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第十六章 函数及其图象 华东师大版(2024)
16.1 变量与函数（课时1）
一、教学目标
1.经历从具体实例中探索数量关系与变化规律的过程，理解变量、常量的意义，能准确识别具体问题中的变量与常量.
2.了解函数的概念，能结合实例辨析自变量与因变量；掌握函数的三种表示法（解析法、列表法、图象法），会用合适的方法表示问题中变量之间的关系.
3.能结合实际意义，确定简单实际问题中自变量的取值范围，体会函数中“——对应”的思想.
二、教学重点及难点
重点：理解变量、常量、函数的概念；掌握函数的三种表示方法.
难点：理解函数概念中“对于自变量的每一个值，因变量都有唯一确定的值与之对应”的核心含义；在实际问题中准确确定自变量的取值范围.
三、教学过程
【探究新知】
探究：认识变量与常量.
教师提问：世界处在不停的运动变化中，数学上常用变量与函数来刻画各种运动变化规律．请大家一起来研究下面四个问题，思考这些问题中都有哪些数量，这些数量的数值是否发生变化？
问题1：下图是某地一天内的气温变化图．这张气温变化图告诉我们哪些信息？请看图回答：
（1）这天的 6 时、10 时和 14 时的气温分别是多少？任意给出这天中的某一时刻，说出这一时刻的气温．
（2）这一天中，最高气温是多少？最低气温是多少？
（3）这一天中，哪些时段的气温在逐渐升高？哪些时段的气温在逐渐降低？
【师生活动】学生观察图象，逐一回答问题：
（1）6 时气温约1℃，10 时气温约2℃，14 时气温约 5℃；这天中的 21 时，气温是 0℃．
（2）最高气温是 5℃，最低气温是 4℃．
（3）3 时至 14 时的气温在逐渐升高，0 时至 3 时、14 时至 24 时的气温在逐渐降低．
教师引导：时间 t 和气温 T 是两个不断变化的量，气温随时间的变化而变化．
问题2：小蕾在过 14 岁生日的时候，看到了爸爸为她记录的各周岁时的体重，如下表：
观察上表，说一说随着年龄的增长，小蕾的体重是如何变化的？在哪一段时间内体重增加较快？
【师生活动】
学生计算相邻周岁的体重差，发现：体重随年龄增长而增加；在 1 至 2 周岁这一段时间内体重增加较快（增加 4.3kg）．
教师引导：周岁和体重是两个变化的量，体重随年龄的增长而变化．
问题3：收音机刻度盘上的波长和频率分别是用米（ m ）和千赫兹（ kHz ）为单位标刻的．下面是一些对应的数值：
（1）每一列波长 λ 与频率 f 的乘积是多少？你能写出 f 与 λ 的关系式吗？
（2）波长 λ 越大，频率 f 会怎样变化？
教师点拨：大家可能会发现：每一列 与 的对应值的乘积是一个定值，即
或者说 ．
【学生活动】学生通过观察得到：波长越大，频率越小．
教师引导：波长 λ 和频率 f 是两个变化的量，频率随波长变化而变化；300000 是固定不变的量．
问题4：（1）圆的面积随着半径的增大而增大．如果用 r 表示圆的半径，用 S 表示圆的面积，圆的面积 S 与半径 r 的关系式是什么？
学生回答：S=πr2．
（2）利用这个关系式，试求出半径为 1 cm、1.5 cm、2 cm、2.6 cm、3.2 cm 时圆的面积，并将结果填入下表：
半径 1 1.5 2 2.6 3.2
圆面积
【师生活动】学生独立完成列式，得出计算结果：π、2.25π、4π、6.76π、10.24π．
教师引导：半径 r 和面积 S 是两个变化的量，面积随半径增大而增大；π 是固定不变的常量．
教师提问：在上面的问题中，我们研究了一些数量关系，它们都刻画了某些规律．这里出现了各种各样的量，特别值得注意的是出现了一些数值会发生变化的量．例如问题 1 中，刻画气温变化规律的量是时间 t 和气温 T，气温 T 随着时间 t 的变化而变化，它们可以取不同的数值．那么在其他三个问题中，有哪些这样的值？
学生回答：问题 2 中，有周岁和体重；问题 3 中，有周长和频率；问题 4 中，有圆的半径和圆的面积.
