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第十九章 数据的分析 华东师大版(2024)
19.3 借助箱线图描述数据的分布
一、教学目标
1.理解四分位数的意义，掌握求一组数据四分位数的方法，能准确计算数据的中位数、第一四分位数和第三四分位数.
2.了解箱线图的画法，掌握箱线图的绘制步骤，知道箱线图能够直观反映一组数据的整体分布情况.
3.会用箱线图分析数据的分布特征，发展数据观念，增强应用统计知识分析和解决实际问题的意识.
二、教学重点及难点
重点：四分位数的概念与计算方法；箱线图的画法.
难点：理解四分位数的统计意义；通过箱线图解读数据的分布特征与异常情况.
三、教学过程
【探究新知】
探究：箱线图的概念.
教师提问：我们学习过频数分布直方图，它是如何描述数据分布的？
【学生活动】学生回顾：频数分布直方图能直观看出数据的集中范围、分布是否对称，以及各区间的数据频数．
教师：在学习了中位数概念之后，今天我们要学习一种新的统计图——箱线图，它和直方图有什么不同？又能帮我们解决什么问题？让我们一起来看一看．
教师提问：问题1 某市去年4月30天的空气质量指数（AQI）如下：
60，39，65，82，60，89，109，81，73，69，
103，156，62，41，55，123，164，73，45，90，
64，54，70，59，73，86，91，58，63，82．
怎样描述该市去年 4 月 AQI 的分布情况呢？
【学生活动】学生结合问题思考描述数据分布的方法，回忆已学过的频数分布表、频数分布直方图等方式，并尝试对 AQI 数据的分布情况进行分析．
教师：我们可以使用频数分布表和频数分布直方图描述它们的分布情况：
第一种：频数分布表
AQI 50 75 100 125 150 175
频数 3 15 7 3 0 2
第二种：频数分布直方图
教师提问：观察某市去年 4 月 30 天的 AQI 数据，用频数分布表和直方图可以看出哪些信息？数据分布有什么特点？
学生观察频数分布表和直方图，发现：
AQI 类别以“良”为主，22 天处于 50~100 之间，占 73%；
有3天为“优”，3 天为轻度污染，2 天为中度污染；
数据分布不对称，中心偏向较低 AQI，50~75 之间天数最多．
教师：统计工作者还会使用另一种名为箱线图的统计图来描述一组数据的分布情况，下图就是计算机依据该市去年 4 月 AQI 数据画出的箱线图．
请大家仔细观察这张图，它由哪些部分组成？图中标注了哪些关键术语？
【学生活动】学生仔细观察图片，识别出图中的各个元素，并逐一读出标注的术语：
空心点（异常值）、上边缘、上四分位数、中位数、下四分位数、下边缘．
教师提问：非常好！大家已经找出了箱线图的各个组成部分．现在我们来逐一理解它们的含义．请大家结合图片，思考以下问题：
（1）图中的空心点代表什么？它有什么特点？
（2）“上边缘” 和 “下边缘” 分别指什么？
（3）箱体内部的 “上四分位数”、“中位数” 和 “下四分位数” 分别位于箱体的什么位置？
【师生活动】学生阅读并理解图片中文字解释，分组讨论，教师适时进行引导，师生共同回答：
空心点代表异常值，它们离其他数据较远．
“上边缘” 是除去异常值后的最大值，“下边缘” 是最小值．因为异常值会极大地影响数据范围的展示，所以需要单独标出，以更准确地反映数据的主体分布．
“中位数” 在箱体中间，“上四分位数” 在箱体顶部，“下四分位数” 在箱体底部．
教师讲解箱线图的概念：
像这样用最大值（除去异常值之后）、上四分位数、中位数、下四分位数和最小值（除去异常值之后）这五个指标来描述数据分布的统计图称为箱线图．
设计意图：引导学生将零散的知识点系统化，形成对箱线图的完整定义，构建清晰的概念体系，为后续学习四分位数的计算和箱线图的应用做好铺垫．
【探究新知】
探究：四分位数的概念.
