资源简介

4.5 垂线（2.垂线段与点到直线的距离）
一、教学目标
理解垂线段、斜线段的概念，掌握垂线的基本事实.
掌握垂线段最短的性质，理解点到直线的距离的意义.
二、教学重点及难点
重点：垂线段、斜线段的概念；垂线的基本事实.
难点：垂线段最短的性质；点到直线的距离的意义.
三、教学过程
【复习引入】
提问：
什么是垂线？如何过一点画已知直线的垂线？
两条直线互相垂直如何用符号表示？
师生活动：学生举手回答，教师点评并补充，回顾上节课垂线的定义与画法.
设计意图：通过复习上节课核心知识，唤醒学生已有认知，为垂线段、点到直线的距离等新知识的学习做好铺垫，实现知识的自然衔接.
【探究新知】
探究 1：垂线的基本事实
师生活动：教师引导学生在草稿纸上分别完成两个操作：①过直线上一点画已知直线的垂线；②过直线外一点画已知直线的垂线.学生独立完成后，小组内交流画法和结果，教师巡视指导.
引导学生共同总结：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
设计意图：通过学生动手操作、合作交流，让学生亲身经历垂线基本事实的探究过程，加深对结论的理解和记忆.
探究 2：垂线段与斜线段的概念
如图，点 P 在直线 l 外，连接 PA、PB、PO、PC、PD，其中 PO⊥l 于点 O，讲解：
斜线段：直线外一点与直线上各点连接的不垂直于直线的线段，如 PA、PB、PC、PD.
垂线段：直线外一点与直线上垂足之间的线段，如 PO.
师生活动：学生结合图形，在自己画的垂线上标注出垂线段和斜线段，同桌互相检查.
设计意图：结合直观图形讲解概念，符合七年级学生的认知特点，帮助学生清晰区分垂线段与斜线段.
探究 3：垂线段最短的性质
师生活动：让学生用刻度尺分别测量自己所画的垂线段和所有斜线段的长度，记录数据并比较大小.小组内分享测量结果，讨论发现的规律.
教师引导学生总结：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.通常简单说成：垂线段最短.
设计意图：通过实际测量、数据对比，让学生自主发现垂线段最短的性质，培养学生的动手操作能力和归纳总结能力.
探究 4：点到直线的距离
教师讲解：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离.
重点强调：点到直线的距离是一个长度（数量），不是垂线段本身（垂线段是图形）.
师生活动：教师举例说明，如 “点 P 到直线 l 的距离是垂线段 PO 的长度 1.2cm”，让学生辨析 “垂线段” 和 “点到直线的距离” 的区别.
设计意图：通过对比辨析，突破本节课的难点，帮助学生准确理解点到直线的距离的意义.
【典型例题】
例 1 如图，要把河中的水引到农田 P 处，如何挖渠能使渠道最短？请画出示意图，并说明理由.
师生活动：学生独立思考并画图，教师巡视，挑选学生展示自己的画法，师生共同点评.
答案：过点 P 作河岸的垂线，垂足为 O，沿 PO 挖渠最短.理由：垂线段最短.
设计意图：将数学知识应用于实际生活问题，让学生体会数学的实用性，巩固垂线段最短的性质.
例 2 如图，在 Rt△ABC 中，∠B=90°，BD⊥AC 于点 D.若 AB=3，BC=4，AC=5，求点 B 到直线 AC 的距离.
师生活动：学生先独立尝试，小组内交流解题思路.教师引导学生利用三角形面积相等的方法求解：
代入数值计算得.
强调：求点到直线的距离，常转化为求垂线段的长度，面积法是常用的方法.
设计意图：通过典型例题，让学生掌握利用面积法求点到直线距离的方法，提升学生解决几何问题的能力.
【当堂检测】
1.下列说法正确的是（ ）
A. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C. 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
D. 点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线段
2.如图，点B在点A北偏东方向，点C在点B北偏西方向，，则点C到直线AB的距离为__________m.
3.如图，小红在进行立定跳远训练时，从点A起跳，落脚点为点B.若从起跳点到落脚点之间的距离是，则小红这次跳远的成绩可能是( )
A. B. C. D.
师生活动：学生独立完成，教师公布答案，针对错误率较高的题目进行讲解.
设计意图：通过当堂检测，及时反馈学生的学习效果，查漏补缺，巩固本节课所学知识.
四、课堂小结
今天我们学习了哪些知识？
垂线段、斜线段的概念.
垂线的基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
垂线段的性质：垂线段最短.
点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度.
师生活动：教师引导学生回顾本节课的核心知识点，学生自由发言，教师补充完善.
设计意图：通过课堂小结，帮助学生梳理知识体系，加深对本节课内容的整体理解和记忆.

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