资源简介

一、教学目标
1.梳理三角形按边分类的完整体系，厘清等腰三角形与等边三角形的从属关系，通过动手操作推理得到三角形两边之和大于第三边的三边关系性质，理解该性质的推导逻辑．
2.能规范运用三角形三边关系，完成三角形三边取值判断、边长取值范围求解、等腰三角形边长分类讨论等相关计算，解决生活中与三角形边长相关的简单实际问题．
3.认识三角形稳定性的特点，对比理解四边形的不稳定性，能列举、解释三角形稳定性在生产生活里的应用实例，提升运用几何知识解释生活现象的能力．
二、教学重点及难点
重点：三角形三边关系的探索与应用；三角形稳定性的生活应用．
难点：灵活利用三边关系对等腰三角形边长进行分类讨论、排除不符合三边关系的情况；准确结合实际场景运用三边关系和三角形稳定性解决综合问题．
三、教学过程
【新知导入】
1. 复习回顾，温故知新
教师提问：上节课我们学习了三角形的有关概念，谁能说说什么叫三角形？三角形由哪些元素构成？
学生回答：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形．三角形有三条边、三个顶点、三个内角．
2. 创设情境，引出问题
教师出示情境问题：如图，从点B出发，沿三角形的边到点C，有几条线路可以选择？各条线路的长有什么关系？哪条路更近？
学生观察图形，思考后回答：有两条线路．路线1：从B到A，再从A到C，长度是BA+AC；路线2：从B直接到C，长度是BC．路线2更短．
教师追问：为什么路线2更短？你的依据是什么？
学生回答：根据“两点之间，线段最短”．
教师引导：由此我们可以得到BA+AC>BC．那么三角形三边之间还有哪些关系呢？今天我们就来研究三角形的边．
设计意图：通过复习旧知，找准学生的学习起点，实现新旧知识的自然衔接；通过创设情境问题，激发学生的学习兴趣和求知欲，让学生在解决实际问题的过程中自然地进入新课的学习．同时，从学生已有的知识经验出发，体现了数学知识的内在联系，符合学生的认知规律．
【探究新知】
探究：三角形三边关系.
1. 三角形的概念
教师活动：引导学生从不同角度思考，推导三角形三边关系．
提出问题：如果换个角度，从A到B、从A到C出发，利用“两点之间线段最短”，又能得到哪些结论呢？
【学生活动】独立思考，尝试推导．
教师引导学生总结：
（1）从A到B，直路AB比A→C→B近，得：AC+BC>AB；
（2）从A到C，直路AC比A→B→C近，得：AB+BC>AC；
（3）从B到C，直路BC比B→A→C近，得：AB+AC>BC．
提出问题：观察这三个不等式，你能用一句话概括出三角形三边的关系吗？
学生思考后回答．
教师总结并板书：
三角形三边关系定理：三角形任意两边的和大于第三边．
强调关键词：“任意”——是指所有的两边之和都大于第三边，缺一不可．
设计意图：通过引导学生从不同角度推导，培养学生的发散思维和推理能力；让学生自己归纳总结定理，培养学生的归纳概括能力和语言表达能力；强调“任意”二字，帮助学生准确理解定理，避免理解上的偏差，为后续应用打下坚实基础．
2. 推导两边之差与第三边的关系
教师提问：我们知道了三角形两边的和大于第三边，那么两边的差与第三边又有什么关系呢？你能利用不等式的性质，从上面的结论推导出两边之差与第三边的关系吗？
【学生活动】独立思考，尝试推导，小组交流．
教师引导推导：
由AC+BC>AB，移项可得BC>AB AC；
由AB+BC>AC，移项可得BC>AC AB；
综合起来就是：BC>|AB AC|．
教师总结并板书：
推论：三角形两边的差小于第三边．
综合定理和推论，我们可以得到第三边的取值范围：
两边之差 < 第三边 < 两边之和．
设计意图：通过引导学生利用不等式的性质进行推导，培养学生的逻辑推理能力和知识迁移能力；让学生经历从“和”到“差”的推导过程，体会数学知识的内在联系和转化思想；得出第三边的取值范围，完善三角形三边关系的知识体系，为后续应用提供更全面的理论依据．
3. 判断三条线段能否组成三角形
教师提问：反过来，对于三条线段，当它们满足什么条件时，这三条线段能组成三角形？
学生回答：任意两条线段的和大于第三条线段．
教师追问：是不是必须验证三组两边之和都大于第三边呢？有没有更简便的方法？
学生思考讨论．
教师引导总结判断技巧：
只需锁定三条线段中的最长边，计算另外两条较短线段的长度之和．如果两条较短线段的和大于最长边，那么这三条线段就能组成三角形；否则就不能．
原理：因为最长边是最大的，它与另外两边的和肯定大于第三边（因为最长边本身就比第三边大），所以只需要验证两条较短边的和是否大于最长边即可．
