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第十八章 矩形、菱形与正方形 华东师大版(2024)
18.1.1 矩形的性质
一、教学目标
1.经历从平行四边形到矩形的探究过程，理解矩形的定义，体会矩形与平行四边形的区别与联系，掌握“一般与特殊”的几何研究方法.
2.理解并掌握矩形的性质定理，能规范完成性质定理的证明，并运用定理进行简单计算与证明.
3.了解矩形的轴对称性，能区分矩形与平行四边形的对称性差异；通过例题应用，提升几何问题的分析与推理能力.
二、教学重点及难点
重点：矩形的定义；矩形的性质定理及其证明；运用矩形性质进行简单计算与证明.
难点：理解矩形与平行四边形的“一般与特殊”关系；综合运用矩形性质解决含对角线、面积等的几何问题.
三、教学过程
【探究新知】
探究：矩形的概念.
教师提问：我们生活中常见的门窗、课桌面、课本封面，它们是什么形状？
这些图形和我们之前学过的平行四边形有什么关系？
【师生活动】学生观察图片，回答：这些图形是长方形，它们的对边平行且相等，也是平行四边形．
教师顺势引出本节课主题：这种特殊的平行四边形，我们称之为矩形，今天我们就来研究矩形的定义和性质．
教师：给你一个平行四边形相邻两边的长，你能利用尺规作图作出这个平行四边形吗？相信你能行！如图所示，作出那样的平行四边形．
现在将你与同伴所作的图形放在一起，仔细看看，发现它们都是平行四边形，你还发现了什么？
【师生活动】
学生按要求用尺规作图，画出平行四边形．
学生将自己的图形与同伴的对比，发现：虽然边长相同，但两邻边之间的夹角有大有小．
教师讲解矩形的定义：我们若改变平行四边形的内角，使其一个内角恰好为直角，就得到一种特殊的平行四边形，也就是我们早已熟悉的长方形，即矩形．
如图所示，矩形是有一个角为直角的平行四边形．
教师：矩形是一种特殊的平行四边形．
设计意图：通过动手操作和对比观察，让学生直观地感受从一般平行四边形到矩形的变化过程，深刻理解矩形“特殊”的来源，体会“一般到特殊”的几何研究思路，同时为后续性质探究奠定基础．
【探究新知】
探究：矩形的性质.
教师提问：同学们思考，作为一种特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的一般性质，同时也具有一些特殊性质．观察下图所示的矩形，将你的发现填入下表．
对称性 边 角 对角线
平行四边形的一般性质 中心对称 对边平行且相等 对角相等 对角线互相平分
矩形的特殊性质 轴对称 邻边垂直 四个角都是直角 对角线相等
【学生活动】学生分组讨论，结合图形填写表格．
教师讲解矩形的对称性：我们发现，作为特殊的平行四边形，矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形．
教师引导学生观察矩形的对称性，提问：矩形有几条对称轴？对称轴是什么？
学生回答：矩形有两条对称轴，分别是通过对边中点的直线．对称中心是两条对角线交点 O．
教师：由此，很容易猜想矩形所具有的一些特殊性质：
矩形的性质定理 1：矩形的四个角都是直角．
矩形的性质定理 2：矩形的对角线相等．
符号表示：性质定理1
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°．
符号表示：性质定理2
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴AC=BD．
教师提问：我们猜想矩形的四个角都是直角、对角线相等，如何用演绎推理来证明这两个性质定理？
【师生活动】证明性质定理 1：矩形的四个角都是直角．教师引导学生分析：根据矩形的定义，有一个角是直角的平行四边形是矩形，再结合平行四边形邻角互补、对角相等的性质，即可证明四个角都是直角．学生口述证明思路，教师规范证明过程．
答案预设：
已知：如图，四边形ABCD是矩形，．
求证：．
教师：我们一起来证明性质定理2．
如图，我们可以找到对角线 AC、BD 分别所在的三角形，借助性质定理 1 证明这两个三角形全等，从而得到结论．
【师生活动】证明性质定理 2：矩形的对角线相等．教师引导学生分析：要证明 AC=BD，可以通过证明△ABC≌△DCB 来实现．学生独立书写证明过程，教师巡视指导，选取学生代表板演，师生共同订正．
答案预设：
已知：如图，在矩形ABCD中，对角线为．
求证：．
设计意图：通过对比探究，引导学生自主发现矩形的特殊性质，构建完整的知识结构，同时培养学生的观察、归纳和对比分析能力，让学生经历证明的完整过程，加深对矩形性质的理解．
教师拓展：矩形的其他性质
1.矩形的对角线互相平分．
2.矩形的任意一条对角线把矩形分成两个全等的直角三角形．
3.矩形的两条对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形，并且相对的两个等腰三角形全等．
【典型例题】
例1. 如图，矩形被两条对角线分成四个小三角形，如果这四个小三角形周长的和是86 cm，矩形的对角线长是 13 cm，那么该矩形的周长是多少？
解： 和 这四个小三角形周长的和为 86 cm，
又 （矩形的对角线相等），
即该矩形的周长是 34 cm．
例2. 如图，在矩形 中，，，垂足为点 ．
求 的长．
例3. 如图，在矩形 中，对角线 与 相交于点 垂直且平分线段 ，垂足为点 ，．求 的长．
解： 四边形 是矩形，
（矩形的对角线相等）．
即 的长为 的长为 7.5 cm．
设计意图：通过三道层层递进的例题，引导学生灵活运用矩形对角线相等且互相平分、四个角为直角等核心性质，结合勾股定理、面积法、垂直平分线性质解决不同类型的计算问题，既巩固了矩形性质的理解，又训练了学生分析几何图形、转化已知条件、选择解题方法的能力，同时规范了几何计算的步骤与表达．
四、当堂检测
通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知.
五、课堂小结
今天我们学习了哪些知识？
1.矩形的概念：矩形是有一个角为直角的平行四边形．
2.矩形的对称性：矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形，对称轴为通过对边中点的直线．
3.矩形的性质：
矩形的性质定理 1：矩形的四个角都是直角．
矩形的性质定理 2：矩形的对角线相等．

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