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第十六章 函数及其图象 华东师大版(2024)
16.4.2 反比例函数的图象和性质
一、教学目标
1.理解反比例函数图象的画法，能利用描点法画出反比例函数的图象，知道其图象是双曲线，掌握反比例函数图象的基本特征.
2.能结合反比例函数的图象，归纳并掌握当k>0和k<0时，函数的增减性与图象分布象限的性质，理解“在每个象限内”的含义.
3.会用待定系数法求反比例函数的表达式，体会数形结合的数学思想，提升观察、分析和归纳的能力.
二、教学重点及难点
重点：掌握反比例函数图象的画法，理解反比例函数的图象特征；掌握反比例函数的性质，能根据k的符号判断图象的分布象限和增减性.
难点：理解反比例函数增减性中“在每个象限内”的含义，能灵活运用反比例函数的性质解决相关问题.
三、教学过程
【探究新知】
探究：反比例函数的图象.
教师提问：上节课我们学习了反比例函数，谁能说一说：反比例函数的一般形式是什么？
学生：反比例函数的一般形式是 是常数，．
教师追问：我们之前学过的一次函数的图象是一条直线，那反比例函数的图象也会是一样吗？试用描点作图法画出上节问题 2 中函数的图象．
【学生活动】学生回忆描点法步骤，以为例，选取正数 x 值（如 2、3、4、6、8、12），计算对应 y 值，完成列表；
在平面直角坐标系中，根据表格中的有序数对描点，再用光滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象；
同桌互相检查画图过程，交流画图中遇到的问题，如取值不全、连线不光滑等，并进行修正．
答案预设：
列表：选取一些正数x，计算对应的y值．
2 3 4 6 8 12
12 8 6 4 3 2
描点、连线，如图所示．
教师顺势引出课题：在上面练习题中，我们画出了问题 2 中函数 的图象，发现它并不是直线．那么它是怎样的曲线呢？现在我们来考察反比例函数的图象，探究它有什么性质．
设计意图：通过回顾反比例函数概念和一次函数图象，引发认知冲突，激发学生探究反比例函数图象的兴趣；让学生初步感知反比例函数的图象特征，为后续探究双曲线的图象和性质奠定基础．
【典型例题】
教师：现在让我们一起来看一道例题．
例1. 画出函数 的图象．
解：这个函数中，自变量 的取值范围是不等于 0 的一切实数，列出 与 的对应值表：
-6 -3 -2 -1 1 2 3 6
-1 -2 -3 -6 6 3 2 1
由这些有序实数对，先在平面直角坐标系中描出相应的点 ( 6， 1)、( 3， 2)、( 2， 3) 等，再用光滑曲线分别将第一象限和第三象限内的各点依次连起来，就得到反比例函数的图象，如图所示．
教师提问：同学们思考一下，（1）为什么不能将所有这些点用一条曲线连起来？
（2）这两条曲线会与 x 轴、y 轴相交吗？为什么？
【学生活动】学生按照上述步骤独立画出的图象，再小组讨论两个问题：分析点的分布与函数解析式，得出“图象分两支、不能用一条曲线连接，且不与坐标轴相交”的结论，最后全班交流完善．
答案预设：
（1）因为在函数表达式中，分母 ，且 ，因此图象不能与坐标轴相交，所以不能将第一、三象限内的所有点用一条曲线连起来．
（2）不会相交．在 中，因为 ，所以曲线不与 轴相交；因为 ，所以曲线不与 轴相交．
教师讲解反比例函数的图象：
反比例函数的图象有两支，通常称为双曲线．
设计意图：通过一系列递进式问题，引导学生主动思考画图过程中的关键细节，再让学生亲历 “列表—描点—连线”的全过程，自主发现反比例函数图象的“双曲线”特征，以及不与坐标轴相交、分两支的特点，培养学生的动手能力和观察能力．
教师提问：结合刚才画和 图象的过程，大家想一想，用描点法画反比例函数图象的步骤是什么？
【师生活动】学生结合画图过程，自主归纳画反比例函数的步骤，教师根据学生的回答进行补充并板书：
画法：
列表：一般情况下，对自变量 x 取三对（或三对以上）互为相反数的数，并求出相应的 y 值，列出表格．
描点：以表中 x 与 y 的各对对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点．
连线：用光滑的曲线将各点依次连结起来．
【探究新知】
探究：反比例函数的性质.
