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制作自制相似图形教学设计
学科 数学 年级 九 课型 新授课 单元 一
课题 综合与实践：制作自制相似图形 课时 1
课标要求 本节课立足 “图形与几何” 领域,结合综合与实践活动要求,引导学生结合相似三角形知识认识自相似图形,理解雪花曲线、谢尔宾斯基三角形的构造原理与自相似特征。经历观察、操作、猜想、推理、动手制作的完整探究过程,发展几何直观、空间观念、推理能力与动手实践能力；感受图形变换中蕴含的规律,体会数学的趣味性与艺术性；学会运用相似知识解释图形特征,了解自相似图形在生活与科技中的应用,培养探究意识、合作精神与数学审美素养。
教材分析 本节是第一章相似图形的综合实践课,安排在相似三角形、图形相似判定与性质之后,是对本章核心知识的延伸、整合与应用。教材以等边三角形为基础,循序渐进引导学生动手构造六角形、雪花曲线,引出自相似图形的概念,再拓展至谢尔宾斯基三角形。内容将图形相似、图形变换、动手操作、规律探究融为一体,跳出纯理论习题,兼顾知识性、操作性与趣味性。既是对相似知识的巩固深化,也拓宽学生数学视野,感受分形几何的魅力,体现数学学科综合育人价值。
学情分析 九年级学生已熟练掌握相似图形、相似三角形的定义与性质,具备基本图形分析和简单尺规作图能力。学生对动手制作、趣味几何图形兴趣浓厚,但对 “局部与整体相似” 的自相似概念较为陌生,难以抽象归纳图形变换中的边数、边长、面积变化规律。同时学生归纳推理能力参差不齐,小组合作中规律探究易出现思路零散,需要教师分步引导、借助实操突破理解障碍。
教学目标 1.理解自相似图形的定义,掌握雪花曲线、谢尔宾斯基三角形的制作方法,能利用等边三角形完成基础自相似图形的绘制。 2.结合相似图形性质,探究图形每次变换后边数、边长、面积的变化规律,提升归纳推理能力。 3.积极参与动手操作与小组合作,体会图形相似在分形图形中的应用,感受数学之美。 4.了解自相似图形在现实生活中的应用,拓宽数学视野,激发数学探究兴趣。
教学重点 1.认识自相似图形,掌握雪花曲线、谢尔宾斯基三角形的制作步骤。 2.探究图形变换过程中边数、边长、面积的变化规律。
教学难点 理解局部与整体相似的自相似本质,准确推导多次图形变换后的数量变化规律。
教学过程
教学步骤 教学主要内容 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 复习回顾: 1.复习提问:什么是相似图形？两个等边三角形一定相似吗？ 2.情境问题:生活中很多图案局部放大后和整体外形完全一致,如部分树叶纹理、艺术花纹,这类图形有什么共同特点？我们能否用学过的相似知识亲手制作这类图形？ 参考答案 1.形状相同、大小不同的图形叫做相似图形；所有等边三角形的内角都相等,对应边成比例,因此一定相似。 2.这类图形的局部和整体形状一致,局部与整体彼此相似,本节课我们就来探究并制作这类自相似图形。 提问相似图形、等边三角形的相似特性,结合生活实例引出新课主题。 回顾旧知,结合实例思考同类图形的共同特征。 衔接已有知识,创设情境,激发实践探究兴趣。
讲授新课 探究活动一: 由等边三角形制作六角形 想一想: 你能否从一个等边三角形(图1)出发作出图2所示的六角形？ 把等边三角形的各边三等分,以居中的那条线段为底边向外作等边三角形,得到一个六角形,再去掉与原来等边三角形重叠的边即可得到. 总结归纳: 1.作图流程:将等边三角形各边三等分,以中间线段为底向外作等边三角形,去除重叠边得到六角形。 2.核心结论:新构造的小等边三角形与原三角形彼此相似。 3.操作要点:保证等分线段长度一致,规范尺规作图。 示范作图步骤,引导观察新图形与原图形的关系。 动手尺规作图,对比图形,判断相似关系。 初步体验图形变换,夯实相似图形的认知基础。
探究活动二: 认识雪花曲线 议一议: 结合上述操作,如何利用一个等边三角形制作出图3所示图形？图4呢？ 继续如此作下去,我们可以得到数学上著名的 “雪花曲线”①. 动态演示:利用课件展示图形二次、三次迭代过程,由六角形继续在每一条边上重复上述操作,逐步得到雪花曲线。 说一说: 每做一次变换,新图形的边数是原图形的多少倍,而边长是原图形的多少？ 边数:每次变换后边数变为原来的 4 倍； 边长:每次变换后边长变为原来的; 想一想: 每次变换后,在原等边三角形的一条边上所作的新等边三角形的面积,是原等边三角形面积的几分之几？ 单个新三角形面积:为原三角形面积的. 议一议: 在雪花曲线的制作过程中,每一次向外作等边三角形,得到的新等边三角形和原等边三角形都是相似的吗？ 得到的新等边三角形和原等边三角形都是相似的,即曲线的局部与局部之间是相似的,因而称雪花曲线自相似. 若某个图形可分割为若干个与自身相似的图形,则称这个图形是自相似图形. 总结归纳: 1.迭代规律:每一次变换,图形边数变为原来的 4 倍,边长变为原来的。 2.面积规律:单次新增小等边三角形面积为原三角形面积的。 3.概念定义:可分割成若干个与自身相似的图形,这类图形称为自相似图形。 4.本质特征:雪花曲线局部与整体形状一致,属于典型自相似图形。 演示图形迭代过程,引导分析边、边长、面积的变化规律,提炼自相似图形定义。 观察迭代变化,小组合作推导数量规律,理解自相似的内涵。 经历规律探究过程,培养归纳推理与数学抽象素养。
