资源简介

一、教学目标
1.结合三角形内角和定理推导直角三角形两锐角互余的性质，理解该性质的逆命题，掌握直角三角形判定方法的推理逻辑．
2.能规范运用直角三角形角的数量关系完成角度计算，依托两角互余关系实现角的大小比较，熟练处理相关基础几何计算题．
3.掌握直角三角形规范符号表示方法，结合直角三角形角的性质综合分析图形，解决综合性几何推理问题，提升几何逻辑推导能力．
二、教学重点及难点
重点：直角三角形两锐角互余的性质与判定方法；直角三角形的符号书写；利用直角三角形角的关系进行角度计算．
难点：区分直角三角形性质与判定的因果逻辑；灵活结合互余关系、三角形内角和定理解决多步几何综合推理题．
三、教学过程
【新知导入】
1. 复习回顾
教师提问：
（1）三角形内角和定理的内容是什么？
（2）你是怎么证明三角形内角和定理的？
学生回答：三角形的内角和等于180°；可通过过顶点作底边平行线，利用平行线内错角相等和平角定义完成推理证明．
2. 设问引入
教师出示直角三角形图形，提问：在直角三角形ABC中，∠C = 90°，那么∠A和∠B之间有什么关系呢？
【学生活动】观察图形，思考问题，尝试推导．
教师引导：利用三角形内角和定理，我们能得出什么结论？
揭示课题：今天我们就来研究直角三角形的内角性质和判定方法．
设计意图：通过复习三角形内角和定理，找准学习起点，为新课学习做好知识铺垫．通过设问引导学生思考特殊三角形（直角三角形）的内角关系，自然导入新课，激发学生的探究欲望．
【探究新知】
探究：直角三角形的性质.
教师引导学生推导：
如图，在直角三角形ABC中，∠C = 90°，
由三角形的内角和定理，得∠A + ∠B + ∠C = 180°，
即∠A + ∠B + 90°= 180°，
所以∠A + ∠B = 90°．
教师总结并板书直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余．
符号语言：
∵ 在Rt△ABC中，∠C = 90°
∴ ∠A +∠B = 90°（直角三角形的两个锐角互余）
介绍直角三角形的表示方法：
直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC可以写成Rt△ABC．
强调：“Rt”是英文Right（直角）的缩写，后面要跟三角形符号“△”，表示直角三角形．
即时练习：
（1）在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠A = 30°，则∠B = ______．
（2）在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠A = 45°，则∠B = ______，这是______三角形．
学生口答，教师点评．
设计意图：从三角形内角和定理出发，通过特殊化推导直角三角形的性质，让学生经历知识的形成过程，理解性质的来龙去脉．规范的符号语言表达，为学生起到示范作用，培养学生规范的几何书写习惯．
【典型例题】
例 3 如图， 相交于点 ．比较 与 的大小．
解：在 Rt 中，
在 Rt 中，
设计意图：本题综合直角三角形两锐角互余、对顶角相等两个核心知识点，引导学生借助“同角的余角相等”完成角度等量推理；通过两角大小比较的题型，锻炼学生几何逻辑推导能力，规范几何说理步骤；同时加深学生对直角三角形角的性质的理解．
【探究新知】
探究：直角三角形的判定.
教师设问：我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余．反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？试说明理由．
【学生活动】思考讨论，尝试证明．
教师引导学生写出已知、求证，然后进行证明：
已知：在△ABC中，∠A +∠B = 90°．
求证：△ABC是直角三角形．
证明：在△ABC中，
因为∠A +∠B +∠C = 180°（三角形内角和定理），
又∠A +∠B = 90°（已知），
所以∠C = 90°（等式的性质）．
即△ABC是直角三角形（直角三角形的定义）．
教师总结并板书：
直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形．
符号语言：
∵ 在△ABC中，∠A + ∠B = 90°，
∴ △ABC是直角三角形（有两个角互余的三角形是直角三角形）．
对比辨析：直角三角形的性质与判定的区别与联系．
条件 结论
性质 三角形是直角三角形 两个锐角互余
判定 三角形有两个角互余 三角形是直角三角形
总结：性质与判定是互逆的，性质是由“形”到“数”（由直角三角形得到角的关系），判定是由“数”到“形”（由角的关系判断直角三角形）．
设计意图：通过逆向设问，引导学生思考判定方法，培养学生的逆向思维能力．让学生经历“猜想—证明”的过程，培养学生的逻辑推理能力．通过表格对比性质与判定的区别与联系，帮助学生清晰地理解二者的关系，避免概念混淆．
教师拓展：直角三角形的判定方法
教师引导学生总结直角三角形的判定方法：
（1）定义法：证明三角形中有一个内角为90°（或证明三角形的两条边互相垂直）；
（2）两角互余法：证明一个三角形中有两个内角互余；
（3）等量代换法：证明三角形中有一个内角与已知的直角相等．
强调：本节课重点学习第二种判定方法——有两个角互余的三角形是直角三角形，这是判定直角三角形的常用方法．
设计意图：对直角三角形的判定方法进行系统总结，帮助学生构建完整的知识体系．
四、当堂检测
通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知．
五、课堂小结
今天我们学习了哪些知识？
1.直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余．
2.直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形．
3.直角三角形的表示：Rt△ABC．
4.性质与判定的区别：性质是由直角三角形得角互余；判定是由两角互余得直角三角形．

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