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第十七章 平行四边形 华东师大版(2024)
17.2 平行四边形的判定（课时4）
一、教学目标
1.理解三角形中位线的定义，能准确识别三角形的中位线，并从定义、图形特征上区分中位线与中线的不同.
2.经历三角形中位线定理的猜想与证明过程，掌握三角形中位线定理，能运用该定理解决线段平行、线段长度计算以及相关的几何证明问题.
3.体会三角形中位线定理证明中构造平行四边形的转化思想，提升几何问题的分析与推理能力.
二、教学重点及难点
重点：三角形中位线的定义；三角形中位线定理的内容、证明及应用.
难点：运用中位线定理解决线段平行与长度计算问题；区分三角形中位线与中线的概念.
三、教学过程
【知识回顾】
教师提问：平行四边形有哪些性质？我们学过的平行四边形判定方法有哪些？
这些性质和判定方法，在三角形问题中可以如何应用？
【师生活动】学生集体回顾：平行四边形的对边平行且相等、对角线互相平分；
判定方法包括边、角、对角线三类．
教师引导学生思考：能否用平行四边形的知识研究三角形中的线段？
自然引出本节课主题——三角形的中位线．
【探究新知】
探究：三角形的中位线.
教师：我们一起来看一道平行四边形的例题．
【典型例题】
例7. 如图，已知 ，延长边 至点 ，使 ．连结 ，交边 于点 ．
求证：．
教师点拨：要证 EF=EB，可证 △DFE△CBE．
由平行四边形性质得 DF=CB，再由 AD//BC 得对应角相等，即可证全等，从而得 EF=EB．
证明：四边形 是平行四边形，
教师讲解三角形的中位线：在下图中，点 D、E 分别是△AFB的两边AF、BF的中点，即 DE 是连结 △AFB 的两边中点的线段．连结三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线．
符号表示：
∵点 D，E 分别是 AF，BF 的中点，
∴DE 是 △AFB 的中位线.
设计意图：通过例 7 的全等证明引出中位线定义，既巩固平行四边形与全等三角形知识，又让学生在熟悉情境中直观感知中位线概念，为后续定理探究做好铺垫．
【探究新知】
探究：三角形的中位线定理.
教师提问：同学们思考，一个三角形有几条中位线？每条中位线与三角形的边有什么关系？
学生在练习本上画出三角形，并画出所有中位线，得出结论：一个三角形有 3 条中位线．
教师追问：中位线和我们之前学的三角形中线有什么不同？
教师：观察下图，你就能发现 DE 与 AB 的关系．
学生通过观察与度量，猜想：，．
【典型例题】
例8 如左图，在 中，点 分别是边 和 的中点．
求证：，．
教师点拨：如右图，过点 作 ，且与 的延长线交于点 ．由平行线性质和已知条件，可以证明 ，从而推出四边形 是平行四边形，可得 ，．
教师：试写出证明的全过程．
【学生活动】学生在教师点拨下，独立思考并尝试构造辅助线，先分析证明△ADE≌△CFE 的思路，再结合平行四边形判定推导结论，自主完成中位线定理的证明过程．
证明：如图，过点 作 ，与 的延长线交于点 ．
，
四边形 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
，，.
教师讲解三角形的中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
符号表示：
为的中位线，
，.
设计意图：让学生通过独立书写证明过程，深化对中位线定理的理解，巩固构造平行四边形的证明方法，提升演绎推理与规范表达能力．
【典型例题】
例9. 证明三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分．
已知：如图，在 中，．
求证： 与 互相平分．
证明：如图，连结 ．
（三角形的中位线平行于第三边）．
同理可得，．
四边形 是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）．
与 互相平分．
设计意图：通过综合例题，让学生体会中位线定理在证明线段平分问题中的应用，培养学生的问题转化能力与综合推理能力．
【课堂互动】中位线与中线的对比
教师提问：一个三角形有 3 条中线和 3 条中位线，它们有什么区别？请从定义、图形、性质等方面进行对比．
【师生活动】学生分组讨论，填写对比表格：
对比项 三角形的中位线 三角形的中线
区别 连结三角形两边中点的线段 连结三角形一个顶点与它对边中点的线段
图示
数量 3条 3条
联系 三角形的中位线与第三边上的中线互相平分．
设计意图：通过对比辨析，深化学生对中位线与中线概念的理解，避免混淆，培养学生的概念辨析能力，构建清晰的知识结构．
四、当堂检测
通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知.
五、课堂小结
今天我们学习了哪些知识？
1.三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线．
2.三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．

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