教师提问：试一试，画出函数 的图象．
【学生活动】学生按步骤列表、描点、连线，画出图象．
答案预设：
这个函数中，自变量 的取值范围是不等于 0 的一切实数，列出 与 的对应值表：
-6 -3 -2 -1 1 2 3 6
1 2 3 6 -6 -3 -2 -1
描点、连线，如图所示：
教师提问：大家对比和的图象，思考：
（1）函数图象在哪两个象限？和的图象有什么不同？
学生思考后回答：函数 的图象在第二、四象限，和函数 的图象所在的象限不同，在每一象限内，曲线从左向右上升或下降的变化趋势不同．
（2）反比例函数的图象在哪两个象限，由什么决定？
【学生活动】学生结合两个图象的差异，小组讨论后得出：图象所在象限由 k 的符号决定，k>0 时图象在一、三象限，k<0 时图象在二、四象限．
（3）试由所画出的两个函数的图象，总结一下反比例函数的变化规律：随着自变量 x 的增大，函数值 y 将怎样变化？
【师生活动】学生观察两个图象的升降趋势，归纳得出：当 k>0 时，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小；当 k<0 时，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大；小组代表分享结论，教师适时进行补充完善．
教师讲解反比例函数的性质：
反比例函数 有下列性质：
（1）若 k>0，函数的图象在第一、三象限，如左图，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是说，当 x>0 (或 x<0) 时，y 随 x 的增大而减小；
（2）若 k<0，函数的图象在第二、四象限，如右图，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是说，当 x>0 (或 x<0) 时，y 随 x 的增大而增大．
设计意图：通过让学生动手画出两个不同 k 值的反比例函数图象，再进行对比探究，让学生直观地感知 k 的符号对图象位置和增减性的影响，由特殊到一般，归纳出反比例函数的性质，体现数形结合的思想．
【课堂互动】
教师：上述性质在本节问题 1 和问题 2 中反映了怎样的实际意义？
【师生活动】学生结合实际问题思考，小组交流：
问题 1：路程 s=120 km 固定，速度 v 越大，时间 t 就越小，这对应了 k>0 时，y 随 x 的增大而减小的性质；
问题 2：长方形面积 S=24 m2 固定，一边长 x 越大，另一边长 y 就越小，同样对应了 k>0 时的增减性．
教师点评：非常好！这说明反比例函数的性质不是凭空而来的，它反映了现实生活中两个变量之间的反比例变化关系．
教师提问：我们在描述反比例函数的增减性时，和一次函数不同，必须强调“在每个象限内”，这是为什么呢？我们能不能说“当 k>0 时，y 随 x 的增大而减小”？请大家结合图象举例说明．
【师生活动】学生小组讨论，结合图象思考：反比例函数的图象是两支独立的曲线，被坐标轴隔开，不是连续的．
学生举例反驳：比如，当 x= 2 时，y= 3；当 x=2 时，y=3．虽然 x 增大了，但 y 也增大了，所以不能笼统地说 y 随 x 的增大而减小，必须加上“在每个象限内”的前提．
教师总结：一次函数的图象是一条连续的直线，在全体实数范围内单调性一致，无需限定象限；
反比例函数的图象是两支独立的双曲线，增减性是分象限讨论的，不能跨象限比较，这一点和一次函数完全不同，大家一定要注意．
设计意图：通过对比一次函数的增减性，引发学生的认知冲突，再通过举例辨析，让学生真正理解“在每个象限内”的必要性，突破本节课的教学难点，培养学生严谨的数学思维．
【典型例题】
例2. 已知 是 的反比例函数，当 时，，求这个反比例函数的表达式．
教师点拨：我们在学习一次函数时，已经学会了应用待定系数法求一次函数的表达式．同样，我们可以用待定系数法求这个反比例函数的表达式．
解：设这个反比例函数的表达式为（其中 为待定系数）．
已知当 时，，可得．
可以求得 ．
所以这个反比例函数的表达式是．
设计意图：通过类比一次函数的待定系数法，引导学生自主迁移知识，掌握求反比例函数表达式的方法，落实基本技能．
教师拓展：利用反比例函数解决实际问题的一般步骤
审：审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系；
设：根据常量与变量之间的关系，设出函数表达式，待定的系数用字母表示；
列：由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数；
写：写出函数表达式，并注意表达式中自变量的取值范围，用反比例函数的图象与性质解决问题．
四、当堂检测
通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知.
五、课堂小结
今天我们学习了哪些知识？
1.反比例函数的图象：反比例函数的图象有两支，通常称为双曲线．
2.反比例函数的性质．
3.利用反比例函数解决实际问题的一般步骤．

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