教师：箱线图主要用到“中位数”这个概念，先用中位数把一组数据一分为二，再用中位数把分好的左、右两侧都再一分为二，也就是将数据平分，再平分，等分为四份．
如下图，我们将这 30 个数据从小到大排列，中位数是处在中间的两个数据 70 和 73 的平均数，即 71.5，它处于总体 50% 的位置．
下四分位数的概念：再将左侧的 15 个数据分成两等份，位于中间的 60 就是下四分位数，也称为第一四分位数，它处于总体 25% 的位置．
上四分位数的概念：同样地，将右侧的数据也分成两等份，位于中间的 89 就是上四分位数，也称为第三四分位数，它处于总体 75% 的位置．
教师：从箱线图可以看出，这组数据包含两个异常值，有两天的 AQI 异常大，不适合用平均数作为代表，可用中位数来表示一般水平．
总体而言，该市去年 4 月有约一半的天数 AQI 处于 60 和 89 之间，类别为良，还有约四分之一的天数 AQI 低于 60，另有约四分之一的天数 AQI 高于 89．
因为中位数离箱体的中间有点远，说明数据的分布不是对称的，中心偏向较低的 AQI．
设计意图：通过实例计算，让学生亲历四分位数的形成过程，理解其“将数据四等分”的统计意义，突破本课核心概念难点．
【课堂活动】
教师提问：要寻找以下信息，可以借助上面的频数分布直方图还是箱线图？
①该市去年 4 月 AQI 有没有异常值；
②按 AQI 排序分段后，天数最多或最少的那一段 AQI 的变化范围；
③该市去年 4 月 AQI 不超过 75 的天数；
④该市去年 4 月空气质量最好的七八天里，AQI 的变化范围．
【师生活动】学生分组讨论，得出结论：
箱线图适合：①（找异常值）、④（看整体分布范围）；
直方图适合：②（看频数多少）、③（看区间内数据个数）；
师生总结两种图的差异：
频数分布直方图和箱线图都能描述数据的整体分布，但传达信息的侧重点有所不同．画频数分布直方图和箱线图都需要先将一组数据排序．
直方图：侧重展示数据在各区间的频数分布，能看出哪段数据最多/最少；
箱线图：侧重展示数据的四分位分布、异常值和整体集中趋势，能快速判断数据对称性和异常情况．
教师：如果一组数据中有特别大或者特别小的异常值，计算机软件在制作箱线图时，会自动甄别并标记出来，提示此时用平均数作为这组数据的代表不太合适．
设计意图：通过对比辨析，让学生明确两种统计图的适用场景，学会根据问题需求选择合适的统计图，提升数据分析的灵活性．
教师归纳：画箱线图的步骤
（1）根据已知条件（如条形统计图或折线统计图中的关键数据）将数据按从小到大顺序排列，找到最小值、最大值和四分位数；
（2）根据最大值和最小值确定数轴的长度与单位长度，起点比最小值稍小；
（3）画出箱线图．
四、当堂检测
通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知.
五、课堂小结
今天我们学习了哪些知识？
1.箱线图的概念：用最大值（除去异常值之后）、上四分位数、中位数、下四分位数和最小值（除去异常值之后）这五个指标来描述数据分布的统计图称为箱线图．
2.四分位数的概念：
下四分位数（第一四分位数）：将一组数据从小到大排列后，位于第 25 百分位的数值，即把数据分为两部分，其中 25% 的数据小于或等于它，75% 的数据大于或等于它．
它是数据前半部分的中位数．
上四分位数（第三四分位数）：将一组数据从小到大排列后，位于第 75 百分位的数值，即把数据分为两部分，其中 75% 的数据小于或等于它，25% 的数据大于或等于它．
它是数据后半部分的中位数．

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