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第十九章 数据的分析 华东师大版(2024)
19.1.3 中位数和众数
一、教学目标
1.体会中位数、众数与平均数的区别与联系，掌握中位数和众数的概念，会求出一组数据中的中位数和众数.
2.理解中位数和众数的统计意义，掌握其计算方法，能根据数据的奇偶性、频数分布准确求出中位数和众数，会处理一组数据中有多个众数的情况.
3.提升对中位数和众数的理解及灵活应用能力，会用中位数、众数分析实际问题.
二、教学重点及难点
重点：中位数和众数的概念和计算方法；理解中位数、众数与平均数的区别与联系.
难点：理解中位数的“中间位置”意义，区分奇偶数据个数时的中位数计算；理解众数的“频数最多”含义，掌握多众数的判断.
三、教学过程
【探究新知】
探究：中位数的概念.
教师提问：日常生活中，我们常常需要寻找一个能代表一组数据总体面貌的特殊数据．请大家思考下面四个问题，你认为分别应该用什么数据来回答？
（1）同学问小明：“你知道你妈妈的鞋号是多少吗？”小明在家里找到了 9 双妈妈的鞋，鞋号分别是：23,23,23,23.5,23,24,23,23,24．对此，小明的回答应该是___________．
（2）同学问小红：“你每个月花多少时间进行体育锻炼？”小红查看了一下自己的运动记录，发现去年每月体育锻炼的时间（单位：h）分别是：35,10,10,10,10,15,10,20,10,10,10,10．对此，小红的回答可以是___________．
（3）老师要评定每位学生的中文打字速度．小兵的三次中文打字速度检测结果（单位：字／min）分别是：38,31,36．对此，小兵的中文打字速度可评定为___________．
（4）一家小店有 5 名员工，他们的月收入（单位：元）分别是：8000,3200,2100,2000,2000．对此，该店员工的月收入可以认为是___________．
【师生活动】学生独立思考，口答结果：（1）23；（2）10；（3）35；（4）2100．
教师追问：“为什么这些问题不适合用平均数来代表？”
学生小组讨论后回答：（1）（2）（4）中存在极端值或重复数据，平均数无法真实反映数据的整体面貌．
教师顺势引出课题：今天我们就来学习两种新的统计量——中位数和众数．
教师提问：问题3 查询天气网站可以了解到，我国各直辖市和省会城市（不包含港澳台地区）2022年8月28日的最高气温如表所示．我们很容易得到这些城市当日最高气温的平均数约为 26.5 ℃．你还能从其他角度找到这组数据的代表吗？
教师：31 个城市 28日最高气温之和除以 31 所得的商是平均数．
【学生活动】学生回顾平均数的计算方法，确认“31 个城市气温之和除以 31” 得到的 26.5℃是平均数，接着思考“还能从哪些角度找到数据代表”，意识到除了平均数，还可以用中间位置或出现次数最多的数来描述数据．
教师讲解中位数的概念：一般地，将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，处于中间位置的数据（或中间位置两个数据的平均数）即为这组数据的中位数．
中位数是刻画一组数据中等水平的一个代表．
教师：如图，将 31 个城市 8 月 28 日的最高气温数据按由低到高的顺序重新排列，用去掉两端逐步接近正中心的办法可以找出处在正中间位置的那个值，即中位数.
由此可以得到这 31 个城市 8 月 28 日最高气温的中位数是 26℃．
教师提问：思考：如果是偶数个城市，那么用去掉两端逐步接近正中心的办法，最后也只剩下唯一一个没被划去的数据吗？
【学生活动】学生通过类比思考，发现数据个数为偶数时，中间会剩下两个数．
教师：如果是偶数个城市，那么最后就将剩下两个处在正中间的数．这时，为了公正起见，我们取这两个数的平均数作为中位数．
注意：
（1）一组数据的中位数是唯一的，它可能是这组数据中的某个数，也可能不是这组数据中的数；
（2）在排列数据时，即使有相等的数据也要全部参加排列；
（3）中位数不受极端值的影响．当一组数据中有个别数据变动较大时，可用中位数来描述这组数据的集中趋势．
设计意图：通过对中位数性质的探究，帮助学生更深刻地理解中位数的统计意义，明确其适用场景，为后续合理选择统计量奠定基础．
【探究新知】
探究：众数的概念.
教师：如表，统计每一个气温在这组数据中出现的频数，可以找出频数最多的那个气温值，它就是众数．
教师讲解众数的概念：一组数据中出现频数最多的数据就是这组数据的众数．
教师提问：同学们根据表中数据回答，这 31 个城市该日最高气温的众数是多少？
学生：35℃．
教师追问：若有两个气温值（如 25℃ 和 35℃）的频数并列最多，那么怎样确定众数呢？
【学生活动】学生思考“两个气温值频数并列最多”的情况，通过讨论明确：众数不是取这两个数的平均数，而是两个气温值都作为众数．
教师总结：
在一组数据中，众数可能是一个或者多个，也可能没有：
（1）当出现频数最多的数据只有一个时，这组数据的众数只有一个；
（2）当出现频数最多的数据不止一个时，这组数据的众数就有多个；
（3）当每个数据出现的次数相同时，这组数据就没有研究众数的必要了．
设计意图：结合频数分布表，让学生直观地理解众数的概念，通过辨析和讨论，澄清“众数是数据本身”的易错点，帮助学生准确掌握众数的概念．
【课堂互动】
教师：我们可以把问题3中的平均数、中位数和众数在统计图中表示出来，如图所示．
平均数是概括一组数据的一种常用指标，反映了这组数据中每个数据的平均大小．加权平均数更加细致，不仅反映每个数据的平均大小，还反映每个数据的权重．当每个数据具有同等重要性，即权重相同时，加权平均数就是平均数．
中位数是概括一组数据的另一种指标．如果将一组数据按由小到大的顺序排列（即使有相等的数据也要全部参加排列），那么中位数的左边和右边恰有一样多的数据．
众数告诉我们，这个值出现的次数最多．一组数据可以有不止一个众数，也可以没有众数．
【读一读】
面对收集得到的大量数据，我们可以根据问题的背景选择合适的统计图表，用数据说话，显示其隐含的某些有用信息．为了更好地了解数据，需要作更深入的数据分析．平均数、中位数和众数从不同的侧面描述了数据的集中趋势，概括了一组数据．正因为如此，这三种指标常被用来作为一组数据的代表．
四、当堂检测
通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知.
五、课堂小结
今天我们学习了哪些知识？
1.中位数的概念：一般地，将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，处于中间位置的数据（或中间位置两个数据的平均数）即为这组数据的中位数.
2.众数的概念：一组数据中出现频数最多的数据就是这组数据的众数．

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