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第十六章 函数及其图象 华东师大版(2024)
16.1 变量与函数（课时2）
一、教学目标
1.结合具体实例，理解函数值的意义，能根据函数关系式求函数值；能依据实际意义或数学式子的限制，确定简单函数中自变量的取值范围.
2.通过分析加法表、等腰三角形、图形重叠等问题中的函数关系，能对变量的变化趋势与取值规律进行初步讨论，提升用函数思想分析实际问题的能力.
3.体会函数在几何、代数等领域的应用，感受“数形结合”与“转化思想”.
二、教学重点及难点
重点：理解函数值的意义，能确定数学式子中自变量的取值范围，会根据函数关系式求函数值；能对变量的变化情况进行初步分析.
难点：在复杂问题中分析变量间的变化规律，建立函数模型.
三、教学过程
【复习导入】回顾变量与函数的核心概念
教师提问：上节课我们认识了变量、常量和函数的概念，谁能说说什么是自变量、因变量？
函数概念的核心特征是什么？实际问题中确定自变量取值范围的关键是什么？
【师生活动】学生自主回答，教师补充订正：在变化过程中，对于自变量的每一个值，因变量有唯一确定的值与之对应，这是函数的核心；实际问题中自变量的取值必须符合实际意义．
教师引出课题：今天我们继续学习函数，探究函数值的意义，进一步掌握自变量取值范围的确定方法．
设计意图：通过复习旧知，唤醒学生对变量、函数核心概念的认知，为本节课函数值、自变量取值范围的深入学习做好铺垫，实现知识的自然衔接．
【探究新知】
探究：确定常见函数的自变量取值范围.
教师提问：我们知道实际问题中自变量取值要符合实际意义，那纯数学式子表示的函数，自变量的取值范围该如何确定？
【师生活动】学生独立思考后小组交流，教师适时进行引导．
教师总结常见函数的自变量取值范围：
类型 特点 举例 取值范围
整式型 等号右边是整式． 全体实数．
分式型 等号右边的自变量在分母的位置上． 使分母不为0的实数．
幂型 等号右边是自变量的零次幂或负整数次幂． 使底数不为0的实数．
实际问题型 根据实际问题列出函数关系式． 使实际问题有意义的实数．
设计意图：从实际问题延伸到纯数学式子，分类梳理自变量的取值规律，让学生掌握不同形式下自变量取值范围的确定方法，突破本节课的重点知识．
【探究新知】
探究：认识函数值并学会求解.
教师提问：1.填写如图所示的 10 以内正整数的加法表，然后把所有填有 10 的格子涂黑，你能发现什么？
【学生活动】学生独立完成加法表填写，将和为 10 的格子（如1+9、2+8、3+7…9+1）涂黑，观察发现：涂黑的格子连成一条斜直线（如图）．
提问：2.把这些涂黑的格子横向的加数用 x 表示，纵向的加数用 y 表示，试写出 y 与 x 之间的函数关系式．
3.当涂黑的格子横向的加数为 3 时，纵向的加数是多少？当纵向的加数为 6 时，横向的加数是多少？
【学生活动】学生观察涂黑格子，找出横向与纵向加数的等量关系，整理得到函数关系式；代入指定数值计算对应结果，在计算中初步感知函数值的意义，小组内核对答案、交流思路．
答案预设：
2.y 与 x 之间的函数关系式是 y=10 x(1x9，且 x 为整数)．
3.当横向的加数为 3 时，纵向的加数是 7；
当纵向的加数为 6 时，横向的加数是 4．
教师讲解函数值的概念：对于一个函数，当自变量 x=a 时，可以求出它对应的 y 的值，我们就说这个值是 x=a 时的函数值．
设计意图：以加法表实际问题为切入点，让学生在具体计算中理解函数值的意义，掌握求函数值的基本方法，落实本节课核心知识点，培养学生的代数运算能力．
【典型例题】
例1. 等腰三角形顶角的度数 是底角度数 的函数，试写出这个函数关系式，并求出自变量 的取值范围．
解：根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理．可知
得
由于等腰三角形的底角只能是锐角，所以自变量 的取值范围是 ．
例2. 如图，已知等腰直角三角形 的直角边长与正方形 的边长均为 与 在同一条直线上，开始时点 与点 重合，让 向右移动，最后点 与点 重合．
（1）试写出两图形重叠部分的面积 与线段 的长度 之间的函数关系式．
（2）当点 从点 开始向右移动 1 cm 时，重叠部分的面积是多少？
解：（1）重叠部分的面积 与线段 的长度 之间的函数关系式为
教师提问：这里自变量 x 的取值范围是什么？
学生回答：0x10．
（2）点 从点 开始向右移动 1 cm，即 ，．当 时，．
所以当点 从点 开始向右移动 1 cm 时，重叠部分的面积是 ．
教师点拨：可以这样说：当自变量 时，函数值 ．
设计意图：以几何情境为载体，引导学生经历“从实际问题中抽象等量关系→建立函数关系式→结合几何意义确定自变量取值范围→代入求值得到函数值”的完整过程，让学生在具体操作中理解函数值的意义，掌握自变量取值范围的确定方法，体会函数在几何问题中的应用．
四、当堂检测
通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知.
五、课堂小结
今天我们学习了哪些知识？
1.常见函数的自变量取值范围：如（1）整式形式：自变量取全体实数；
（2）分式形式：自变量取值保证分母不为 0．
2.函数值：对于一个函数，当自变量 x=a 时，可以求出它对应的 y 的值，我们就说这个值是 x=a 时的函数值．

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