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第十九章 数据的分析 华东师大版(2024)
19.2 数据的离散程度
一、教学目标
1.体会刻画数据离散程度的意义，理解数据波动与稳定性的关系，会计算一组简单数据的离差平方和、方差，知道它们都能刻画这组数据的波动程度.
2.经历方差概念的形成过程，掌握方差的计算公式，能运用方差分析和比较两组数据的波动大小与稳定性，提升数据分析与推理能力.
3.能用计算器的统计功能求平均数和方差，体会信息技术在数据处理中的应用，培养严谨的数学运算习惯.
二、教学重点及难点
重点：方差的概念与计算公式；运用方差比较两组数据的波动大小与稳定性；理解离差平方和与方差的联系与区别.
难点：理解方差的统计意义，即方差如何反映数据的离散程度，结合实际情境运用方差分析数据稳定性.
三、教学过程
【探究新知】
探究：离差平方和的概念.
教师提问：我们已经会用平均数、中位数、众数描述数据的集中趋势．下表显示的是2022年7月20日8时至7月21日5时天津和新加坡两地的气温，如何对两地在这个时间段内的气温进行比较呢？
表 天津和新加坡的气温 单位：℃
8时 11时 14时 17时 20时 23时 2时 5时
天津 27 30 32 31 26 25 24 23
新加坡 26 27 28 29 27 27 27 27
【学生活动】学生计算平均数，发现两地平均气温都是27.25℃．
教师提问：从表中可以看出，天津与新加坡的气温相比，有 4 个时刻的气温相对高些，有 4 个时刻的气温相对低些．
两地气温平均数相同，这能否说明两地的气温情况总体上没有什么差异呢？观察折线图有什么新的发现？
【学生活动】学生观察折线图：天津气温波动范围大；新加坡在 26℃到 29℃，波动很小．
学生得出：平均数相同，但数据波动明显不同．
教师：通过观察，我们可以发现：图①中的点波动范围比较大----从 23℃ 到 32℃，相差 9℃；图②中的点波动范围比较小----从 26℃ 到 29℃，相差 3℃．
教师总结比较两组数据的方法：
（1）比较两组数据时，通常可以先画图，直观地感受一下两组数据的整体特点．
（2）即便两组数据的平均数相等，它们还可能在数据的波动大小上表现出差异，因此，不能只限于比较平均数．数据波动小，则平均数更具有代表性．
教师提问：问题2 小明和小兵两人参加体育项目训练，近期的 5 次测试成绩如表所示．谁的成绩较为稳定？为什么？
第1次 第2次 第3次 第4次 第5次
小明 10 14 13 12 13
小兵 11 11 15 14 11
【学生活动】学生通过计算发现，两人测试成绩的平均数都是 12.4，成绩的最大值与最小值也都相差 4．
教师：从成绩图可以看出：相比之下，小明的成绩大部分集中在其平均数附近，而小兵的成绩与其平均数的离散程度略大．通常，如果一组数据与其平均数的离散程度较小，我们就说它比较稳定．
教师提问：同学们思考：怎样的指标能反映一组数据与其平均数的离散程度呢？
我们已经看出，小兵的测试成绩与其平均数的偏差与小明相比略大．那么如何加以说明呢？可以直接将各数据与其平均数的差进行累加吗？在下表中写出你的计算结果．
想一想，依据最后求和的结果可以比较两组数据围绕其平均数的波动情况吗？
第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 求和
小明 每次测试成绩 10 14 13 12 13
（每次成绩－平均 成绩）
小兵 每次测试成绩 11 11 15 14 11
每次成绩－平均 成绩）
【学生活动】学生计算小明、小兵的成绩与平均数的偏差，然后求和．
学生发现：两组数据的偏差和都等于 0．
答案预设：
第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 求和
小明 每次测试成绩 10 14 13 12 13
（每次成绩－平均 成绩） -2.4 1.6 0.6 -0.4 0.6 0
小兵 每次测试成绩 11 11 15 14 11
每次成绩－平均 成绩） -1.4 -1.4 2.6 1.6 -1.4 0
教师：我们发现，求和的结果都是 0．事实上，在之前的学习中我们已经知道，一组数据中的每个数与这组数据平均数的差相加之和始终等于 0．
那么请你提出一个可行的方案，并在下表中写出新的计算方案.
