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第十六章 函数及其图象 华东师大版(2024)
16.4.1 反比例函数
一、教学目标
1.结合实际问题，经历反比例函数概念的形成过程，理解反比例函数的意义，能识别反比例函数的表达式形式.
2.能根据实际问题中的数量关系，列出反比例函数的解析式，并能结合实际背景确定自变量的取值范围.
3.体会函数模型思想，提升分析实际问题中变量关系的能力，发展数学应用意识.
二、教学重点及难点
重点：理解反比例函数的概念，掌握反比例函数的表达式形式，能根据实际问题列出反比例函数解析式.
难点：理解反比例函数的本质特征，结合实际情境准确确定反比例函数自变量的取值范围.
三、教学过程
【探究新知】
探究：反比例函数概念.
教师提问：我们来看教材中的两个实际问题，请大家根据题意，列出函数关系式．
问题 1 甲、乙两地相距 120 km，汽车从甲地匀速驶往乙地．显然，汽车的行驶时间由行驶速度确定，时间是速度的函数，试写出这个函数关系式．
教师点拨：和其他实际问题一样，要探求两个变量之间的关系，应先选用适当的符号表示变量，再根据题意列出相应的函数关系式．
【学生活动】学生独立审题，根据公式“时间=路程÷速度”，列出式子，并与同伴进行交流．
答案预设：
解：设汽车行驶的速度是 v km/h，从甲地到乙地的行驶时间是 t h．
因为在匀速运动中，时间=路程÷速度，所以．①
问题 2 学校课外生物小组的同学准备自己动手，用旧围栏建一个面积为 24 m2 的长方形饲养场．设它的一边长为 x(m)，求另一边的长 y(m)与 x 之间的函数关系式．
【学生活动】学生独立思考后回答：根据长方形的面积公式“长方形面积=长×宽”，可知xy=24，所以．②
设计意图：从学生熟悉的行程问题和几何问题出发，让学生经历“实际问题→数学建模→函数关系式”的过程，感知反比例函数的来源，为抽象概念做好铺垫．
教师提问：请大家观察我们列出的两个函数关系式和，它们有什么共同点？又有什么共同的结构形式？
【师生活动】学生小组讨论，观察式子的结构、变量关系：
学生1：这两个函数关系式都是 的形式．
学生2：两个变量的乘积是一个定值（tv=120，xy=24）．
学生3：对于问题 1 的自变量 的取值范围是 ，问题 2 自变量的取值范围是 ，自变量的取值范围都一样．
教师讲解反比例函数的概念：
上述函数关系式都具有 的形式．一般地，形如 是常数， 的函数叫做反比例函数．
问题 1 和问题 2 中得到的函数，都是反比例函数．
教师追问：反比例函数中，自变量 x 的取值范围是什么？为什么？
学生回答：x≠0．因为 x 在分母上，分母不能为 0，所以自变量取值范围是不等于 0 的一切实数（实际问题中为正数）．
设计意图：通过对比两个实际函数关系式，引导学生从特殊到一般，归纳出反比例函数的共同特征，抽象出函数概念，培养学生的归纳概括能力和抽象思维能力；同时强调自变量取值范围，让学生理解函数的现实意义．
【探究新知】
探究：反比例函数的等价形式.
教师提问：反比例函数的基本形式是，它还有哪些等价的表达形式呢？我们可以从等式的变形来思考．
【师生活动】学生结合等式性质，自主推导：
由 是常数， 变形得 是常数，；
由 是常数， 变形得 是常数，．
教师强调：这三种形式是等价的，解题时可根据需要灵活选择，但要注意k≠0这一关键条件，同时区分反比例函数 与正比例函数 y=kx 的形式差异．
设计意图：通过等式变形，让学生全面认识反比例函数的表达形式，拓宽认知，避免局限于单一形式，同时通过对比，强化对反比例函数特征的记忆．
教师拓展：反比例关系与反比例函数的区别和联系
反比例关系 反比例函数
区别 如果 为常数，，那么 与 这两个量成反比例关系，这里 和 既可以代表单项式，也可以代表多项式．例如：若 与 成反比例，则 为常数，． 形如 为常数， 的函数．
联系 成反比例关系不一定是反比例函数，但反比例函数中的两个变量一定成反比例关系．
【拓展探究】用待定系数法求反比例函数表达式的一般步骤
教师提问：我们知道，求一次函数表达式需要用待定系数法，那么反比例函数表达式应该如何求呢？它的步骤和一次函数有什么异同？请大家结合反比例函数的定义，小组讨论归纳求表达式的步骤．
【学生活动】学生回顾反比例函数的一般形式 (k≠0)，结合一次函数待定系数法的经验，自主思考解题流程；
小组内交流讨论，类比“设、代、解、写”的流程，尝试归纳反比例函数的求解步骤；小组代表分享思路．
教师点拨：同学们总结得非常好！我们把这个方法归纳为四步：
设：根据题意，设出反比例函数的一般形式 (k≠0)；
代：把一组 x，y 的对应值代入反比例函数的表达式；
解：解出常数 k；
写：把 k 的值代回所设表达式，写出该函数的表达式．
四、当堂检测
通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知.
五、课堂小结
今天我们学习了哪些知识？
1.反比例函数的概念：一般地，形如 是常数， 的函数叫做反比例函数．
2.反比例函数的等价形式．
3.用待定系数法求反比例函数表达式的一般步骤．

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