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第十九章 数据的分析 华东师大版(2024)
19.1.2 加权平均数
一、教学目标
1.体会加权平均数与普通平均数的区别与联系，理解“权”的意义，感受数据在不同权重下对结果的影响，体会加权平均数在实际情境中的统计价值.
2.认识加权平均数，理解并运用加权平均数的计算公式，能结合比例、频数、比等不同形式的权重，解决含不同权重的实际数据计算问题.
3.经历从实际问题中抽象出加权平均数模型的过程，提升数据分析与运算能力，能运用加权平均数解决生活中的评价、统计类问题.
二、教学重点及难点
重点：加权平均数的概念；“权”的意义与常见形式；加权平均数的计算公式.
难点：理解权重对结果的影响；从实际情境中准确识别权重并计算加权平均数；区分普通平均数与加权平均数的适用场景.
三、教学过程
【知识回顾】
教师提问：上一节课我们学习了算术平均数，谁能说一说算术平均数的计算公式是什么？
在平时成绩、期中成绩、期末成绩综合评定总评成绩时，能不能把三项成绩直接相加再除以 3？为什么？
【师生活动】学生回忆并回答算术平均数计算公式．
一般地，对于 个数据 ，我们把叫做这 个数据的平均数，也叫做算术平均数．
教师引导学生思考：期中、期末成绩的重要程度比平时成绩更高，不能同等看待．
教师顺势小结：生活中很多问题，各个数据重要程度不一样，不能再用普通算术平均数，由此引出本节课课题——加权平均数．
【探究新知】
探究：加权平均数的概念.
教师：在日常生活中，我们经常会与平均数打交道，但发现在有些情况下以前计算平均数的方法并不适用．请看下面的例子：
（1）老师在计算学生每学期的总评成绩时，并不是简单地将一个学生的平时成绩与考试成绩相加除以 2，而是突出考试成绩的重要性，比如，按照“平时成绩占 40%，考试成绩占 60%”的比例计算 （如图）．这样，如果一个学生某学期的平时成绩为 70 分，考试成绩为 90 分，那么他该学期的总评成绩就应该为 70×40%+90×60%=82（分）．
一般来说，由于各个指标在总结果中占有不同的重要性，因而会被赋予不同的权重．
上例中的 40% 和 60% 就是平时成绩和考试成绩在学期总评成绩中的权重，最后计算得到的学期总评成绩 82 分就是上述两个成绩的加权平均数．
教师讲解加权平均数的概念：
我们把各指标在总结果中所占重要性的比重称为每个指标获得的权重，简称“权”，
各指标乘相应的权后所得的平均数就叫做加权平均数．
教师强调：一个数据对应的权重，表示这个数据在这组数据中的重要程度，权重越大表示越重要．
教师提问：结合实例，想一想，实际问题中“权”通常有哪三种表现形式？
【师生活动】学生小组讨论后归纳：
频数形式：数据出现的次数；
比例形式：如三项成绩权重比 6:3:1；
百分比形式：如平时、期中、期末成绩所占百分比．
教师补充每种形式的特点，并举例帮助学生加深理解．
设计意图：从学生熟悉的百分比情境切入，由具体到抽象，帮助学生准确理解“权”和加权平均数的定义，系统梳理权的三种类型，让学生全面认识权的不同呈现方式，学会在不同题目中快速识别权重形式．
教师拓展：
一般来说，如果在 个数据中， 出现 次， 出现 次，， 出现 次（这里 ），那么这 个数的平均数可以表示为
这个平均数也叫做 这 个数的加权平均数．
【探究新知】
探究：频数型权重.
教师提问：（2）超市里有两种苹果，一种单价为 15 元／kg，另一种单价为 18 元／kg．小明妈妈买了单价为 15 元／kg 的苹果 1 kg，单价为 18 元／kg 的苹果 3 kg．你认为应该如何计算所买苹果的平均价格？
【师生活动】学生思考辨析：不能直接求算术平均，因为购买的质量不一样，购买质量就是这组数据的权．
学生列式计算：平均价格 = 总价钱 ÷ 总质量，
即 (15×1+18×3)÷4=17.25（元／kg）.
教师板书规范解题格式，强调频数型加权平均数的计算思路．
【探究新知】
探究：百分比型权重.
教师提问：小青某学期的数学成绩情况为：测验一得 89 分，测验二得 78 分，测验三得 85 分，期中考试得 90 分，期末考试得 87 分．如果按照图所示的平时成绩、期中成绩、期末成绩的权重，那么小青该学期的总评成绩是多少分？
【师生活动】教师引导分步解题：第一步：先求出平时三次测验的算术平均分；第二步：按照给定百分比权重，计算加权平均数．学生独立演算，教师巡视指导，规范书写步骤，强调先分组求平均、再加权计算的解题流程．
答案预设：
所以小青该学期的总评成绩为 87.6 分．
【探究新知】
探究：比例型权重.
