 l 就是线段 PP'的垂直平分线. 线段的垂直平分线的性质定理： 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 用几何语言表示为： ∵ CA =CB，l⊥AB， （点P在线段AB的垂直平分线上） ∴ PA =PB． 线段垂直平分线的性质定理的逆定理： 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 应用格式： ∵PA =PB， ∴点P 在AB 的垂直平分线上． 7. 举例说明本章学习的几种尺规作图. (1)已知三边作三角形. 如图，已知线段a，b，c. 求作△ABC，使BC = a，AC = b，AB = c. (2)作一个角等于已知角. 如图，已知∠AOB. 求作∠A′O′B′，使∠A′O′B′= ∠AOB. (3)已知两边及其夹角作三角形. 如图，已知∠α和线段a，c. 求作△ABC，使 ∠B = ∠α，BC =a，AB = c. (4)已知两角及其夹边作三角形. 如图，已知∠α，∠β和线段a. 求作 △ ABC， 使 ∠ABC = ∠α， ∠ACB =∠β，BC = a. (5)过直线外一点作这条直线的平行线. 如图，已知直线AB，点P不在AB上. 求作过点P且与直线AB平行的直线. 学生思考回答教师提出的问题。 通过问题，让学生回忆三角形这章的重点内容，检查学生对知识点的掌握程度，及时发现问题，查漏补缺。
注意事项 1. 一个命题要么是真的，要么是假的，二者必居其一. 2. 判断一个命题是真的，需要进行证明. 难以直接证明时，常用反证法. 3. 判断一个命题是假的，只需要举出一个反例，使之符合命题的条件，但是不满足命题的结论. 4. 一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题. 5. 由于全等三角形的对应边相等、对应角相等，因而证明线段相等或角相等时，常常先证明有关的两个三角形全等. 学生与教师一起总结。 帮助学生梳理三角形这章需要重点注意的地方，更好的理解知识点。
典例精讲 题型一：三角形的概念及边和角的性质 例1 一个三角形的两边长分别为3和4,且第三边长为整数,这样的三角形的周长最大值是( C ). A.11 B.12 C.13 D.14 例2 如图，在△ABC中,∠A =469 ,∠C= 74° , BD平分∠ABC,交AC于点D,则∠BDC的度数是（ A ） A.76° B.81° C.92° D.104° 例3 如图，已知△ ABC 三边的中线 AD ， BE ， CF 交于点 G . 若 S△ ABC ＝12，则图中阴影部分的面积是 6 . 题型二：命题与证明 例4 下列命题的逆命题是真命题的是( D ) A.对顶角相等 B.全等三角形的面积相等 C.如果a>0，b>0，那么ab>0 D.两直线平行，内错角相等 例5 对假命题“任何-一个角的补角都不小于这个角”举反例,正确的反例是( C ) A.∠α=60°,∠α的补角∠β=120°,∠β>∠α B.∠α=90°,∠α的补角∠β=90°,∠β=∠α C.∠α= 100°,∠α的补角∠β=80°,∠β<∠α D.两个角互为邻补角 题型三：全等三角形的性质与判定 例6 如图，在四边形 ABCD 中，∠ A ＝90°， AD ＝3， BC ＝5， BD 平分∠ ABC ，则△ BCD 的面积为（　B　） A.8 B.7.5 C.15 D.无法确定 例7 如图， AB ＝ AC ， CE 与 BD 交于点 M ， BM ＝ CM ，点D ， E 分别在 AC ， AB 上.下列结论中：①∠ B ＝∠ C ；② AD ＝ AE ；③ BE ＝ CD . 正确的有 ①②③ .（填序号） 例8 如图，在Rt△ ABC 中， AB ＝ CB ，∠ ABC ＝90°， D 为 AB 延长线上一点，点 E 在 BC 边上，且 BE ＝ BD ，连接 AE ， DE ， DC . （1）求证：△ ABE ≌△ CBD ； （2）若∠ CAE ＝30°，求∠ EDC 的度数. （1）证明：∵∠ABC ＝90°， ∴∠CBD ＝180°－90°＝90°. 在△ABE 和△CBD 中， ∴△ABE ≌△CBD （SAS）. （2）解：∵△ABE ≌△CBD ， ∴∠BCD ＝∠BAE . ∵ AB＝CB ，∠ABC ＝90°， BE＝BD ， ∴∠BAC＝∠BED ＝45°. ∵∠CAE＝30°， ∴∠BAE＝45°－30°＝15°. ∴∠EDC＝∠BED －∠BCD ＝45°－15°＝30°. 