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第十八章 矩形、菱形与正方形 华东师大版(2024)
18.1.2 矩形的判定（课时1）
一、教学目标
1.经历从矩形的性质逆向猜想判定方法、通过作图验证并演绎证明的完整探究过程，体会类比思想及探究图形判定的基本思路，理解性质与判定的互逆关系.
2.掌握矩形的判定定理1和判定定理2，能准确表述定理内容，并运用这两个定理进行简单的几何证明.
3.能根据题目条件灵活选择合适的判定方法，解决不同情境下的矩形判定问题，提升几何推理与问题解决能力.
二、教学重点及难点
重点：矩形的判定定理 1 和判定定理 2 的内容、证明及应用；能运用定理进行简单的矩形判定与证明.
难点：由矩形性质逆向推导判定定理的思路；根据题目条件灵活选择判定方法，区分“四边形”与“平行四边形”两种前提条件下的判定差异.
三、教学过程
【知识回顾】
教师提问：上节课我们学习了矩形的定义，谁能准确说一说？
矩形作为特殊平行四边形，在角、对角线方面有哪些特殊性质？
我们研究平行四边形判定时，是从什么思路出发得到新判定方法的？
【师生活动】学生集体回答：
矩形定义：矩形是有一个角为直角的平行四边形．
矩形性质：四个角都是直角，对角线相等且互相平分．
教师点拨：研究图形判定，通常可以由性质逆向思考得到猜想．今天我们就用这种思路探究矩形的判定．
【探究新知】
探究：矩形的判定.
教师讲解根据定义判断矩形：
我们可以根据矩形的定义加以判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
符号表示：
在 ABCD中，
∵∠ABC=90°，
∴ ABCD是矩形．
教师提问：除此之外，我们能否找到其他判定矩形的方法呢？
教师提问：矩形是特殊的平行四边形，具有如下性质：1.四个角都是直角；2.两条对角线相等．
这些性质，对我们寻找判定矩形的方法有什么启示？
【学生活动】学生与同伴进行交流，回答：逆向思考，互换条件与结论，写出它的逆命题：如果一个四边形的四个角都是直角，那它肯定是一个矩形．
学生：这个命题是真命题．
教师提问：同学们回答的很好．
大家想一想，判定的条件能否再减少一些，三个角是直角的四边形是矩形吗？
【师生活动】教师引导学生通过动手作图来验证猜想：
学生按照教材步骤，作一个三个角都是直角的四边形．
如图．
作法：
（1）任意作两条互相垂直的线段 AB、AD；
（2）过点 B 作垂直于 AB 的直线 l；
（3）过点 D 作垂直于 AD 的直线 m，与直线 l 相交于点 C．
四边形 ABCD 即为所要求作的平行四边形．
教师提问：观察你所作的图形，它是一个矩形吗？
学生观察、比较，发现所作的四边形都是矩形，初步验证猜想．
教师讲解矩形的判定定理 1：
有三个角是直角的四边形是矩形．
符号表示：判定定理1
在四边形ABCD中，
∵∠A=∠B=∠C=90°，
∴四边形ABCD是矩形．
教师：下面我们用演绎推理来证明这个结论．
已知：如图，在四边形 中，．
求证：四边形 是矩形．
【师生活动】教师引导学生分析：要证明四边形 ABCD 是矩形，可先证它是平行四边形，再根据矩形的定义判定．学生独立书写证明过程，教师巡视指导，随后请一名学生板演证明过程，师生共同订正、规范．
答案预设：
设计意图：让学生经历“逆命题猜想—简化条件—操作验证—归纳定理”的全过程，体会从“多条件”到“简条件”的优化，培养合情推理与简化思维．
教师提问：现在让我们再思考有关的线段．
“对角线相等”是矩形所特有的性质．那么从对角线的角度，你可以得到关于矩形判定的什么猜想？与你的同伴交流一下，看看你们的想法是否一致、可行．
学生1：矩形对角线相等，逆向思考：对角线相等的四边形是矩形．
学生2辨析：对角线相等的四边形不一定是矩形（如等腰梯形）．
【师生活动】学生思考后与同伴进行交流，考虑加上“平行四边形”这个前提，
猜想：对角线相等的平行四边形是矩形．
教师引导学生通过作图验证猜想：学生按课本步骤作图，作对角线相等的平行四边形，观察所作图形是矩形．
如图，作一个对角线相等的平行四边形．
作法：
（1）任意作两条相交的直线，交点记为 O；
（2）以点 O 为圆心、适当长为半径作弧，在两条直线上分别截取相等的四条线段 OA、OB、OC、OD；
（3）顺次连结所得的四点．
四边形 ABCD 的两条对角线相等且互相平分，即为所要求作的四边形．
教师提问：观察你所作的图形，和你的同伴交流一下，看看这个平行四边形是不是矩形.
学生观察、比较，发现所作的平行四边形都是矩形，初步验证猜想．
教师讲解矩形的判定定理 2：
对角线相等的平行四边形是矩形．
符号表示：判定定理2
在 ABCD中，
∵AC=BD，
∴ ABCD是矩形．
教师：下面我们用演绎推理证明上述猜想．
已知：如图，四边形 是平行四边形，．
求证：四边形 是矩形．
【师生活动】教师引导学生分析：要证明平行四边形 ABCD 是矩形，只需证一个内角为直角．
利用平行四边形对边相等及已知对角线相等，可证 △ABC≌△DCB，得邻角相等，
再由 AB∥DC 得邻角互补，从而推出邻角为直角，故为矩形．
答案预设：
证明： 四边形 是平行四边形，
．
又 ，
，
．
，
．
．
设计意图：攻克本节课难点，让学生体会全等三角形、平行四边形性质与矩形定义的综合运用，建立“线段相等→角相等→直角→矩形”的完整推理链．
【读一读】
这一判定方法在日常生活中经常被应用．例如，木工师傅在制作门框或其他矩形形状的物体时，常用测量对角线的方法，来检验产品是否符合要求．
【典型例题】
例4. 如图，点 是矩形 的对角线 与 的交点， 分别是 上的一点，且 ．
求证：四边形 是矩形．
四边形 是平行四边形．
例5. 如图，四边形 是由两个全等的正三角形 和 组成的， 分别为 的中点．求证：四边形 是矩形．
例6. 如图，在 中，，，垂足为点 是 的外角 的平分线，，交 于点 ．求证：四边形 是矩形．
又 ，
四边形 是平行四边形．
四边形 是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）．
【课堂互动】
教师提问：做这类矩形证明题时，先看已知给的是角条件还是对角线条件？分别优先选用哪条判定？
【师生活动】学生结合上面的例题，独立分析，判断已知特征：
给多个直角→优先判定定理 1；
给平行四边形 + 对角线→优先判定定理 2；
给平行四边形 + 直角→优先定义．
设计意图：通过典型例题，训练学生“看条件、选方法”的解题策略，巩固三种判定的适用场景，提升几何证明的熟练度与简洁性．
四、当堂检测
通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知.
五、课堂小结
今天我们学习了哪些知识？
1.根据定义判断矩形：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
2.判定定理 1：有三个角是直角的四边形是矩形．
3.判定定理 2：对角线相等的平行四边形是矩形．

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