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《证明（二）》全章复习与巩固（基础）
【学习目标】
1．了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式；
2. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念，并掌握它们的性质以及判定方法；
3．理解并能应用直角三角形的性质解题；理解并能熟练地用判定一般三角形全等的方法及判定直角三角形的特殊方法“斜边，直角边”（即“HL” ）判定两个直角三角形全等；
4. 理解反证法并能用反证法推理证明简单几何题.
5.理解命题与逆命题、定理与逆定理的意义，并能判断命题的真假；
6．了解尺规作图的常用工具；理解并掌握线段垂直平分线、角平分线的性质定理及其逆定理，能用它们解决作图题、几何计算及证明题；
7．掌握勾股定理及其逆定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股定理及其逆定理来求直角三角形中的相关计算，同时能够应用它们解决简单的实际问题，体会方程思想在解题中的运用．
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、全等三角形的性质、判定
1.全等三角形的性质
全等三角形对应边相等，对应角相等.
2.全等三角形的判定定理
全等三角形判定1——“角边角”：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.
全等三角形判定2—— “边角边”：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.
全等三角形判定3——“边边边”：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.
全等三角形判定4——“角角边”：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）
要点诠释：（1）如何选择三角形证全等，可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；
（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；
（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.
要点二、等腰三角形及等边三角形的性质与判定
1.等腰三角形的性质及其作用
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．性质1用之证明同一个三角形中的两角相等，是证明角相等的一个重要依据．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．
2.等腰三角形的判定
如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.
要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.
3.等边三角形的性质和判定：
性质：等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°.
　　判定：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；
（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
要点三、直角三角形性质及全等判定
1.直角三角形的性质
定理1：直角三角形的两个锐角互余.
定理2：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
要点诠释：这个定理的前提条件是“在直角三角形中”，是证明直角三角形中一边等于另一边（斜边）的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系.
2.判定直角三角形全等的一般方法和全等的特殊方法——斜边，直角边定理
由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了。这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.
要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.
（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.
（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.
要点四、反证法
反证法定义：在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已证定理或者已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立.
要点诠释：反证法也称归谬法，是一种重要的数学证明方法，而且有些命题只能用它去证明．一般证明步骤如下：
（1） 假定命题的结论不成立；
（2） 进行推理，在推理中出现下列情况之一：与已知条件矛盾；与公理或定理矛盾；
（3） 由于上述矛盾的出现，可以断言，原来的假定“结论不成立”是错误的；
（4） 肯定原来命题的结论是正确的．
要点五、尺规作图，命题、定理与逆命题、逆定理
1.尺规作图的定义
利用直尺（没有刻度）和圆规完成基本作图，称之为尺规作图.
要点诠释：
　　尺规作图时使用的直尺是不能用来进行测量长度的操作，它一般用来将两个点连在一起.圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度或一个任意的长度.
2.命题与逆命题
判断一件事件的句子叫命题.其判断为正确的命题叫做真命题；其判断为错误的命题叫做假命题.对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题.
要点诠释：（1）对于命题的定义要正确理解，也即是通过这句话可以确定一件事是发生了还是没发生，如果这句话不能对于结果给予肯定或者否定的回答，那它就不是命题；
（2）每一个命题都可以写成“如果…,那么…”的形式，“如果”后面为题设部分，“那么”后面为结论部分；
（3）所有的命题都有逆命题.原命题正确，它的逆命题不一定是正确的.
3.定理与逆定理
如果一个命题是真命题（正确的命题），那就可以称它为定理.如果一个定理的逆命题也是真命题，那就称它为原定理的逆定理.
要点诠释：一个命题是真命题，但是它的逆命题不一定是真命题的，所以不是每个定理都有逆定理.
要点六、角平分线、线段垂直平分线的性质定理及其逆定理
1.角平分线性质定理
角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等；逆定理：在角的内部到角两边的距离相等的点在角平分线上.
要点诠释： 性质定理的前提条件是已经有角平分线了，即角被平分了；逆定理则是在结论中确定角被平分，一定要注意着两者的区别，在使用这两个定理时不要混淆了.
2.线段垂直平分线（也称中垂线）的性质定理
线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等；逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
要点诠释： 性质定理的前提条件是线段已经有了中垂线，从而可以得到线段相等；逆定理则是在结论中确定线段被垂直平分，一定要注意着两者的区别，前者在题设中说明，后者则在最终的结论中得到，所以在使用这两个定理时不要混淆了.
要点七、勾股定理及其逆定理
1.勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么.
　　要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系
（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.
（3）理解勾股定理的一些变式：，， .
2.勾股定理逆定理
如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.
　　要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.
（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.
【典型例题】
类型一、全等三角形的性质和判定
1、两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连结DC．
(1)请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；
(2)证明：DC⊥BE .
　　
【思路点拨】△ABE与△ACD中，已经有两边，夹角可以通过等量代换找到，从而证明△ABE≌△ACD；通过全等三角形的性质，通过倒角可证垂直.