探究活动三: 认识谢尔宾斯基三角形 说一说: 任意三角形都是自相似图形吗？ 任意三角形都是自相似图形,因为只要顺次连接三角形各边中点,就可将原三角形分割为四个都与它自身相似的小三角形. 著名的谢尔宾斯基三角形就是这样得来的. 做一做: 查阅谢尔宾斯基三角形的有关资料,了解其利用计算机制作的过程,并自己动手操作制作一个范例,然后结合生活中的一些自相似图形,介绍它们在实际中的应用. 一、谢尔宾斯基三角形制作方法(手绘版) 第一步:画出任意一个大三角形(建议选用等边三角形,作图更规整)。 第二步:用尺规作图,依次找到三角形三条边的中点。 第三步:用线段顺次连接三组中点,原三角形被分割为四个全等且与原三角形相似的小三角形。 第四步:将中间的小三角形涂色填充,外围三个空白三角形重复上述找中点、连线、涂色的操作,多次迭代后,即可得到谢尔宾斯基三角形。 二、计算机制作简要介绍 借助几何画板、画图软件、专业分形工具等,通过图形复制、缩放、循环迭代功能,设置重复分割、填充的程序指令,可快速生成多阶谢尔宾斯基三角形,能实现无限次图形迭代效果。 生活与实际应用举例 1.自然领域:蕨类植物叶片、雪花形态、部分树木枝干纹理,都具备自相似特征,是自然界天然的自相似图形。 2.艺术与设计:民族花纹、蕾丝纹样、装饰图案大量运用自相似结构,提升视觉层次感与美感。 3.建筑领域:部分镂空窗花、哥特式建筑纹饰、园林造型借鉴自相似图形设计。 4.科技领域:分形技术用于图像压缩、信号处理、地质纹理模拟、影视特效制作等。 方法总结: 1.作图方法:顺次连接三角形三边中点,即可分割出四个与原图形相似的小三角形。 2.核心结论:任意三角形都是自相似图形,谢尔宾斯基三角形是经典代表。 3.知识延伸:自相似图形广泛应用于自然、艺术、计算机等领域。 讲解作图方法,引导辨析任意三角形的自相似性,布置实践任务。 动手绘制图形,交流自相似图形的生活应用。 拓展自相似图形类型,实现知识迁移,强化动手实践能力。
环节四:巩固内化,拓展延伸 课堂练习 1.判断正误,对的打 “√”,错的打 “×”。 (1) 两个形状相同、大小不同的三角形是相似图形。( ) (2) 雪花曲线不属于自相似图形。( ) (3) 任意三角形都可以通过连接各边中点,分割成四个与自身相似的小三角形。( ) 2.制作雪花曲线时,将原等边三角形边长看作a,经过第一次变换后,图形的边长为______。 3.一个等边三角形初始边数为 3,每完成一次变换,边数变为原来的 4 倍。经过两次变换后,图形的总边数是多少？ 4.下列图形中,属于自相似图形的是( ) A.长方形 B.谢尔宾斯基三角形 C.直角梯形 D.普通平行四边形 5.已知原等边三角形的面积为S,在一条边上向外作出的小等边三角形面积是原图形的。若第一次变换一共作出 3 个这样的小三角形,求新增图形的总面积。 1. (1)√ (2)× (3)√ 2. 3.解答: 第一次变换后边数:; 第二次变换后边数:; 答:总边数为48。 4. B 5.单个小三角形面积:; 新增总面积:. 巡视课堂迅速掌握学情 当堂小测,用所学知识解决问题,学生代表回答。 学以致用,及时获知学生对所学知识的掌握情况,明确哪些学生需要在课后加强辅导,达到全面提高的目的
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？ 知识点: 1.相似图形回顾:形状相同、大小不等的图形互为相似图形,等边三角形彼此相似。 2.六角形制作方法:对等边三角形边三等分,向外作等边三角形并去除重叠边。 3.雪花曲线的变化规律:迭代后边数、边长、面积的数量变化关系。 4.自相似图形定义:能够分割为若干个与自身相似的图形。 5.谢尔宾斯基三角形:连接三角形三边中点,得到四个相似小三角形,任意三角形均为自相似图形。 6.实践技能:掌握尺规作自相似图形的基本方法。 7.应用认知:了解自相似图形在自然、艺术、科技、生活中的实际应用。 8.数学思想:体会数形结合、归纳推理、模型思想,感受分形几何的数学美。 教师以提问的形式小结 学生思考自由回答,自我小结 课堂小结可以帮助学生理清所学知识的层次结构,掌握其外在的形式和内在联系,形成知识系列及一定的结构框架。
板书设计 综合与实践;制作自相似图形 基础作图:等边三角形 → 六角形 雪花曲线:边数×4,边长÷3,面积比 自相似图形:局部与整体相似 谢尔宾斯基三角形:连中点,分相似小三角形 思想:数形结合、归纳推理、实践应用 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知,可以帮助学生理解掌握知识,形成完整的知识体系。
教学反思 本节课以综合实践活动为载体,串联相似图形核心知识,通过动手作图、规律探究、小组交流开展教学,有效调动学生积极性,多数学生能掌握自相似图形概念与基础制作方法。课堂实操环节氛围活跃,学生直观理解了局部与整体相似的特征。但部分学生在推导边数、面积变化规律时,逻辑梳理不够清晰,对分形图形无限变化的特点理解浅显。后续可借助多媒体动态演示图形迭代过程,增加分层探究任务,结合生活实例深化理解,进一步提升学生逻辑推理与知识迁移能力。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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