资源简介

一、教学目标
1.经历观察、操作、尺规作图的探究过程，掌握叠合法、度量法比较线段长短的方法，熟练使用尺规作出线段的和与差．
2.理解两点之间线段最短的基本事实，掌握两点间距离、线段中点的定义，能运用中点相关结论进行线段推理．
3.规范尺规作图的书写步骤，结合线段和差、中点知识完成线段长度的计算，提升几何作图与线段运算的综合能力．
二、教学重点及难点
重点：比较线段长短的方法，尺规作线段的和与差；线段中点概念，线段和差、中点相关计算．
难点：准确规范完成尺规作图并书写作图步骤，灵活结合中点、两点之间线段最短解决线段综合计算问题．
三、教学过程
【新知导入】
教师引导回顾：直线可以向两方无限延伸，射线可以向一方无限延伸，而线段不能延伸，但线段有长度．
教师提问：正因为线段有长度，我们就可以比较线段的长短、进行一些运算．要比较和运算，常常需要先“画一条线段等于已知线段”，那该怎么画呢？
引出课题：这节课我们就来研究线段的比较与运算．
设计意图：从直线、射线、线段的延伸性对比切入，突出线段“有长度、可度量”的特征，自然引出“比较长短、进行运算、画等长线段”的需求，明确本课研究方向．
【探究新知】
探究：尺规作图和线段的比较.
1. 画一条线段等于已知线段
方法一（度量法）：先用刻度尺量出线段 AB 的长度，再画一条等于这个长度的线段 CD，线段 CD 即为所求作的线段．
方法二（尺规法）：先用直尺画直线 l，再用圆规在直线 l 上截取 CD = AB．
教师提问：想一想，两种方法中，刻度尺、直尺和圆规分别起什么作用？
【学生活动】学生小组讨论后回答：
刻度尺用来度量线段的长度，直尺用来作（画）线段，圆规用来截取、构造等长的线段．
教师讲解尺规作图的概念：在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图．
上图尺规法就是“作一条线段等于已知线段”的尺规作图．
设计意图：讲解两种作等长线段的方法，通过小组讨论区分作图工具作用，引入尺规作图概念，借助图示直观示范作图步骤，夯实几何作图基础．
2. 比较线段长短的两种方法
教师：怎样比较两条线段的长短？可以从“比身高”受到启发——（1）用卷尺分别度量出两个同学的身高，将所得的数值进行比较．
（2）让两个同学站在同一平地上，脚底平齐，观看两人的头顶，直接比出高矮．
比较线段长短的方法——度量法
先用刻度尺分别量出两条线段的长度，再根据测量结果比较．例如测得 AB = 2.4 cm，CD = 2.8cm，所以 AB < CD．
比较线段长短的方法——叠合法
把两条线段中的一条线段移到另一条线段上，使它们有一个端点重合，然后根据另一个端点的位置进行比较．
在下图中，点 A 与点 C 重合，点 B 落在点 C，D 之间，这时我们说线段 AB 小于线段 CD，记作 AB教师提问：想一想，什么情况下线段 AB 大于线段 CD，线段 AB 等于线段 CD 呢？
【学生活动】
若点 A 与点 C 重合：
点 B 落在 C、D 之间，则 AB < CD；
点 B 落在 CD 的延长线上，则 AB > CD；
点 B 与点 D 重合，则 AB = CD．
设计意图：以比身高生活实例类比线段比较，讲解度量法、叠合法，引导学生自主归纳叠合法三种长短判定情况，借助图形直观理解线段大小关系．
【探究新知】
探究：两点之间，线段最短与两点间的距离.
教师提问：如图，从 A 地到 B 地有四条道路，除它们外能否再修一条从 A 地到 B 地的最短道路？如果能，请你联系以前所学的知识，在图上画出最短道路．
【学生活动】学生独立思考后动手作图，连接 A、B 两点画出线段作为最短路径；小组内交流判断依据，通过想象把不同曲线、折线道路展直对比长度，验证两点之间，线段最短的规律．
教师：连接线段 AB，把这些道路看成各种形状的软线，将它们展直，比较它们的长度．
容易发现线段 AB 最短．
教师讲解基本事实：
可以得到一个关于线段的基本事实：两点的所有连线中，线段最短．
简单说成：两点之间，线段最短．
定义：连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离．（两点间的距离是长度概念，指线段的长度，是一个数值．）
设计意图：创设生活化出行选路情境激发探究兴趣，让学生通过动手画图、合作推理自主得出基本事实，深化对知识的理解．
【探究新知】
探究：线段的和差运算与中点.
1. 线段的和、差
教师：下面，我们研究线段的运算．
在直线上作线段 ，再在 的延长线上作线段 （如左图），线段 就是 与 的和，记作 ．
设线段 ，如果在线段 上作线段 （如右图），那么线段 就是 与 的差，记作 ．
【典型例题】
例 如图，已知线段 a，b，作一条线段，使它等于 2a b．
解：如图，在直线上作线段 AB=a，再在线段 AB 的延长线上作线段 BC=a，则线段 AC=2a．在线段 AC 上作线段 CD=b，则线段 AD=2a b．
设计意图：按“几何图形—立体图形—分类—平面图形—两类联系”的逻辑逐层展开，借助模型和实物帮助学生建立几何直观；通过对结构要素的辨析和分类活动，突破“概念混淆”这一难点，并渗透分类思想，为揭示立体与平面图形的联系做好铺垫．
教师讲解线段中点的概念：如图，点 M 把线段 AB 分成相等的两条线段 AM 与 MB，点 M 叫作线段 AB 的中点．
数量关系：AM = MB = AB（或 AB = 2AM = 2MB）．
找中点方法：在透明纸上画一条线段，折叠纸片使线段两端点重合，折痕与线段的交点就是中点．
线段的 n 等分点：把线段分成相等的三条线段的点，叫作线段的三等分点；类似地还有四等分点……n 等分点．由此可进行线段的倍、分运算．
三等分点：，
四等分点：．
设计意图：从和差运算到“2a b”的尺规作图例题，再到中点与 n 等分点，层层递进；结合图示与数量关系式，突破尺规作图步骤书写与中点计算这两个难点，为线段综合计算打基础．
四、当堂检测
通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知．
五、课堂小结
今天我们学习了哪些知识？
1.尺规作图：在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图．
2.比较线段长短的方法——度量法和叠合法．
3.线段的基本事实：两点之间，线段最短．
连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离．
4.线段中点的概念：点 M 把线段 AB 分成相等的两条线段 AM 与 MB，点 M 叫作线段 AB 的中点．
线段的 n 等分点：把线段分成相等的三条线段的点，叫作线段的三等分点；类似地还有四等分点……n 等分点．

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