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第十七章 平行四边形 华东师大版(2024)
17.2 平行四边形的判定（课时2）
一、教学目标
1.经历平行四边形判定定理 3 的猜想、验证与证明过程，理解“对角线互相平分的四边形是平行四边形”这一判定定理，体会性质与判定的互逆关系，感受逆向思维在几何探究中的应用.
2.掌握平行四边形的判定定理 3，能准确表述定理内容，并运用该定理解决与对角线相关的四边形判定问题，规范书写证明过程.
3.梳理平行四边形的所有判定方法，能根据题目条件灵活选择合适的判定定理进行证明，提升几何推理与综合应用能力.
二、教学重点及难点
重点：平行四边形判定定理 3 的内容、证明及应用；利用对角线互相平分判定平行四边形.
难点：由平行四边形对角线的性质逆向推导判定定理的思路；综合运用多种判定方法解决几何证明问题.
三、教学过程
【知识回顾】
教师提问：上节课我们学行四边形的哪几种判定方法？请从“对边”的角度梳理一下．
平行四边形的对角线有什么性质？
【师生活动】学生回顾并回答：两组对边分别平行、两组对边分别相等、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
平行四边形的对角线互相平分．
教师顺势引出课题：你能根据这个性质，逆向思考提出新的判定猜想吗？
【探究新知】
探究：平行四边形判定定理3.
教师提问：
思考：由平行四边形的性质“平行四边形的两条对角线互相平分”，逆向思考．互换条件与结论，试写出它的逆命题．你认为它是一个真命题吗？
类别 条件 结论
平行四边形的两条对角线互相平分 一个四边形是平行四边形 这个四边形的两条对角线互相平分
逆命题 一个四边形的两条对角线互相平分 这个四边形是平行四边形
【师生活动】学生完成表格，写出逆命题：“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，并猜想它是真命题．教师引导学生通过动手作图来验证猜想：
学生按照教材步骤，作一个对角线互相平分的四边形．
如图．
作法：
（1）任意作两条相交直线 m、n，记交点为 O；
（2）以点 O 为中心，分别在直线 m，n 上截取 OB 与 OD，OA 与 OC，使 OB=OD，OA=OC，顺次连结所得的四个点．
四边形 ABCD 即为所要求作的平行四边形．
教师提问：它是平行四边形吗？
学生观察、比较，发现和同伴所作的四边形都是一个平行四边形．
教师讲解平行四边形的判定定理 3：
对角线互相平分的四边形是平行四边形．
符号表示：判定定理3
∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
教师提问：我们通过作图发现，对角线互相平分的四边形是平行四边形，我们可以用演绎推理证明这一结论．
已知：如图，在四边形 中，对角线 与 相交于点 ．
求证：四边形 是平行四边形．
【师生活动】教师引导学生分析：要证明四边形 ABCD 是平行四边形，可以用定义，也可以用前面已得到的平行四边形的两条判定定理．
答案预设：
证明：如图所示．
设计意图：引导学生由平行四边形对角线的性质逆向猜想逆命题，再通过规范作图直观验证猜想，最后自主选择已学判定方法完成演绎证明，让学生经历完整的探究过程，体会逆向思维在几何探究中的应用，培养合情推理与演绎推理能力．
【典型例题】
例2. 如图，在 ABCD 中，点 是对角线 上的两点，且 ．
求证：四边形 是平行四边形．
教师点拨：连结 BD，交 AC 于点 O，由四边形 ABCD 是平行四边形，可得 OB=OD．如果能证明 OE=OF，就可以根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”得到四边形 BFDE 是平行四边形．
证明：如图，连结 ，交 于点 ．
四边形 是平行四边形，
（平行四边形的对角线互相平分）．
又 ，
，
即 ．
四边形 BFDE 是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．
【课堂互动】
教师提问：现在我们一共学习了多少种判定平行四边形的方法（包括定义）？这些判定方法与平行四边形的性质之间有什么关系？
【师生活动】学生自主梳理，师生共同归纳：
定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
判定定理 1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
判定定理 2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
判定定理 3：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
教师强调：这些判定方法都是由平行四边形的性质逆向推导而来的，体现了性质与判定的互逆关系．
【读一读】
由平行四边形的性质，联想平行四边形的判定方法，通过合情推理，提出猜想．这是一个由原命题到逆命题的逆向思维过程，今后在探索和研究其他几何问题时还会继续运用．
四、当堂检测
通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知.
五、课堂小结
今天我们学习了哪些知识？
1.平行四边形的判定定理 3：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
2.平行四边形的判定定理与平行四边形的性质是互逆的．

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