资源简介

一、教学目标
1.经历三角形外角定义的归纳、外角相关推论的推导证明过程，明晰三角形外角的概念特征，掌握外角推论的严谨证明方法．
2.能规范运用三角形外角的性质开展角度计算、完成几何推理论证，形成条理清晰的几何书写习惯．
3.能借助三角形外角的结论解决三角形多外角求和等拓展变式问题，深化几何转化思想，提升复杂图形的分析与综合解题能力．
二、教学重点及难点
重点：三角形外角的定义辨析、外角性质推论的推导证明，运用外角性质进行角度计算与常规几何推理．
难点：灵活运用三角形外角性质处理复杂图形的角度关系，借助外角结论解决多外角求和这类拓展综合问题，在推理中准确搭建内角与外角的逻辑联系．
三、教学过程
【新知导入】
1. 复习回顾
教师提问：
（1）在△ABC中，三个内角分别是什么？它们有什么关系？
（2）什么是邻补角？邻补角有什么性质？
学生回答：内角分别是∠A、∠B和∠C，三角形内角和为180°；
两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线，它们的和为180°．
2. 创设情境，引入新课
教师演示：把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD．
提出问题：这个角还是三角形的内角吗？它与三角形的内角有什么关系？
学生观察思考，尝试回答．
教师揭示课题：这个角就是我们今天要学习的三角形的外角．
设计意图：通过复习三角形内角和邻补角的知识，找准学习起点，为新课学习做好知识铺垫．通过延长三角形的一边直观演示外角的形成过程，让学生直观感受外角的特征，自然导入新课，激发学生的探究欲望．
【探究新知】
探究：三角形外角的概念.
教师总结并板书：
三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角．
如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，∠ACD就是△ABC的一个外角．
思考讨论：
（1）一个三角形有几个外角？请在三角形的每个顶点处画一画．
（2）同一个顶点处的两个外角有什么关系？
【学生活动】动手画图，观察思考，小组交流．
教师引导总结：
（1）三角形的每一个顶点处都有两个外角，这两个外角相等，是一对对顶角．
（2）一个三角形共有六个外角．
外角与相邻内角的关系：
三角形的外角与和它相邻的内角互为邻补角，即∠ACD + ∠ACB = 180°．
拓展：当外角与相邻内角相等时，三角形是直角三角形；当外角小于与它相邻的内角时，三角形是钝角三角形．
设计意图：从直观演示到概念总结，符合学生从具体到抽象的认知规律．通过思考讨论和动手画图，让学生主动探究外角的数量和关系，培养学生的观察能力和探究能力．
【探究新知】
探究：三角形外角的性质.
探究活动：如图，在△ABC中，∠A = 70°，∠B = 60°，∠ACD是△ABC的一个外角．
问题：能由∠A，∠B求出∠ACD吗？如果能，∠ACD与∠A，∠B有什么关系？
【学生活动】独立计算，得出结论．
学生展示计算过程：
∠ACD = 180° ∠ACB
= (∠A + ∠B + ∠ACB) ∠ACB
= ∠A + ∠B
= 60° + 70°
= 130°．
教师提出问题：任意一个三角形的一个外角与和它不相邻的两个内角是否都有这种关系？请你再画一个三角形验证一下．
学生活动：画图验证，猜想结论．
推理证明：
已知：如图，∠ACD是△ABC的一个外角．
求证：∠ACD = ∠A + ∠B．
证明：∵由三角形的内角和定理可得，∠A + ∠B + ∠ACB = 180°，
又∵∠ACB + ∠ACD = 180°（邻补角定义），
∴∠ACD = 180° ∠ACB
= 180° (180° ∠A ∠B)
= ∠A + ∠B．
教师总结并板书：
性质1（推论）：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
符号语言：∵ ∠ACD是△ABC的外角，
∴ ∠ACD = ∠A + ∠B．
介绍推论的概念：推论是由定理直接推出的结论．和定理一样，推论可以作为进一步推理的依据．
思考：由这个性质，你能得出外角与每个不相邻内角的大小关系吗？
学生回答，教师总结：
性质2：三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角．
符号语言：∵ ∠ACD是△ABC的外角
∴ ∠ACD > ∠A，∠ACD > ∠B
强调：性质中的关键词是"不相邻"，外角只和不相邻的两个内角有和的关系，和相邻的内角是邻补角关系．
设计意图：通过具体数值计算引入，让学生直观感受外角与内角的数量关系，再通过画图验证猜想，最后进行严格证明，遵循了“特殊—一般—证明”的探究规律，培养学生的合情推理和演绎推理能力．强调“不相邻”这个关键词，帮助学生准确理解性质，避免应用时出错．
【典型例题】
例 4 如图，是 的三个外角，它们的和是多少？
解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得
所以
由 ，得
教师提问：你还能给出其他解法吗？
【学生活动】学生独立思考后小组交流，利用邻补角互补的思路列出三个等式，通过整体求和再减去三角形内角和的方式完成推导，上台板演解题过程并讲解思路．
答案预设：
解：如图，①，
又知 ，
①＋②＋③ 得
所以 ．
教师拓展：三角形外角和定理
三角形的外角和的定义：在三角形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫作三角形的外角和．
三角形的外角和定理：三角形的外角和为 360°．
如图，∠1+∠2+∠3 = 360°．
设计意图：外角和定理作为拓展内容，丰富学生的知识体系，培养学生的整体思想和推理能力．引导学生利用邻补角和内角和定理推导外角和，让学生经历知识的形成过程，加深理解．
四、当堂检测
通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知．
五、课堂小结
今天我们学习了哪些知识？
1.三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫作三角形的外角，能准确区分三角形的内角与外角．
2.三角形外角的性质推论及证明：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和、三角形的外角大于任意一个与它不相邻的内角，可借助三角形内角和定理完成严谨证明．
3.三角形外角的运算应用：能利用外角性质进行角度计算、完成规范的几何推理论证，理清复杂图形中内角与外角的数量关系．

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