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第十八章 矩形、菱形与正方形 华东师大版(2024)
18.1.2 矩形的判定（课时2）
一、教学目标
1.经历从矩形对角线性质出发，通过“补形法”探究并证明直角三角形斜边中线性质的完整过程，体会类比思想与转化思想，理解几何问题中构造法的应用思路.
2.掌握直角三角形斜边中线定理及其逆定理，能准确表述定理内容，并运用这两个定理进行简单的几何证明与计算.
3.能结合矩形的性质与判定，灵活解决直角三角形斜边中线相关的综合问题，提升几何推理与问题解决能力.
二、教学重点及难点
重点：直角三角形斜边中线定理及其逆定理的内容、证明及应用；能运用定理进行线段长度计算与直角三角形判定.
难点：“补形法”构造矩形证明直角三角形斜边中线定理的思路；灵活运用定理解决含直角三角形的几何综合问题.
三、教学过程
【知识回顾】
教师提问：矩形的对角线有什么特殊性质？
我们是如何利用矩形的性质来推导新的结论的？
【师生活动】学生集体回答：矩形的对角线相等且互相平分．
教师引导：如果我们将矩形沿一条对角线剪开，会得到两个什么样的三角形？它们的中线会有什么特殊性质呢？由此引出本节课的探究主题．
【探究新知】
探究：直角三角形斜边上中线的性质.
教师提问：
思考：我们已经知道，矩形的两条对角线相等且互相平分，如左图所示．在矩形 ABCD 中，AC=BD，AO=OC，BO=OD．
若擦去半个矩形，如右图，BO 即是 Rt△ABC 斜边 AC 上的中线，由此，你能发现 BO 与斜边 AC 的关系吗？
【师生活动】学生观察图形，得出结论：在矩形中，OA=OB=OC=OD，即．
教师引导学生提出猜想：在 Rt△ABC 中，斜边 AC 上的中线 BO 等于 AC 的一半．
师生共同归纳猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
【典型例题】
教师：如何证明这个猜想呢？我们可以用“补形法”，把直角三角形还原成我们熟悉的矩形．
下面让我们一起来看这道例题．
例7. 如图，在 Rt 中， 为斜边 上的中线．
求证：．
分析：将 △ABC 补成矩形，即可得到要求证的结论．
证明：如图，延长 至点 ，使 ，连结 和 ．
在四边形 中，
四边形 是平行四边形．
又 ，
四边形 是矩形．
教师讲解：由此，我们得到直角三角形的一个性质：
定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
符号表示：
在 Rt△ABC 中，
∵∠ABC=90°，AO=CO，
∴BO=AO=CO．
设计意图：引导学生感知直角三角形斜边中线的特殊性质，通过例题教学，让学生掌握直角三角形斜边中线定理的完整证明过程，理解“补形法”的构造思路，体会转化思想在几何证明中的应用．
【探究新知】
探究：直角三角形斜边上中线的性质的逆命题.
教师提问：写出上述结论的逆命题，观察下图，试判断该逆命题是否成立．
学生思考后回答：
逆命题：如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
小组讨论后得出猜想：该逆命题成立．
教师点拨：上图中，CD=AD=BD．即边 AB 上的中线 CD 将整个三角形分成了两个等腰三角形，利用等腰三角形两底角相等的性质，容易证明 ∠ACD 与 ∠BCD 的和为 90°，即该三角形确实是一个直角三角形．
试一试写出完整的证明过程．
【学生活动】学生根据教师的点拨，自主尝试证明，利用等腰三角形性质与三角形内角和推导∠ACB=90°，在思考与交流中完成逆定理的证明，理解其成立依据．
答案预设：
教师讲解直角三角形斜边上的中线性质的逆命题：
如果一个三角形一边上的中线等于该边的一半，那么这个三角形是一个直角三角形．
符号表示：在 △ABC 中，
∵点 O 是 AC 边的中点，且 BO=AO=CO，
∴△ABC 是直角三角形，且∠ABC=90°．
设计意图：引导学生写出逆命题、猜想其成立，并在教师点拨下自主完成证明，既深化了对原定理的理解，又训练了逆向思维与演绎推理能力；同时通过规范符号语言的书写，帮助学生完整掌握逆定理的内容与应用，构建起“性质—判定”互逆的知识体系，提升几何逻辑表达能力．
四、当堂检测
通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知.
五、课堂小结
今天我们学习了哪些知识？
1.直角三角形斜边上中线的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
2.性质的逆命题：
如果一个三角形一边上的中线等于该边的一半，那么这个三角形是一个直角三角形．

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