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第十七章 平行四边形 华东师大版(2024)
17.1 平行四边形的性质（课时2）
一、教学目标
1.经历通过中心对称变换、动手测量等方式探索平行四边形对角线性质的过程，理解并掌握平行四边形的性质定理3，能运用该性质解决与对角线相关的线段计算和证明问题.
2.能综合运用平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分等性质，解决与平行四边形相关的周长差、线段相等证明、面积计算等综合问题，提升几何推理和问题解决能力.
3.体会几何图形性质探索中“观察—猜想—验证—证明”的研究方法，进一步感受转化与对称思想在几何学习中的应用.
二、教学重点及难点
重点：平行四边形的性质定理 3 （对角线互相平分）的理解与证明；运用该性质进行线段计算和简单证明.
难点：综合运用平行四边形的所有性质解决复杂的几何计算与证明问题.
三、教学过程
【知识回顾】
教师提问：
上一节课我们学行四边形的哪些性质？
我们是如何证明平行四边形的对边相等、对角相等的？
【师生活动】学生回忆并回答：平行四边形的对边相等、对角相等、邻角互补；证明的方法是连接对角线，构造全等三角形进行证明．
教师顺势引出课题：今天我们继续来探索平行四边形的另一个重要性质——对角线的性质．
【探究新知】
探究：平行四边形对角线的性质.
教师提问：在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O．请大家观察并思考：OA 与 OC、OB 与 OD 各有什么数量关系？请大家任意画几个平行四边形，量一量对角线被交点分成的两段长度，验证你的猜想．
【学生活动】学生与同伴交流思考，结合上节课 ABCD 是一个中心对称图形的知识，猜想：OA=OC，OB=OD．
学生动手操作：任意画几个不同形状的平行四边形，测量对角线被交点分成的线段长度，验证猜想．小组交流测量结果，发现结论一致．
教师归纳平行四边形的性质定理 3：平行四边形的对角线互相平分．
符号表示：性质定理3
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD．
教师：刚才我们通过测量得出了平行四边形的对角线互相平分，我们可以用演绎推理来证明这个结论．
已知：如图， ABCD 的对角线 与 相交于点 ．
求证：．
教师提问：OA 与OC、OB 与 OD 分别属于哪两个三角形？我们可以通过证明这两个三角形全等来证明线段相等．请大家写出完整的证明过程．
学生：要证明的相等的 OA 与 OC 以及 OB 与 OD 分别属于 △AOB 与 △COD，只需证明这两个三角形全等．
【师生活动】学生独立思考，尝试写出证明过程，然后小组内交流讨论．
教师请一名学生板演证明过程，并进行点评和规范．
答案预设：
设计意图：通过演绎推理，让学生经历探究的完整过程，培养学生的逻辑推理能力和严谨的科学态度，突破本节课的重点和难点．
教师归纳：平行四边形的面积和周长
1. 面积：平行四边形的面积=底×高 (底为平行四边形的任意一条边，高为这条边与其对边间的距离)
示例 平行四边形的面积 S ABCD=BC·AE=CD·AF
2. 周长：根据平行四边形的对边相等，可知平行四边形的周长等于两邻边和的 2 倍.
示例 平行四边形的周长 C ABCD=2(AB+BC)
【典型例题】
例5. 如图， ABCD 的对角线 与 相交于点 的周长为 ，那么对角线 与 的和是多少？
例6. 如图， ABCD 的对角线 与 相交于点 过点 且与边 分别相交于点 和点 ．求证：．
教师提问：观察图形，OE 与 OF分别属于哪两个三角形？
学生：OE 属于△AOE 和△BOE，OF 属于 △COF 和 △DOF．
例7. 如图， ABCD 的对角线 与 相交于点 ，其周长为 16，且 的周长比 的周长小 2．求边 和 的长．
解： 四边形 是平行四边形，
（平行四边形的对角线互相平分）．
的周长 的周长，
，
即 ．
又 的周长等于 16，
，
即 ．
．
例8. 如图，在 ABCD 中，对角线 ，垂足为点 ，且 ．求 与 之间的距离．
即 与 之间的距离为 15 cm．
教师提问：你知道其中的理由吗？
【学生活动】学生独立思考，分析平行四边形面积的两种计算方式，交流讨论后明确：用不同的底和对应的高计算，平行四边形的面积相等，以此为关键思路，尝试建立等式求解距离．
答案预设： 的理由如下：
和 之间的距离为 ，
在 ABCD 中， 边上的高是 ，
根据平行四边形的面积公式，有 ，
设计意图：这组例题从不同角度、由浅入深地巩固平行四边形对角线互相平分的性质：例 5 侧重线段和的整体计算，训练学生的转化思想；例 6 通过全等三角形证明线段相等，强化逻辑推理与规范书写；例 7 结合周长差建立方程，提升几何与代数的综合应用能力；例 8 引入面积法，拓展学生解决问题的思路，整体帮助学生构建完整的知识应用体系．
教师总结：平行四边形的性质
平行四边形的对边平行且相等：ABCD，ADBC；AB=CD，AD=BC；
平行四边形的对角相等：∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC；
平行四边形的邻角互补：∠BAD+∠ABC=180°；
平行四边形的对角线互相平分：AO=CO，BO=DO．
四、当堂检测
通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知.
五、课堂小结
今天我们学习了哪些知识？
1.平行四边形的性质定理 3：平行四边形的对角线互相平分．
2.平行四边形的面积和周长．
3.综合运用平行四边形的性质解决问题．

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