【答案与解析】
解：（1）△ABE≌△ACD
　 　证明：∠BAC＝∠EAD＝90°
　　　　　 ∠BAC ＋∠CAE＝∠EAD ＋∠CAE
　　　　　 即 ∠BAE＝∠CAD
　　　　　 又AB＝AC，AE＝AD，
　　　　　 △ABE≌△ACD（SAS）
（2）由（1）得∠BEA＝∠CDA，
　　　　 又∠COE＝∠AOD
　　　　 ∠BEA＋∠COE ＝∠CDA＋∠AOD＝90°
　　　　 则有∠DCE＝180°－ 90°＝90°，
　　　　 所以DC⊥BE.
【总结升华】我们可以试着从变换的角度看待△ABE与△ACD，后一个三角形是前一个三角形绕着A点逆时针旋转90°得到的，对应边的夹角等于旋转的角度90°，即DC⊥BE.
举一反三：
【变式】如图，已知：AE⊥AB，AD⊥AC，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：BD＝CE.
【答案】
证明：∵AE⊥AB，AD⊥AC，
∴∠EAB＝∠DAC＝90°
∴∠EAB＋∠DAE＝∠DAC＋∠DAE ，即∠DAB＝∠EAC.
在△DAB与△EAC中，
∴△DAB≌△EAC （ASA）
∴BD＝CE.
类型二、等腰三角形的性质与判定
2、如图，在△ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD＝BE，∠BAD＝∠BCE，AD与CE相交于点F，试判断△AFC的形状，并说明理由．
【思路点拨】要判断△AFC的形状，可通过判断角的关系来得出结论，那么就要看∠FAC和
∠FCA的关系．因为∠BAD＝∠BCE，因此我们只比较∠BAC和∠BCA的关系即可．
【答案与解析】
解：△AFC是等腰三角形．理由如下：
在△BAD与△BCE中，
∵∠B＝∠B，∠BAD＝∠BCE，BD＝BE，
∴△BAD≌△BCE，
∴BA＝BC，∠BAC＝∠BCA，
∴∠BAC－∠BAD＝∠BCA－∠BCE，即∠FAC＝∠FCA．
∴AF＝CF，
∴△AFC是等腰三角形．
【总结升华】利用全等三角形来得出角相等是本题解题的关键．
举一反三：
【变式】如图，∠1＝∠2，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，请判断△AEC的形状，并说明理由．
【答案】
解：△AEC是等腰三角形．
理由如下：∵∠1＝∠2，
∴∠1＋∠3＝∠2＋∠3，即∠BAC＝∠DAE，
又∵AB＝AD，∠B＝∠D，
∴△ABC≌△ADE（ASA），
∴AC＝AE．
即△AEC是等腰三角形．
类型三、直角三角形的性质及全等判定
3、如图所示，∠A＝60°，CE⊥AB于E，BD⊥AC于D，BD与CE相交于点H，HD＝1，HE＝2，试求BD和CE的长．
【答案与解析】
解：∵BD⊥AC于D，∠A＝60°，
∴∠ABD＝90°－60°＝30°，
在Rt△BEH中，∠HEB＝90°，∠EBH＝30°．
∴BH＝2EH＝4．
同理可得，CH＝2HD＝2，
∴BD＝BH＋HD＝4＋1＝5．
CE＝CH＋HE＝2＋2＝4．
【总结升华】已知条件中出现60°角与直角三角形并存时，应考虑到“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”，进而把三角形中角与角的关系转化为边与边之间的关系，充分应用转化思想来解决问题．
4、已知，如图，AC、BD相交于O，AC＝BD，∠C＝∠D＝90° .
求证：OC＝OD.
【思路点拨】根据已知条件Rt△ABD和Rt△BAC利用HL可以判定全等，之后利用全等三角形的性质，再次证明三角形全等，从而得到结论.
【答案与解析】∵∠C＝∠D＝90°
　　　　∴△ABD、△ACB为直角三角形
　　　　在Rt△ABD和Rt△BAC中
　　　　　
　　　　∴Rt△ABD≌Rt△BAC(HL)
　　　　∴AD＝BC
　　　　在△AOD和△BOC中
　　　　　
　　　　　∴△AOD≌△BOC(AAS)
　　　　　∴OD＝OC．
【总结升华】先由“HL”证Rt△ABD≌Rt△BAC，再利用全等性质为二次证明三角形全等补充条件，这是全等判定和性质的综合应用题.
