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第十八章 矩形、菱形与正方形 华东师大版(2024)
18.2.1 菱形的性质
一、教学目标
1.经历从平行四边形到菱形的探究过程，理解菱形的定义，体会菱形与平行四边形的区别与联系，掌握“一般到特殊”的几何研究方法.
2.理解并掌握菱形的性质定理，能规范完成性质定理的证明，并运用定理进行计算和证明.
3.了解菱形的轴对称性，能区分菱形与平行四边形的对称性差异；能结合平行四边形、三角形等知识解决菱形相关的综合问题，提升几何推理与应用能力.
二、教学重点及难点
重点：菱形的定义；菱形的性质定理及其证明；运用菱形性质进行简单计算与证明.
难点：理解菱形与平行四边形的“一般与特殊”关系；综合运用菱形性质解决含对角线、角度的几何问题.
三、教学过程
【探究新知】
探究：菱形的概念.
教师提问：如图，我们生活中常见的伸缩衣帽架、地砖、窗格，它们是什么形状？
这些图形和我们之前学过的平行四边形有什么关系？它们的边有什么共同特点？
【师生活动】学生观察图片，回答：这些图形都是平行四边形．
教师顺势引出本节课主题：这种特殊的平行四边形，我们称之为菱形，今天我们就来研究菱形的定义和性质．
教师提问：将一张矩形的纸对折，再对折，然后沿着下图所示的虚线剪下，打开，你发现这是一个什么样的图形？
【学生活动】
学生按步骤动手操作，剪出图形．
学生观察自己剪出的图形，发现：得到的四边形四条边都相等．
教师讲解菱形的定义：这是另一种特殊的平行四边形，即菱形．
如图所示，菱形是有一组邻边相等的平行四边形．
设计意图：通过动手操作和对比观察，让学生直观地感受从一般平行四边形到菱形的变化过程，深刻理解菱形“四条边相等”的特征，同时为后续性质探究奠定基础．
【探究新知】
探究：菱形的性质.
教师提问：同学们思考，作为一种特殊的平行四边形，菱形具有平行四边形的一般性质，同时也具有一些特殊性质．观察下图所示的菱形，将你的发现填入下表．
对称性 边 角 对角线
平行四边形的一般性质 中心对称 对边平行且相等 对角相等 对角线互相平分
菱形的特殊性质 轴对称 四条边都相等 对角相等 对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角
【学生活动】学生分组讨论，结合图形填写表格．
教师讲解菱形的对称性：如图，我们发现，作为特殊的平行四边形，菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形．
教师引导学生观察菱形的对称性，提问：菱形有几条对称轴？对称中心在哪里？
学生回答：菱形有两条对称轴，对称轴为它的对角线所在的直线．对称中心是两条对角线交点．
教师：由此，很容易猜想菱形所具有的特殊性质：
菱形的性质定理 1：菱形的四条边都相等．
菱形的性质定理 2：菱形的对角线互相垂直．
符号表示：性质定理1
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴AB=BC=CD=AD．
符号表示：性质定理2
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴BD⊥AC．
教师提问：我们猜想菱形的四条边都相等、对角线互相垂直，如何用演绎推理来证明这两个性质定理？
【师生活动】证明性质定理 1：菱形的四条边都相等．教师引导学生分析：根据菱形的定义，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，再结合平行四边形对边相等的性质，即可证明四条边都相等．学生写下证明过程，教师规范步骤．
答案预设：
已知：如图，四边形ABCD是菱形.
求证：．
教师：我们一起来证明性质定理2．
如图，我们可以依据性质定理 1，找到其中的等腰三角形，由“等腰三角形的三线合一”得到结论．
【师生活动】证明性质定理 2：菱形的对角线互相垂直．教师引导学生分析：菱形的四条边都相等，所以△ABD 是等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质，得出 AC⊥BD．学生独立书写证明过程，教师巡视指导，选取学生代表板演，师生共同订正．
答案预设：
已知：如图，四边形ABCD是菱形，对角线为 相交于点O.
求证：．
设计意图：引导学生经历“猜想—证明”的完整过程，培养学生的演绎推理能力和规范书写能力，同时加深对菱形性质的理解．
教师拓展：菱形的其他性质
1.菱形的每条对角线都平分一组对角．
2.菱形的任意一条对角线把菱形分成两个全等的等腰三角形．
3.菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形．
【典型例题】
例1. 如图，在菱形 中，．试求出 的大小，并说明 是等边三角形．
解：在菱形 中，
在菱形 中，
教师：菱形的应用非常广泛．有一种衣帽架，如图所示，可以根据需要将它伸缩，形成各种形状的菱形，固定在墙上，既美观又实用．
例2. 如图，已知菱形 的边长为 2 cm，，对角线 相交于点 ．求这个菱形的两条对角线 和 的长．（保留根号）
在 中，
在菱形 中，
例3. 如图，菱形 的对角线 与 相交于点 垂直且平分 ，垂足为点 ．求 的大小．
解： 四边形 是菱形，
（菱形的四条边都相等）．
又 垂直平分 ，
即 和 都是等边三角形．
设计意图：通过例题，让学生巩固菱形四边相等的性质，同时结合垂直平分线的性质解决问题，培养学生的逻辑推理能力．
教师归纳：菱形的面积
【菱形的面积公式】S菱形 = 底×高 =对角线乘积的一半．
公式由来 数学语言
菱形是平行四边形
菱形对角线互相垂直
四、当堂检测
通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知.
五、课堂小结
今天我们学习了哪些知识？
1.菱形的概念：菱形是有一组邻边相等的平行四边形．
2.菱形的对称性：菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形，对称轴为它的对角线所在的直线．
3.菱形的性质：
菱形的性质定理 1：菱形的四条边都相等．
菱形的性质定理 2：菱形的对角线互相垂直．

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