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第十七章 平行四边形 华东师大版(2024)
17.1 平行四边形的性质（课时1）
一、教学目标
1.经历从生活实例中抽象出平行四边形的过程，认识平行四边形，理解并掌握其“两组对边分别平行”的基本特征，能准确识别平行四边形.
2.经历通过动手操作、中心对称变换探究平行四边形边角关系的过程，探索并证明平行四边形的性质定理 1、2，能运用这些性质解决简单的计算和证明问题.
3.结合方格图的实践操作，理解平行线之间距离的概念，掌握“平行线之间的距离处处相等”的性质，能度量两条平行线之间的距离，体会转化与数形结合的数学思想.
二、教学重点及难点
重点：平行四边形的定义；平行四边形的性质定理1、2；平行线之间距离的概念与性质.
难点：平行四边形性质定理的探索与证明过程；利用平行四边形的性质解决相关的证明与计算问题.
三、教学过程
【探究新知】
探究：平行四边形的概念.
教师提问：同学们，在我们的生活中，很多物体的表面都呈现出平行四边形的形状，比如教室里的讲台面、课桌面、教科书面、书柜面，甚至小区里的停车区域．
大家回忆一下，根据平行四边形的特征，从下面这些图形中找出平行四边形．
学生观察后指出：图②和图⑤是平行四边形，图①只有一组对边平行，另一组不平行，这种四边形叫做梯形．
教师讲解平行四边形的定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
平行四边形用“ ”表示，如图，平行四边形 ABCD 记作“ ABCD”．
注：平行四边形的定义既可作平行四边形的性质定理，又可作平行四边形的判定定理．
教师引导学生明确：根据定义，平行四边形的一个基本性质是两组对边分别平行，由此可推出相邻两个内角互补．
教师：“除此之外，平行四边形还有什么性质呢？”引出本节课的探究主题．
大家根据定义，按照下列步骤，动手尝试作一个平行四边形．
【师生活动】教师出示教材中的作图步骤，边讲解边示范：
作法：
（1）任意作一条直线 m；
（2）在直线 m 上任取点 A，在直线 m 外任取点 B，连结 AB；
（3）过点 B 作直线 m 的平行线 n，在直线 n 上任取点 C；
（4）过点 C 作直线 AB 的平行线，交直线 m 于点 D．
四边形 ABCD 即为所要求作的平行四边形．
学生按步骤动手作图，教师巡视指导，纠正作图中的问题．
设计意图：通过动手作图，让学生直观感受平行四边形的定义，加深对“两组对边分别平行”的理解，为后续性质探究奠定基础．
【探究新知】
探究：平行四边形的性质.
教师：如图，用剪刀把 ABCD 剪下，放在另一张纸上，并沿 ABCD 的边沿，画出一个四边形，记为 EFGH．则四边形 EFGH 和 ABCD 完全一样，也是平行四边形．它们的对应边、对应角分别相等．
在 ABCD 中，连结 AC，BD，它们的交点记为点 O．用一枚图钉穿过点 O，将 ABCD 绕点 O 旋转 180°．观察旋转后的 ABCD 和纸上所画的 EFGH 是否重合．
【学生活动】学生动手操作，观察发现：旋转180°后两个平行四边形完全重合．
教师提问：思考一下，你能从中得出 ABCD 的一些边角关系吗？
学生猜想：AB=CD，AD=CB，∠A=∠C，∠B=∠D．
教师讲解：
我们发现，旋转180°之后两个平行四边形完全重合，即平行四边形是中心对称图形，对角线的交点 O 就是对称中心．
由此可以得到 AB=CD，AD=CB，∠A=∠C，∠B=∠D．
教师追问：“我们能不能用演绎推理来证明这些结论呢？”
教师引导学生分析：我们已经知道，证明边相等或角相等的一种重要方法是找出它们分别所属的三角形，然后证明这两个三角形全等．从上面旋转纸片的探索过程中，可以发现一条对角线恰好将平行四边形分成两个全等的三角形．
【学生活动】学生在教师引导下，尝试通过添加对角线构造全等三角形，完成平行四边形对边、对角相等的证明，明确演绎推理的思路与步骤．
已知：如图， ABCD．
求证：，．
答案预设：
证明：如图，连结 ．
由 和 ，得
即 ．
教师归纳：以上的相等关系可以概括为平行四边形的性质定理：
平行四边形的性质定理 1：平行四边形的对边相等．
平行四边形的性质定理 2：平行四边形的对角相等．
符号表示：性质定理1
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC.
符号表示：性质定理2
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC，∠DCB=∠BAD.
设计意图：通过动手操作、中心对称变换，让学生先直观猜想性质，再通过演绎推理进行证明，经历“操作—猜想—证明”的完整探究过程，渗透转化思想，突破性质定理的证明难点．
【典型例题】
例1. 如图，在 ABCD 中，．求其他各内角的度数．
教师点拨：平行四边形的邻角互补．
例2. 如图，在 ABCD 中，，周长等于24．求其余三条边的长．
【探究新知】
探究：平行线间的距离.
教师提问：如图，在方格图上画两条互相平行的直线，在其中一条直线上任取若干点，过这些点作另一条直线的垂线，用刻度尺量出这两条平行线之间这些垂线段的长度．你能发现什么结论？能用平行四边形的性质说明吗？
【师生活动】学生动手操作，测量后发现：这些垂线段的长度都相等．
教师讲解平行线之间距离的概念：两条直线平行，其中一条直线上的任一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离．
师生共同归纳得出：平行线之间的距离处处相等．
符号表示：
∵直线 a // b，AB b，CD b，
∴AB=CD.
教师引导学生结合平行四边形的性质理解：这些垂线段构成了平行四边形的对边，根据对边相等，可知它们的长度相等．
设计意图：通过实践操作，让学生直观感知平行线之间距离的性质，结合平行四边形的性质进行理解，突破概念难点，体会几何知识的内在联系．
教师拓展：三种距离之间的区别与联系
类别 两点间的距离 点到直线的距离 两条平行线间的距离
示意图
区别 连结两点的线段的长度 点到直线的垂线段的长度 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度
联系 最后都归结为两点间的一条线段的长度
【典型例题】
例3. 已知平行四边形的周长是 24，相邻两边的长相差 4．求该平行四边形相邻两边的长．
解：如图，设边 的长为 ，则边 的长为 ．
根据已知，可得
解得 ．
．
所以，该平行四边形相邻两边的长分别为 4 和 8．
例4. 如图，在 ABCD 中， 的平分线与 相交于点 ．求证：．
证明： 四边形 是平行四边形，
（平行四边形的对边相等），
（平行四边形的对边平行）．
设计意图：通过不同类型的例题，巩固平行四边形的对边相等、对角相等的性质，同时训练学生运用性质解决角度计算、边长计算和简单证明问题的能力，强化知识应用．
四、当堂检测
通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知.
五、课堂小结
今天我们学习了哪些知识？
1.平行四边形：有两组对边分别平行的四边形．
2.平行四边形的对称性：平行四边形是中心对称图形，对角线的交点 O 就是对称中心．
3.平行四边形的性质：
平行四边形的性质定理 1：平行四边形的对边相等．
平行四边形的性质定理 2：平行四边形的对角相等．
4.两条平行线之间的距离：两条直线平行，其中一条直线上的任一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离．
平行线之间的距离处处相等．

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