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第十八章 矩形、菱形与正方形 华东师大版(2024)
18.2.2 菱形的判定（课时2）
一、教学目标
1.能从菱形对角线的性质逆向推导判定思路，经历“猜想—验证—证明”的探究过程，体会类比与转化思想.
2.掌握菱形判定定理 2的内容，能准确表述定理内容，规范完成定理的证明.
3.会综合运用菱形的定义、判定定理 1 和判定定理 2 进行几何证明，能根据题目条件灵活选择判定方法，提升几何推理与综合应用能力.
二、教学重点及难点
重点：菱形判定定理 2 的内容、证明及应用；综合运用菱形的性质与判定进行几何证明.
难点：由菱形对角线的性质逆向推导判定定理 2 的思路；根据题目条件灵活选择判定方法，区分不同前提条件下的判定差异.
三、教学过程
【知识回顾】
教师提问：我们已经学习了哪几种判定菱形的方法？它们的前提条件分别是什么？
菱形的对角线有什么特殊性质？从对角线的角度，我们还能得到判定菱形的新方法吗？
【师生活动】学生回顾并回答：菱形的判定方法有定义法（一组邻边相等的平行四边形是菱形）和判定定理 1（四条边都相等的四边形是菱形）；
菱形的对角线互相垂直．
教师顺势引导：今天我们就从对角线的性质出发，探究菱形的另一种判定方法．
【探究新知】
探究：菱形的判定定理2.
教师提问：
思考：“对角线互相垂直”是菱形所特有的性质．那么从对角线的角度，你可以得到关于菱形判定的什么猜想？和你的同伴交流一下，看看你们的想法是否一致、可行．
学生1：菱形对角线垂直，逆向思考：对角线互相垂直的四边形是菱形．
学生2辨析：对角线互相垂直的四边形不一定是菱形．
【师生活动】学生思考后与同伴进行交流，考虑加上“平行四边形”这个前提，
猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
教师：如图，取两根长度不等的细木棒，让这两个细木棒的中点重合并固定在一起，用笔和直尺画出木棒四个端点的连线．我们知道，这样得到的四边形是平行四边形．转动其中一根木棒，重复上面的做法，当两根木棒之间的夹角等于 90°时，得到的是什么图形呢？
和周围的同学交流彼此的结论．
【师生活动】学生按要求操作，发现木棒中点重合时，得到的是平行四边形．
转动木棒使夹角为 90°后，学生小组观察并交流，得出此时得到的是菱形．
教师引导学生通过作图验证猜想：
学生按课本步骤作图，作一个两条对角线互相垂直的平行四边形．
如图．
作法：
（1）作两条互相垂直的直线 m、n，记交点为 O；
（2）以点 O 为圆心、适当长为半径作弧，在直线 m 上截取相等的两条线段 OA、OC；
（3）以点 O 为圆心、另一适当长为半径作弧，在直线 n 上截取相等的两条线段 OB、OD；
（4）顺次连结所得的四个点．
教师：显然，四边形 ABCD 是一个对角线互相垂直且平分的四边形，即为所要求作的两条对角线互相垂直的平行四边形．
和你的同伴交流一下，看看它是否也是一个菱形．
学生观察、比较，发现所作的四边形都是菱形，初步验证猜想．
教师讲解菱形的判定定理 2：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
符号表示：判定定理2
在 ABCD中，
∵AC⊥BD，
∴ ABCD是菱形.
教师：下面我们用演绎推理来证明这个结论．
已知：如图，四边形 是平行四边形，对角线 与 相交于点 ．
求证： 是菱形．
教师点拨：结论的证明很简单．如图，在 ABCD 中，对角线 AC、BD 互相垂直，只需证明有一组邻边相等，即可证得 ABCD 是菱形．
答案预设：
证明 四边形 是平行四边形，
又 ，
所在直线是线段 的垂直平分线．
平行四边形 是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）．
设计意图：通过尺规作图，让学生直观验证猜想，增强几何直观能力；引导学生完成从直观猜想到严格证明的跨越，训练学生的演绎推理能力和规范书写能力，同时加深对判定定理 2 的理解．
【典型例题】
例5. 如图，已知矩形 的对角线 的垂直平分线与边 、 分别相交于点 ．求证：四边形 是菱形．
证明： 四边形 是矩形，
在 和 中，
又 ，
四边形 是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．
设计意图：通过例题，让学生学会运用判定定理 2 解决问题，体会矩形性质与菱形判定的综合应用，培养学生分析问题和解决问题的能力．
【课堂互动】
教师提问：判定菱形的三种方法，它们的前提条件分别是什么？如何根据题目给出的条件选择合适的判定方法？
【师生活动】学生独立完成练习，举手回答并说明所用的判定方法．教师针对易错点进行讲解和强调：
定义法：前提是平行四边形，再证一组邻边相等；
判定定理 1：前提是任意四边形，再证四条边都相等；
判定定理 2：前提是平行四边形，再证对角线互相垂直．
四、当堂检测
通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知.
五、课堂小结
今天我们学习了哪些知识？
1.菱形的判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

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