即时练习：判断下列长度的三条线段能否组成三角形？
(1)3cm,4cm,8cm；(2)5cm,6cm,11cm；(3)5cm,6cm,10cm
学生快速判断，说明理由．
设计意图：通过设问引导学生思考更简便的判断方法，培养学生的优化意识和思维的灵活性；总结判断技巧，让学生掌握快速判断的方法，提高解题效率；通过即时练习，及时巩固所学知识，让学生在应用中加深理解．
【典型例题】
例题：用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形．
（1）如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？
（2）能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗？为什么？
第（1）小题分析
教师引导：这是一个等腰三角形的问题，我们可以设未知数，利用周长列方程求解．
【学生活动】小组讨论思考，尝试解答．
教师板书解答过程：
解：（1）设底边长为x cm，则腰长为2x cm，根据题意得：
x + 2x + 2x = 18，
解得 x = 3.6，
所以，三角形三边的长分别为3.6cm，7.2cm，7.2cm．
验证：3.6 + 7.2 > 7.2，满足三角形三边关系．
第（2）小题分析
教师提问：题目说“有一边的长是4cm”，这里的“一边”是指哪一边？是腰还是底边？
学生回答：可能是腰，也可能是底边，需要分情况讨论．
教师引导学生分类讨论：
情况一：如果4cm长的边为底边，设腰长为x cm．
情况二：如果4cm长的边为腰，设底边长为y cm．
【学生活动】分情况计算，然后验证是否满足三角形三边关系．
教师板书解答过程：
（2）因为长为4cm的边可能是腰，也可能是底边，所以需要分情况讨论．
①如果4cm长的边为底边，设腰长为x cm，则
4 + 2x = 18，
解得 x = 7，
此时三边长为7cm，7cm，4cm．因为4 + 7 > 7，所以能组成三角形．
②如果4cm长的边为腰，设底边长为y cm，则
2×4 + y = 18
解得 y = 10
此时三边长为4cm，4cm，10cm．因为4 + 4 < 10，不符合“三角形两边的和大于第三边”，所以不能围成腰长是4cm的等腰三角形．
由以上讨论可知，可以围成底边长是4cm的等腰三角形．
方法总结：解决等腰三角形边长问题时，一要注意分类讨论（已知边可能是腰，也可能是底边）；二要注意验证是否满足三角形三边关系．
设计意图：例题紧扣本节课的重点知识，具有典型性和代表性．第（1）题是基础题，帮助学生掌握利用方程思想解决等腰三角形边长问题；第（2）题是提高题，渗透分类讨论思想，培养学生思维的严密性．通过教师引导分析、规范板书解答过程，帮助学生掌握解题思路和方法，培养学生良好的解题习惯．最后的方法总结，提炼解题要点，帮助学生形成解题策略．
【探究新知】
探究：三角形的稳定性.
教师活动：出示屋顶钢架结构图片，提出问题：在日常生活中，三角形的形状随处可见，工程建筑中经常采用三角形的结构，你知道其中的道理吗？
动手实践：让学生用三根木条钉成一个三角形木架，然后扭动它，观察它的形状会不会改变．再用四根木条钉成一个四边形木架，扭动它，观察形状会不会改变．
学生动手操作，观察比较．
教师总结并板书：三角形具有稳定性．
解释：三角形的三条边长度确定后，三角形的形状和大小就完全确定了，不会改变，这就是三角形的稳定性．而四边形不具有稳定性，容易变形．
举例说明三角形稳定性的应用：自行车的三角形车架、三角形房架、起重机的三角形结构、电线杆的固定等．
让学生再举一些生活中应用三角形稳定性的例子．
设计意图：通过动手实践让学生亲身体验三角形的稳定性，符合学生从直观到抽象的认知规律，印象更深刻；通过与四边形的对比，突出三角形稳定性的特点；通过举例说明和让学生举例，让学生感受数学与生活的密切联系，增强学生的数学应用意识，激发学习兴趣．
四、当堂检测
通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知．
五、课堂小结
今天我们学习了哪些知识？
1.三角形三边关系：
（1）三角形任意两边的和大于第三边；（2）三角形任意两边的差小于第三边．
2. 判断三条线段能否组成三角形的简便方法：看两条较短线段的和是否大于最长边．
3. 三角形具有稳定性，在生活中有广泛应用．

展开更多......

收起↑