第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 求和
小明 每次测试成绩 10 14 13 12 13
小兵 每次测试成绩 11 11 15 14 11
【师生活动】学生小组讨论，教师引导学生先求差，再平方，最后求和；学生根据教师指导计算并填表得出：小明平方和：9.2，小兵平方和：15.2．
答案预设：
第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 求和
小明 每次测试成绩 10 14 13 12 13
（每次成绩－平均 成绩 5.76 2.56 0.36 0.16 0.36 9.2
小兵 每次测试成绩 11 11 15 14 11
每次成绩－平均 成绩 1.96 1.96 6.76 2.56 1.96 15.2
教师讲解离差平方和的概念：
我们可以用“先平均，再求差，然后平方，最后求和”所得到的结果反映一组数据与其平均数的离散程度．这个结果称为这组数据的离差平方和．
通常用 表示各个原始数据，用 表示一组数据的平均数．
表中小明和小兵 5 次测试成绩的离差平方和的计算式就是
设计意图：让学生亲历“尝试—失败—反思”的探究过程，理解直接用偏差求和的缺陷；引导学生自主构造“离差平方和”，完成从直观波动到数学量化的跨越，让学生真正理解统计量的形成过程，而不是死记公式．
【探究新知】
探究：方差的概念.
教师提问：思考：如果一共进行了 7 次测试，小明因故缺席了 2 次，怎样比较谁的成绩更稳定？请将你的方法及数据填入下表中．
第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次
小明 每次测试成绩 10 14 13 缺席 12 缺席 13
小兵 每次测试成绩 11 11 15 11 14 14 11
【学生活动】学生先结合“测试次数不同”的新情境，思考“直接用离差平方和比较稳定性是否公平”，意识到数据个数越多，离差平方和通常越大，直接对比会偏向数据少的一方，因此需要找到一种不受数据个数影响的统一比较方法．
教师引导学生对离差平方和进行“平均化”处理．
教师：平均化这样得到的结果称为方差，通常记为 ．
教师讲解方差的概念：
设有 个数据 ，各数据与它们的平均数 的差的平方分别是 ，我们用这些值的平均数来衡量这组数据波动的大小，并把它称为这组数据的方差，记作 ．
计算公式：若 个数据 的平均数为 ，则方差
我们通常用方差来衡量一组数据偏离其平均数的情况．
设计意图：规范方差的概念、步骤与意义，建立“方差→波动→稳定性”的完整逻辑链，让学生掌握本节课最核心的知识与方法．
教师拓展：方差的相关知识
求解步骤 （1）求原始数据的平均数； （2）求原始数据中各数据与平均数的差； （3）求所得各个差的平方； （4）求所得各平方数的平均数．
意义 方差是用来刻画一组数据的波动程度的统计量，方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小．
应用 在考察总体方差时，若所要考察的总体包含很多个体或者考察对象带有破坏性，常常用样本方差来估计总体方差．
教师：表中，小明 5 次测试成绩的方差的计算式就是
小兵 7 次测试成绩的方差计算式就是
同学们算一算：
小明 5 次测试成绩的方差为_______________；小兵 7 次测试成绩的方差为_______________．
计算结果是不是小明的成绩比较稳定呢？
学生计算：小明方差：1.84，小兵方差：2.82．
学生得出结论：小明的成绩比较稳定．
【探究新知】
探究：用计算器求平均数和方差.
教师：用笔算的方法计算平均数和方差等统计量比较烦琐，如果能够利用计算器，就会大大提高效率．下面以计算小明 5 次测试成绩的平均数和方差为例，按键步骤如下：
（1）按打开主屏幕，按方向键选中＂统计＂应用图标后，按进入＂统计＂应用，再按启动＂单变量统计＂计算功能．
（2）按，输入所有数据；
（3）按（单变量结果），即可获得这组数据的统计值，其中 x =12.4 是平均数，x =1.84 是方差．
四、当堂检测
通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知.
五、课堂小结
今天我们学习了哪些知识？
1.离差平方和的概念：我们可以用“先平均，再求差，然后平方，最后求和”所得到的结果反映一组数据与其平均数的离散程度．这个结果称为这组数据的离差平方和．
2.方差的概念：设有 个数据 ，各数据与它们的平均数 的差的平方分别是 ，我们用这些值的平均数来衡量这组数据波动的大小，并把它称为这组数据的方差，记作 ．
计算公式：若 个数据 的平均数为 ，则方差

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