题型四：等腰（边）三角形 例9 直线上依次有A,B,C,D四个点,AD =7,AB =2,若AB,BC,CD可构成以BC为腰的等腰三角形,则BC的长为 2或2.5 . 例10 如图，等边三角形纸片ABC的边长为6,E,F是边BC上的三 等分点.分别过点E,F沿着平行于BA,CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是 6 . 例11 如图，在△ ABC 中， AB＝ AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且BE＝CF ，AD＋EC＝AB . （1）求证：△ DEF 是等腰三角形； （2）当∠ A ＝40°时，求∠ DEF 的度数. （1）证明：∵ AB ＝ AC ， ∴∠B ＝∠C . ∵ AB ＝ AD ＋ BD ，AB ＝ AD ＋ EC ， ∴ DB ＝ EC . 在△DBE 和△ECF 中， ∴△DBE ≌△ECF （SAS）.∴ DE ＝ EF . ∴△ DEF 是等腰三角形. （2）解：∵∠A ＝40°， ∴∠B ＝∠C ＝ ×（180°－40°）＝70°. ∴∠BDE ＋∠DEB ＝110°. 又∵△ DBE ≌△ ECF ， ∴∠BDE ＝∠FEC . ∴∠FEC ＋∠DEB ＝110°， ∴∠DEF ＝70°. 题型五：线段的垂直平分线 例12 如图,AD⊥BC,BD=CD,点C在AE的垂直平分线上，若AB=5,BD=3,则BE的长为 11 . 例13 如图,在等腰三角形ABC中,AB =AC, DE垂直平分AB,分别交AB,AC于点E,D. (1)若∠ADE =40° ,求∠DBC的度数; (2)若△ABC与△DBC的周长分别是40 cm,24 cm, 求AB的长. 解:(1)∵DE垂直平分AB, ∴∠AED=∠BED=90°,DA=DB， ∴∠ADE =40°， ∴∠A=∠ABD =50°， 又∵AB=AC, ∴∠ABC= ( 180°-50°) ÷2 = 65°， ∴∠DBC=∠ABC-∠ABD =65°-50°=15°. (2)∵△ABC的周长表示为AB+BC+CA， △DBC的周长表示为BD+ BC + CD, ∴(AB+BC+CA)-(BD+BC+CD) =AB+BC+CA-BD-BC-CD =AB+CA-BD-CD =AB +CA -DA -CD =AB， ∵△ABC与△DBC的周长分别为40 cm ,24 cm, ∴AB =16 cm. 题型六：尺规作图 例14 过直线 l 外一点 P 作直线 l 的平行线，下列尺规作图中错误的是（　D　） 例15 如图，在△ ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于 AB 的长为半径作圆弧，两弧相交于点 M 和点N，作直线MN交CB于点D，连接AD，若 AC＝8，BC＝15，△ACD的周长为 23 . 拓展提升 例16 如图，在等边△ ABC 中， M 为 AB 边上任意一点，延长 BC 至点 N ，使 CN ＝ AM ，连接 MN 交 AC 于点 P ， MH ⊥ AC 于点 H . （1）求证： MP ＝ NP ； （2）若 AB ＝ a ，求线段 PH 的长（结果用含 a 的代数式表示）. （1）证明：过点 M 作 MQ ∥ BC ，交 AC 于点 Q . 在等边△ ABC 中，∠A ＝∠B ＝∠ACB ＝60°， ∵ MQ ∥ BC ， ∴∠AMQ＝∠B＝60°，∠AQM＝∠ACB＝60°， ∠QMP ＝∠N ， ∴△AMQ 是等边三角形，∴ AM ＝ QM . ∵ AM ＝ CN ，∴ QM ＝ CN . 在△QMP 和△CNP 中， ∴△QMP ≌△CNP （AAS）， ∴ MP ＝ NP . （2）解：∵△AMQ 是等边三角形，且MH⊥AC ， ∴ AH ＝ HQ . ∵△QMP ≌△CNP ， ∴ QP ＝ CP ， ∴ PH＝HQ＋QP＝AH＋PC ＝AC .
∵ AB＝a ， AB＝AC ， ∴ PH＝ a . 学生独立解答。 通过典型例题，帮助学生回忆三角形的知识点，及时发现问题，巩固本章知识点，灵活运用本章知识解决问题，锻炼学生的解题能力。
作业布置 完成本单元测试卷
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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