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第十六章 函数及其图象 华东师大版(2024)
16.2.2 函数的图象
一、教学目标
1.结合气温曲线等实例，理解函数图象的意义，明确图象上点的坐标与函数对应值的关系；掌握描点法画函数图象的“列表、描点、连线”三步流程，能画出简单函数的图象.
2.能从实际问题的函数图象中提取变量信息，分析变量间的变化规律，解答简单的实际问题.
3.体会函数图象在实际生活中的应用价值，增强用数学模型解决实际问题的意识.
二、教学重点及难点
重点：理解函数图象的意义；掌握描点法画简单函数图象的步骤，规范运用描点法绘制函数图象.
难点：能从实际问题的函数图象中提取信息并解答问题，准确理解实际问题中函数图象的实际意义，分析变量间的变化关系并解决综合问题.
三、教学过程
【探究新知】
探究：理解函数图象的意义.
教师提问：在 16.1 节的气温变化问题中，我们能从气温曲线上找到各个时刻的气温，大家说说具体是怎么找的？比如上午 10 时的气温，在图中是如何体现的？
学生结合经验回答：先在横轴找到表示 10 时的点，再看对应纵轴的气温数值，上午 10 时的气温是 2 ℃，在图中对应坐标为 (10，2) 的点．
教师讲解：下图中，有一个平面直角坐标系，它的横轴是 t 轴，表示时间；它的纵轴是 T 轴，表示气温．这一气温曲线实际上给出了某日的气温 T ℃ 与时间 t(h) 之间的函数关系．
教师提问：气温曲线上每一个点的坐标 (t，T)，表示时间为 t(h) 时的气温是 T (℃)．“早上 6 点的气温是零下 1℃”，在图中体现在哪里？同学们找一找．
学生回答：用坐标为(6， 1) 的点来表示，如图．
教师追问：气温曲线是用图象表示函数关系的一个实际例子．
那么，什么是函数的图象呢？
【学生活动】学生结合气温曲线的实例，交流讨论，尝试用自己的语言描述函数图象的含义：函数图象是由平面直角坐标系里的点组成的，每个点的坐标都对应一组自变量和函数值．
教师总结函数图象的概念：一般来说，函数的图象是由平面直角坐标系中一系列的点组成的．
图象上每一点的坐标 (x，y) 表示函数的一对对应值，它的横坐标 x 表示自变量的某一个值，纵坐标 y 表示与该自变量对应的函数值．
教师拓展：
1.函数图象上任意一点 P(x，y) 都满足函数关系；
2.满足函数关系的任意一对有序实数 (x，y) 所对应的点一定在函数的图象上．
【典型例题】掌握描点法画函数图象的步骤．
例1. 画出函数 的图象．
教师提问：要画出它的图象，第一步我们需要做什么？
学生思考后回答：需要先选取一些自变量 x 的值，计算出对应的函数值 y．
教师点拨：要画出一个函数的图象，关键是要画出图象上的一些点，为此，首先在自变量的取值范围内，适当取一些自变量的值，并求出对应的函数值．
解：取自变量 的一些值，例如 ，计算出对应的函数值．为表达方便，可列表如下：
3 2 1 0 1 2 3
4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5
由这一系列的对应值，可以得到一系列的有序实数对：
．
在平面直角坐标系中，描出这些有序实数对（坐标）的对应点，如图所示．
通常，用光滑曲线依次把这些点连起来．便可得到这个函数的图象，如图所示．
教师提问：结合刚才画图的完整过程，大家可以总结一下，画函数图象的这种方法具体分为哪几步？
【学生活动】学生回顾操作流程，互相交流后总结：这里画函数图象的方法，可以概括为列表、描点、连线三步，通常称为描点法．
设计意图：通过递进式问题引导学生自主梳理描点法的完整流程，结合具体函数动手实践，让学生在操作中理解每一步的目的与规范，既掌握画图技能，又体会“由数到形”的数形结合思想．
教师拓展：用描点法画函数图象的一般步骤
步骤 描述 注意
列表 在自变量的取值范围内，适当取一些自变量的值，并求出对应的函数值． 根据自变量的取值范围取值时，要从小到大或自中间向两边选取，并且取值要有代表性．
描点 由表中数值得到一系列的有序实数对，在平面直角坐标系中，描出这些有序实数对（坐标）的对应点． 描点时取点越多，图象就越准确．
连线 用光滑曲线依次把这些点连起来． 连线时用光滑的曲线，不要出现明显的拐弯点．
【典型例题】从函数图象中提取信息解决实际问题．
教师：我们已经学会画函数图象，更重要的是能运用图象解决实际问题．以小强和爷爷爬山的问题为例，让我们一起来分析这道题．
例2. 爷爷和小强经常一起进行早锻炼，主要活动是爬山．有一天，小强让爷爷先上山，然后追赶爷爷，两人都爬上了山顶．图中的两条线段分别表示小强和爷爷离开山脚的距离 y(m)与爬山所用时间 x(min) 之间的函数关系（从小强开始爬山时计时）．
【师生活动】看图回答下列问题：（1）大家观察图象，说说小强让爷爷先上山了多少米？
学生观察图象回答：当 x=0 时，爷爷对应的 y 值是 60 米，说明小强开始爬山时，爷爷已经上山 60 米，即先上山 60 米．
（2）山顶离山脚的距离有多少米？从图象中怎么判断谁先爬上山顶？
学生分析：图象中 y 的最大值是 300 米，即山顶离山脚 300 米；小强到达 300 米对应的时间比爷爷短，所以小强先爬上山顶．
教师继续提问（3）：小强在爬山后第几分钟赶上爷爷？这时距山脚的距离是多少？如何从图象中找到这个信息？
学生回答：两条线段的交点对应的横坐标是 8，纵坐标是 240，说明小强爬山 8 分钟后赶上爷爷，这时距山脚 240 米．
教师总结：解决此类问题的关键是找准图象中关键点的坐标，理解横、纵坐标的实际意义，交点坐标表示两个变量在此时取到相同的值．
设计意图：结合爬山的实际问题，通过层层递进的提问，引导学生学会从函数图象中提取关键点、交点的信息，理解坐标的实际意义，掌握运用图象解决实际问题的方法，提升学生的图象分析能力和知识应用能力．
【课堂互动】
教师提问：同学们动手试一试，画出 16.1 节例2（1）中函数的图象，并结合图象指出重叠部分面积的最大值．
【师生活动】
学生独立完成“列表、描点、连线”的画图操作，教师巡视，对画图不规范的学生进行个别指导．学生完成画图后，观察自己画出的函数图象，找出图象中纵坐标的最大值，回答重叠部分面积的最大值；同桌之间互相交流，核对答案．
教师选取学生的画图成果进行展示点评，肯定正确做法，纠正典型错误，强调结合实际问题理解函数图象的取值范围和最值意义．
答案预设：
列表如下：
0 2 4 6 8 10
0 2 8 18 32 50
描点、连线，得这个函数的图象(如图所示)．由图象可知，重叠部分面积的最大值是 50 cm2.
四、当堂检测
通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知.
五、课堂小结
今天我们学习了哪些知识？
1.函数图象的概念：一般来说，函数的图象是由平面直角坐标系中一系列的点组成的．
图象上每一点的坐标 (x，y) 表示函数的一对对应值，它的横坐标 x 表示自变量的某一个值，纵坐标 y 表示与该自变量对应的函数值．
2.描点法画函数图象的步骤：列表、描点、连线．
3.从函数图象中提取信息解决实际问题．

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