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第十八章 矩形、菱形与正方形 华东师大版(2024)
18.2.2 菱形的判定（课时1）
一、教学目标
1.体会菱形与平行四边形、一般四边形的区别与联系，理解“特殊与一般”的辩证关系，掌握菱形判定的逻辑起点.
2.经历从菱形性质逆向猜想判定方法、通过尺规作图验证并演绎证明的探究过程，体会类比与转化思想，掌握几何图形判定的一般研究思路.
3.掌握菱形的定义判定与判定定理1，能准确表述定理内容，会运用定理进行简单的几何证明.
二、教学重点及难点
重点：菱形的定义判定；菱形判定定理 1 的内容、证明及应用；运用定理进行简单的菱形判定与证明.
难点：由菱形性质逆向推导判定定理的思路；区分“四边形”与“平行四边形”两种前提条件下的判定差异，灵活选择判定方法解决问题.
三、教学过程
【知识回顾】
教师提问：菱形的定义是什么？它的性质有哪些？
我们可以用定义判定菱形吗？除此之外，还能找到其他判定方法吗？
【师生活动】学生集体回答：菱形的定义是“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可以直接作为判定方法；
菱形的性质有“四条边都相等”“对角线互相垂直”．
教师顺势引导：研究平行四边形、矩形的判定时，我们都是从性质逆向推导新的判定方法，今天我们也用这种思路，探究菱形的其他判定方法．
【探究新知】
探究：菱形的判定.
教师讲解根据定义判断菱形：
我们可以根据菱形的定义加以判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
符号表示：
在 ABCD中，
∵AB=BC，
∴ ABCD 是菱形.
教师提问：除此之外，还能找到其他的判定方法吗？
教师提问：菱形是特殊的平行四边形，具有如下性质：
1.四条边都相等；2.两条对角线互相垂直．
这些性质，对我们寻找判定菱形的方法有什么启示呢？
【学生活动】学生与同伴进行交流，回答：逆向思考，互换条件与结论，写出它的逆命题：如果一个四边形的四条边都相等，那么它肯定是一个菱形．
教师：试着画一画，与周围的同学讨论，猜一猜结论是否成立．
学生猜想：这个命题是真命题．
学生按照教材步骤，作一个四条边都相等的四边形．
如图．
作法：
（1）作两条相等的线段 AB、AD；
（2）分别以点 B 和点 D 为圆心、AB 长为半径作弧，两弧相交于点 C；
（3）连结 BC、CD．
四边形 ABCD 即为所要求作的平行四边形．
教师提问：观察你所画的图形，它是菱形吗？
学生观察、比较，发现所作的四边形都是菱形，初步验证猜想．
教师讲解菱形的判定定理 1：
四条边都相等的四边形是菱形．
符号表示：判定定理1
在四边形ABCD中，
∵AB=BC=CD=AD，
∴四边形ABCD是菱形.
教师：下面我们用演绎推理来证明这个结论．
已知：如图，在四边形 中，．
求证：四边形 是菱形．
【师生活动】教师引导分析证明思路：先证四边形是平行四边形，再用菱形的定义判定．学生独立书写证明过程．
答案预设：
教师强调：此定理的前提是“任意四边形”，无需先证明是平行四边形，这是它与定义判定的区别．
设计意图：引导学生完成从直观猜想到严格证明的跨越，训练学生“先平行四边形、再菱形”的转化推理，落实几何证明规范，同时强化对判定定理前提条件的理解．
教师提问：这里的条件能否再减少一些呢？有三条边相等的四边形是菱形吗？试着画一画．
【师生活动】
学生按要求尝试画出三条边相等的四边形，观察图形并交流讨论．
教师引导学生发现：存在三条边相等但不是菱形的四边形，如图，因此“三条边相等”无法判定一个四边形是菱形，条件不能减少．
【典型例题】
例4. 如图，在矩形 中，点 分别是四条边的中点．试问：四边形 是什么图形？并说明理由．
教师点拨：四边形 EFGH 的四条边分别属于矩形四个角上的三角形，如果能够证明这四个三角形全等，那么就可以利用菱形的判定定理 1，得出四边形 EFGH 是菱形．
试着写出完整的证明过程．
设计意图：通过典型例题，训练学生“看条件、选方法”的解题策略，让学生体会矩形性质与菱形判定的综合应用，提升几何证明的熟练度与简洁性．
四、当堂检测
通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知.
五、课堂小结
今天我们学习了哪些知识？
1.根据定义判断菱形：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
2.判定定理 1：四条边都相等的四边形是菱形．

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