举一反三：
【变式】已知：如图，AE⊥AB，BC⊥AB，AE＝AB，ED＝AC．
求证：ED⊥AC．
【答案】
证明：∵AE⊥AB，BC⊥AB，
∴∠DAE＝∠CBA＝90°
在Rt△DAE 与Rt△CBA中，
∴Rt△DAE≌Rt△CBA （HL）
∴∠E＝∠CAB
∵∠CAB＋∠EAF＝90°，
∴∠E＋∠EAF＝90°，即∠AFE＝90°
即ED⊥AC．
类型四、反证法
5、用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中（　　）
A. 有一个内角大于60° B. 有一个内角小于60°
C. 每一个内角都大于60° D. 每一个内角都小于60°
【思路点拨】熟记反证法的步骤，然后进行判断即可．．
【答案与解析】解：用反证法证明“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，应先假设三角形中每一个内角都不小于或等于60°，即都大于60°．故选C．
【总结升华】反证法的步骤是：
（1）假设结论不成立；
（2）从假设出发推出矛盾；
（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
类型五、尺规作图
6、用圆规和直尺作图，在∠DEC中找一点P，使点P到∠DEC两边的距离相等，并且到M、N两点的距离也相等（保留作图痕迹）．
【思路点拨】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可知作出∠DEC的平分线与线段MN的垂直平分线，交点即为所求．
【答案与解析】
解：因为点P到∠DEC两边的距离相等，所以点P在∠DEC的角平分线上；
又因为点P到M、N两点的距离，所以点P在MN的垂直平分线上，
因而点P是∠DEC的角平分线和MN的垂直平分线的交点．
所以，点P即为所求作的点．
【总结升华】本题主要考查了角平分线的作法与线段垂直平分线的作法，都是基本作图，需熟练掌握．
举一反三：
【变式】尺规作图是指（　　）
A . 用量角器和刻度尺作图 B . 用圆规和有刻度的直尺作图
C . 用圆规和无刻度的直尺作图 D . 用量角器和无刻度的直尺作图
【答案】C．
类型六、角平分线、线段垂直平分线性质定理与逆定理
7、如图，AD是△ABC的角平分线，EF是AD的垂直平分线．
求证：（1）∠EAD=∠EDA．
（2）DF∥AC．
（3）∠EAC=∠B．
【思路点拨】（1）根据垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等可得到AE=DE，再根据等角对等边可得到∠EAD=∠EDA；
（2）根据线段垂直平分线的性质证明AF=DF，进而得到∠BAD=∠ADF，再利用角平分线的性质可得到∠BAD=∠CAD，利用等量代换可得∠ADF=∠CAD，再根据平行线的判定即可得到DF∥AC；
（3）根据三角形内角与外角的关系可得到结论．
【答案与解析】
证明：（1）∵EF是AD的垂直平分线，
∴AE=DE，
∴∠EAD=∠EDA；
（2）∵EF是AD的垂直平分线，
∴AF=DF，
∴∠BAD=∠ADF，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠ADF=∠CAD，
∴DF∥AC；
（3）由（1）∠EAD=∠EDA，
即∠ADE=∠CAD+∠EAC，
∵∠ADE=∠BAD+∠B，
∠BAD=∠CAD，
∴∠EAC=∠B．
【总结升华】此题主要考查了线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定以及三角形内角与外角的关系，题目综合性较强，但是难度不大，需要同学们掌握好基础知识．
举一反三
【变式】如图，BP是△ABC的外角平分线，点P在∠BAC的角平分线上．
求证：CP是△ABC的外角平分线．
【答案】
证明：过P作三边AB、AC、BC的垂线段PD、PE、PF，
∵BP是△ABC的外角平分线，PD⊥AD，PF⊥BC，
∴PD=PF（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∵点P在∠BAC的角平分线上，PD⊥AD，PE⊥AE，
∴PD=PE（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∴PF=PE，PF⊥BC，PE⊥AE，
∴CP是△ABC的外角平分线（在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上）．
类型七、勾股定理及其逆定理
8、如图所示，在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，∠B＝∠90°，求四边形ABCD的面积．
【答案与解析】
解：连接AC，在△ABC中，
因为∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，
所以，所以AC＝5，
在△ACD中，AD＝13，DC＝12，AC＝5，
所以，
即．
所以△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°．
所以
．
【总结升华】有关四边形的问题通常转化为三角形的问题来解．由AB＝3，BC＝4，∠B＝90°，应想到连接AC，则在Rt△ABC中即可求出△ABC的面积，也可求出线段AC的长．所以在△ACD中，已知AC，AD，CD三边长，判断这个三角形的形状，进而求得这个三角形的面积．而判断△ACD的形状，常考虑能否用勾股定理的逆定理来判断是否是直角三角形．
举一反三：
【变式】如图所示，在△ABC中，∠A＝45°，，，求BC的长．
【答案】
解：过点C作CD⊥AB于D，
则△ACD和△BCD均为直角三角形．
在Rt△ACD中，∠A＝45°，
∴ △ACD为等腰直角三角形，
∴ AD＝CD，
由勾股定理，得．
又∵ ，∴ AD＝CD＝1．
∴ CD＝AB－AD＝．
在Rt△BCD中，
由勾股定理，得，
即，∴ BC＝2．
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