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第十六章 函数及其图象 华东师大版(2024)
16.3.4 求一次函数的表达式
一、教学目标
1.理解待定系数法的意义，能根据已知条件设出一次函数的解析式，列方程组求出k、b的值，掌握用待定系数法求一次函数表达式的步骤.
2.结合实际问题情境，能通过分析数量关系选取合适的已知条件，求出一次函数解析式，并能利用表达式解决简单的实际问题.
3.体会建模思想，提升分析问题、解决问题的能力，发展数学应用意识.
二、教学重点及难点
重点：掌握用待定系数法求一次函数表达式的方法和步骤，能根据已知条件求出一次函数的解析式.
难点：理解待定系数法的本质，能根据实际问题中的数量关系，灵活选取已知条件列方程组求解一次函数表达式.
三、教学过程
【复习导入】
教师提问：同学们，前面我们学习了一次函数的相关知识，谁能说一说：
一次函数的一般表达式是什么？
已知一次函数的表达式，我们可以用什么方法画出它的图象？
【学生活动】
学生 1 回答：一次函数的一般表达式是y=kx+b (k≠0)．
学生 2 回答：可以用两点法画出一次函数的图象，取图象与x轴、y轴的交点即可．
教师追问：反过来，如果我们不知道函数表达式，只知道它的图象经过两个点，或者知道它的两组对应值，能不能求出它的表达式呢？
学生 3 思考后回答：可能可以，把点的坐标代入表达式，就能求出k和b．
教师顺势引出课题：今天我们就来学习如何根据已知条件，求出一次函数的表达式，也就是待定系数法．
设计意图：通过回顾“已知表达式画图象”的正向过程，提出“已知图象/对应值求表达式”的逆向问题，激发学生的探究兴趣，同时为待定系数法的引入做好铺垫，自然引出本节课的学习主题．
【典型例题】探究：待定系数法.
教师：下面，让我们一起来看一道例题，共同研究．
例4 世界大部分国家都采用摄氏温标预报天气，但美国、英国等国家则采用华氏温标．在研究性学习活动中，某小组同学查阅到以下资料：
在 1 标准大气压下，把冰水混合物的温度视定为 0 摄氏度，记作 0℃；把沸水的温度规定为 100 摄氏度，记作 100 ℃．
在 1 标准大气压下，把冰水混合物的温度规定为 32 华氏度，记作 32 ℉；把沸水的温度规定为 212 华氏度，记作 212 ℉．
设某一时刻温度计上的华氏温度为 y ℉，摄氏温度为 x ℃，已知 y 是 x 的一次函数，试写出这个一次函数的表达式．
教师点拨：已知 y 是 x 的一次函数，函数的表达式可写成 y=kx+b (k≠0) 的形式，问题就转化为求 k 和 b 的值．
【师生活动】
学生独立审题，根据教师的点拨，从题目给出的两个温度对应值中，提取出两组x、y的对应关系：当x=0时，y=32；当x=100时，y=212，并讨论如何利用这两组数据求k和b．
教师引导学生分别将它们代入函数的表达式 y=kx+b，得到关于 k 和 b 的二元一次方程组，进而求出 k 和 b 的值．
解：设所求一次函数的表达式为 ，根据题意，得
解这个方程组，得
所以，所求一次函数的表达式为
教师讲解：这种先设待求函数的表达式（其中含有待定系数），再根据条件列出方程或方程组，求出待定系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法．
设计意图：通过实际生活中的温度转换问题，让学生亲历待定系数法的完整解题过程，从“设—代—解—写”四个步骤中，理解待定系数法的意义和操作流程，体会数学与现实生活的联系．
【课堂互动】
教师提问：想一想，式中的一次项系数 1.8 和常数项 32 有怎样的实际意义？
【师生活动】学生独立思考，小组内交流讨论．
学生代表汇报：在求得的函数的表达式中，一次项系数 1.8 表示摄氏温度 x 每增加 1 摄氏度时华氏温度增加的度数，常数项 32 表示摄氏温度为 0 摄氏度时所对应的华氏温度的度数．
教师点评补充：非常好！这说明一次函数中的k和b，在实际问题中往往都有具体的实际意义，我们要学会结合情境去理解它们．
教师提问：大家做一做下面这道题．
已知一次函数 y=kx+b 的图象经过点 ( 1，1) 和点 (1， 5)，求当 x=5 时的函数值．
【师生活动】学生独立完成解题，教师巡视指导，纠正学生的解题步骤和书写格式．
教师选取学生的解题过程进行展示点评，强调：
设表达式时，不要漏写k≠0；
代入点的坐标时，要注意对应关系，不要把x和y弄混；
解完方程组后，一定要把k和b的值代回所设表达式，再求函数值．
答案预设：
解：因为一次函数 的图象经过点 和点 ，
所以 解得
所以这个一次函数的表达式为 ．
当 时，．
设计意图：通过即时练习，让学生巩固待定系数法的解题步骤，规范书写格式，强化对方法的掌握，同时为后续的讨论环节做好铺垫．
教师提问：（1）在上页的“做一做”中，已知条件是一次函数图象上两个点的坐标，它反映了自变量 x 与因变量 y 的值之间怎样的对应关系？
学生回答：已知条件中两个点的坐标反映了当 x= 1 时，y=1；当 x=1 时，y= 5．
教师提问：（2）题目中并没有要求写出函数的表达式，解题时却通常首先求出函数的表达式，它在这里起了什么作用？
【学生活动】学生独立思考后小组交流，明确两点坐标是两组x，y对应值，与关系式有关．
教师讲解：虽然题目中并没有要求写出函数表达式，但是因为要求当 x=5 时的函数值，需要知道 y 与 x 之间的关系，所以需先求出函数表达式．
教师拓展：用待定系数法求一次函数表达式所需的条件
类型 函数表达式 待定系数 所需的条件
正比例函数 已知函数图象上一点（非原点）的坐标
一次函数 已知函数图象上两点的坐标
一次函数的表达式与图象之间可以双向转化：已知一次函数表达式y=kx+b (k≠0)，可选取满足条件的两点画出对应的直线图象；反之，已知一次函数的图象，也可通过选取图象上的两点，求出对应的函数表达式．
【归纳总结】用待定系数法确定一次函数表达式的步骤
教师提问：结合刚才的例题和练习，谁能归纳一下，用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤？
【师生活动】学生尝试归纳，教师补充完善并板书：
设：设出所求的表达式，正比例函数设为 y=kx(k≠0) ，一次函数设为 y=kx+ b(k≠0)；
列：把一组（正比例函数时）或两组（一次函数时）函数图象上点的坐标或满足表达式的 x，y 的值代入所设表达式，得到方程或方程组；
解：解方程（组），求出关于待定系数的方程（组）的解；
写：将所求得的系数的值代回所设的表达式，写出表达式．
教师引导学生齐读步骤，加深记忆．
四、当堂检测
通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知.
五、课堂小结
今天我们学习了哪些知识？
1.待定系数法：先设待求函数的表达式（其中含有待定系数），再根据条件列出方程或方程组，求出待定系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法．
2.用待定系数法确定一次函数表达式的步骤．

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