教师讲解变量的概念：像这样，在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量．
教师引申出常量的概念：在问题的研究过程中，还有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量．
如问题 3 中的 300000，问题 4 中的 π 等都是常量．
设计意图：选取气温变化、体重增长、波长频率、圆面积这四类典型实例，从图象、表格、解析式三种不同呈现方式出发，引导学生在观察、计算、对比中充分感知“一个量随另一个量变化而变化”的依赖关系，逐步抽象出变量与常量的核心特征，为后续函数概念的建构积累丰富的感性经验．
教师拓展：
变量与常量是相对而言的，判断变量与常量的前提是＂在某一变化过程中＂，因为同一个量在某一变化过程中是常量，而在另一变化过程中可能就是变量，如在 s=vt 中，当 s 一定时，v，t 是变量，s 是常量；当 t 一定时，s，v 是变量，t 是常量．
【探究新知】
探究：认识自变量、因变量与函数.
教师提问：在上述四个实例中，每个问题都有两个变量，它们之间存在怎样的依赖关系？以气温变化问题为例，给定一个时间t的值，能确定唯一的气温T的值吗？其他问题中两个变量也有这样的对应关系吗？
【学生活动】学生小组合作，结合四个实例分析：给定一个变量的值，都能找到另一个变量唯一的对应值；小组代表汇报发现，尝试用自己的语言描述“先变的量”和“随之变化的量”的依赖关系．
教师总结自变量与因变量的概念：
上面各个问题中，都出现了两个变量，它们互相依赖，密切相关．
一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量，例如 x 和 y，对于 x 的每一个值，y 都有唯一的值与之对应，我们就说 x 是自变量，y 是因变量，此时也称 y 是 x 的函数．
教师追问：试说出上面四个问题中的自变量与因变量．
【师生活动】学生独立思考后，依次说出四个实例中的自变量与因变量；教师结合学生回答进行订正，并点拨：自变量取不同值时，因变量的值可以相同，核心是“唯一对应”．
答案预设：
问题1中，自变量是时间 t，因变量是气温 T；问题2中，自变量是周岁，因变量是体重；问题3中，自变量是波长，因变量是频率；问题4中，自变量是圆的半径，因变量是圆的面积.
【探究新知】
探究：函数的表示法与自变量的取值范围.
教师提问：我们已经认识了函数，观察四个实例，它们分别用什么方式表示两个变量之间的函数关系？这些表示方式各有什么特点？
【师生活动】学生观察实例，对比分析表示方式的不同，教师引导学生总结函数的三种表示法：
气温变化问题用图象法表示，能直观看出变量的变化趋势；
体重增长、波长频率问题用列表法表示，能清晰地看出变量的几组对应值；
圆面积问题用解析法（数学式子）表示，能准确表示变量之间的数量关系．
注：函数关系是用表达式表示的，它们又称函数关系式．
教师追问：在实际问题中，自变量的取值可以是任意数吗？比如圆的半径r能取负数吗？
【学生回答】实际问题中自变量的取值要符合实际意义，如圆的半径r表示线段长度，不能为负数和 0，取值范围是一切正实数．
教师总结：研究函数时，必须注意自变量的取值范围，实际问题中的自变量取值范围必须符合实际情境．
设计意图：通过对比四个实例的不同呈现方式，引导学生自主归纳函数的三种表示法（图象法、列表法、解析法），体会各自特点；结合实际情境探究自变量取值范围，强化“取值需符合实际意义或式子有意义”的认知，深化对函数本质的理解．
四、当堂检测
通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知.
五、课堂小结
今天我们学习了哪些知识？
1.变量：在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量．
常量：取值始终保持不变的量，我们称之为常量．
2.自变量与因变量：一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量，例如 x 和 y，对于 x 的每一个值，y 都有唯一的值与之对应，我们就说 x 是自变量，y 是因变量，此时也称 y 是 x 的函数．
3.表示函数关系的方法：解析法、列表法、图象法．
4.自变量的取值范围：实际问题中，自变量的取值必须符合实际意义．

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