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第十六章 函数及其图象 华东师大版(2024)
16.5 实践与探索（课时1）
一、教学目标
1.结合具体情境，经历从实际问题中抽象出一次函数模型的过程，理解一次函数与二元一次方程（组）的内在联系，能说出一次函数图象交点与二元一次方程组解的对应关系.
2.能根据一次函数的图象，求出二元一次方程组的解，会利用一次函数图象分析实际问题中的数量关系，解决收费、方案选择等简单实际问题.
3.体会数形结合的数学思想，提升从函数图象中获取信息、分析问题和解决问题的能力，感受一次函数的应用价值.
二、教学重点及难点
重点：一次函数与二元一次方程（组）的联系；利用一次函数图象求二元一次方程组的解.
难点：理解一次函数图象交点的几何意义与代数意义的对应关系；从实际问题中抽象出一次函数模型，利用图象信息分析和解决方案选择类问题.
三、教学过程
【复习导入】
教师提问：我们之前学过一次函数，谁能说一说一次函数的一般形式是什么？
二元一次方程组的解法有哪些？
一次函数和二元一次方程（组）之间会不会有什么联系呢？
【师生活动】学生回忆并回答：一次函数的一般形式是y=kx+b（k≠0）；二元一次方程组的解法有代入消元法和加减消元法；
学生对一次函数和二元一次方程（组）的联系进行猜测，引发探究兴趣．
教师顺势引出课题：今天我们就来探索一次函数与二元一次方程（组）的联系，并利用它们解决实际问题．
设计意图：通过回顾旧知，搭建知识桥梁，引发认知冲突，激发学生的探究兴趣，明确本节课的学习方向．
【探究新知】
探究：一次函数与二元一次方程组的关系.
教师提问：
问题1 某单位准备印制一批证书．当地有甲、乙两个印刷厂，它们的印制质量都很好．甲厂收费分为制版费和印刷费两部分；乙厂不收制版费，直接按印刷数量收费，当印刷证书超过 2 千本时单价有优惠．甲、乙两厂的收费 y（千元）关于印制的证书数量 x（千本）的函数图象如图所示．
（1）根据图象回答：
①甲厂的制版费及印刷费单价各是多少？
②印制证书多少本时，两厂实际收费相同？
③当印制证书 8 千本时，选择哪个印刷厂比较划算？
【学生活动】学生独立观察图象，分析获取信息：
①由图象与 y 轴交点 (0，1)，得出甲厂制版费为 1 千元；
再根据图象计算，当 x=2 时，y=2，算出印刷费单价为 (2 1)÷2=0.5千元/千本．
②观察两函数图象的交点，发现交点横坐标为 1 和 6，得出印制 1 千本或 6 千本时，两厂收费相同．
③观察 x=8 时的图象位置，发现乙厂图象更低，因此印 8 千本时选乙厂更划算．
（2）如果甲厂想把 8 千本证书印制的订单争取到手，在不降低制版费的前提下，印刷费部分的单价至少应降低多少？
【学生活动】学生读题分析题意，小组交流解题关键，建立方程求解，梳理建模思路．
答案预设：
解：当印刷证书 6 千本时，甲厂收费 （千元），此时乙厂也收费 4 千元，当印刷证书超过 2 千本时，
设乙厂收费 （千元）关于印制的证书数量 （千本）的关系式为 ．
将 分别代入 ，得 解得
∴，∴当 时，．
甲厂想把 8 千本印制订单争取到手，则收费应不高于乙厂，
则单价应不高于（千元／千本），
∴印刷部分的单价至少应降低 （千元／千本）．
教师提问：大家思考：（1）“收费相同”在图象上怎样反映出来？
（2）如何在图象上看出收费的多少？
学生讨论后回答：“收费相同”对应两个函数图象的交点；
在图象上，点的位置越高，对应的函数值就越大，收费就越多；反之，点的位置越低，对应的函数值就越小，收费就越少．
教师讲解一次函数与二元一次方程组的关系：
我们看到，两个一次函数图象的交点处，自变量和对应的函数值同时满足两个函数关系式．而这两个函数关系式可以看成关于 x、y 的两个方程，所以交点的坐标就是这两个方程组成的方程组的解．
教师：例如，图中的两条直线 和 ，同学们，它们的交点坐标是多少？
学生：(2， 1)．
教师：方程组 的解是多少？
学生思考后回答：
教师：所以这两个函数图象交点的坐标就是这个方程组的解.
教师归纳：一次函数与二元一次方程组的关系可以梳理为以下对应关系：
相互转化关系：两个一次函数 y=k1x+b1，y=k2x+b2，可以与二元一次方程组 相互转化．
一一对应关系：两个一次函数图象的交点坐标，与对应二元一次方程组的解一一对应．
设计意图：通过具体的例子，让学生经历“观察—猜想—验证—归纳”的过程，抽象出一次函数与二元一次方程组的核心关系，突破本节课的重点，渗透数形结合的数学思想．
教师拓展：一次函数与二元一次方程的关系
相互转化关系：一次函数 y=kx+b 与二元一次方程 y kx=b 可以相互转化．
一一对应关系：一次函数 y=kx+b 图象上点的坐标，与二元一次方程 y kx=b 的解一一对应．
【典型例题】
例 利用一次函数的图象，求二元一次方程组 的解．
教师点拨：方程组中第一个方程已经是一次函数的形式，第二个方程可变形为一次函数的形式：．
解：如图，分别作出一次函数 和的图象，得到它们的交点坐标 ，即方程组的解为
设计意图：通过例题让学生掌握利用图象法解二元一次方程组的方法，规范解题步骤，落实基本技能，同时让学生体会到数形结合思想在解决数学问题中的应用．
教师归纳：用图象法求二元一次方程组的解的一般步骤
（1）变函数：把方程组 中的方程化为一次函数 ．
（2）画图象：建立一个平面直角坐标系，画出两个一次函数的图象．
（3）找交点：由图象确定两直线交点的坐标．
（4）写结果：依据点的坐标写出方程组的解．
四、当堂检测
通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知.
五、课堂小结
今天我们学习了哪些知识？
1.一次函数与二元一次方程组的关系．
2.一次函数与二元一次方程的关系．

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