教师提问：问题1 某公司对应聘者 A、B、C、D 进行面试，并按三个方面给应聘者打分，每个方面满分为 20 分，最后打分结果如表所示．如果你是人事主管，会录用哪一位应聘者？
表：四位应聘者的面试成绩
A B C D
专业知识 14 18 17 16
工作经验 18 16 14 16
仪表形象 12 11 14 14
对上述问题，甲同学说：看谁的总分高就录用谁．通过计算可以发现 D 的总分最高，应被录用．
这时乙同学说：我有不同意见．三个方面满分都是 20 分，但按理这三个方面的重要性应该有所不同，比如专业知识就应该比仪表形象更重要．
假设上述三个方面的重要性之比为 6:3:1（如图），那么应该录用谁呢？
教师点拨：因为 6：3：1 = 60%：30%：10%，所以专业知识、工作经验与仪表形象这三个方面的权重分别是 60%、30% 与 10%．这样 A 的最后得分为14×60%+18×30%+12×10%=15．
请你根据这样的权重要求，继续算出另三位应聘者的最后得分．从你的计算结果看，谁应被录用？
【学生活动】学生先计算四位应聘者的总分，发现 D 最高；
接着按 6:3:1 的权重计算加权平均分，B 的得分为 18×60%+16×30%+11×10%= 16.7，
C 的得分为 17×60%+14×30%+14×10%= 15.8，
D 的得分为 16×60%+16×30%+14×10%= 15.8.
得出 B 的得分最高．
教师提问：如果这三个方面的重要性之比为 10:7:3，此时三个方面的权重各是多少？哪一位应被录用呢？
学生回答：三个方面的权重分别是 50%，35%，15%，这样 A 的最后得分为14×50%+18×35%+12×15%=15.1，
B 的最后得分为 18×50%+16×35%+11×15%=16.25，
C 的最后得分为 17×50%+14×35%+14×15%=15.5，
D 的最后得分为 16×50%+16×35%+14×15%=15.7，
从计算结果看，B 应被录用．
教师引导学生发现：权重改变，加权平均数结果改变，录取结果可能也会随之改变．
设计意图：通过招聘选拔真实情境，掌握比例形式权重的计算与转化，深刻体会权重大小对最终结果的影响，感受加权平均数在实际选拔评价中的应用价值．
教师提问：问题 2 某所初中学校通过调查了解到，该校七、八、九年级学生平均每天的睡眠时间依次为 9 h、8.5 h 和 8 h．
（1）根据这些信息，能否求出该校学生平均每天的睡眠时间？
学生回答：可以求出该校学生平均每天的睡眠时间为
教师强调：如果该校三个年级的学生人数相同，同学们的做法是对的．如果该校三个年级的学生人数不相同，用上面的算法就得不到问题的答案了．要想求出该校学生平均每天的睡眠时间，还需要更多的信息．
教师提问：（2）如果已知该校七、八、九年级的学生人数分别为 350、330、320，能否求出该校学生平均每天的睡眠时间？
【学生活动】学生与同伴交流后得出：各年级人数就是权，用总睡眠时间除以总人数计算．
答案预设（2）：
有了各年级的学生人数，就可以求出该校学生每天睡眠的总时间，再除以学生的总人数，即可得到该校学生平均每天的睡眠时间为
教师点拨：同学们，其实在求解这个问题时，也可以分成三部分计算，即
所得的结果是一样的．
这是加权平均数，各年级学生人数占总人数的比例就是权重．
教师提问：（3）如果已知该校七、八、九年级的学生人数比为 4:3:3，能否求出该校学生平均每天的睡眠时间？
【学生活动】当给出人数比 4:3:3 时，学生小组思考：没有具体人数，怎么确定权重？他们通过讨论得出：人数比可以直接转化为权重，代入加权平均数公式计算．
答案预设（3）：
已知各年级的学生人数之比，就可以通过加权计算得到该校学生平均每天的睡眠时间为
设计意图：通过三问梯度情境，引导学生认识不同形式的“权”，理解加权平均数的本质，体会权重对结果的影响，深化统计思维．
教师拓展：分布式计算
如果有多组数据 ，每组数据的平均数分别是 ，每组数据的个数分别是 ，则这 组数据的平均数是 的加权平均数
这就是分布式计算．
分布式计算广泛应用于大数据计算中．
在问题 2 中，我们利用已经有的各单位各自的平均数，辅以各单位的权重信息，再次计算得到所有单位总的平均数．类似地，在大数据计算中，经常会将需要解决的问题分解成许多小的部分，分配给多台计算机进行处理．与传统的集中式处理相比，这种分布式计算的方法大大提高了计算效率，顺应了时代的需求．
四、当堂检测
通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知.
五、课堂小结
今天我们学习了哪些知识？
1.加权平均数的概念：我们把各指标在总结果中所占重要性的比重称为每个指标获得的权重，简称“权”，
各指标乘相应的权后所得的平均数就叫做加权平均数．
2.加权平均数的三种形式及实际应用．

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