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8.1.2 三角形的内角和与外角和（第一课时）
一、教学目标
掌握三角形内角和定理，能进行简单证明.
能运用三角形内角和定理解决角度计算问题.
理解并掌握直角三角形的性质与判定.
二、教学重点及难点
重点：三角形内角和定理及其应用，直角三角形的性质与判定.
难点：三角形内角和定理的证明过程.
三、教学过程
【复习引入】
知识回顾：上节课我们学习了三角形的三条重要线段，请学生分别说出三角形中线、角平分线和高线的定义.
三角形的中线：三角形中，连结一个顶点与它对边中点的线段.
三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段.
三角形的高线：从三角形的一个顶点，向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段.
情境导入：在小学我们通过剪拼的方法知道了三角形的三个内角拼在一起是一个平角，那么三角形的内角和真的等于 180° 吗？今天我们就用数学说理的方法来证明这个结论.
设计意图：通过复习旧知，帮助学生巩固上节课所学内容，同时自然过渡到本节课的新知识，激发学生的探究欲望.
【探究新知】
探究 1：三角形内角和定理的证明
动手操作：让学生拿出准备好的三角形纸片，再次进行剪拼实验，将三角形的两个内角剪下，与第三个内角拼在一起，观察是否能拼成一个平角.
引导思考：从刚才的剪拼过程中，你能发现证明三角形内角和等于 180° 的方法吗？
教师引导证明：
已知：△ABC.
求证：∠A+∠B+∠C=180°.
证明：过点 C 作 CE∥AB，延长 BC 到 D.
∵ CE∥AB（已作）
∴ ∠1=∠A（两直线平行，内错角相等）
∠2=∠B（两直线平行，同位角相等）
又∵ ∠1+∠2+∠ACB=180°（平角的定义）
∴ ∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换）
得出结论：三角形的内角和等于 180°.
师生活动：学生先独立思考证明思路，然后小组讨论交流，最后教师引导学生完成规范的证明过程.
设计意图：通过动手操作和逻辑推理相结合的方式，让学生经历从直观感知到理性证明的过程，培养学生的逻辑思维能力和推理能力.
探究 2：直角三角形的性质与判定
直角三角形的性质
提出问题：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，那么∠A 和∠B 有什么关系？
学生推导：∵ ∠A+∠B+∠C=180°（三角形内角和定理）
又∵ ∠C=90°
∴ ∠A+∠B=90°
得出结论：直角三角形的两个锐角互余.
直角三角形的表示：直角三角形可以用符号 "Rt△" 表示，直角三角形 ABC 可以写成 "Rt△ABC".
直角三角形的判定
提出问题：反过来，如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？
学生推导：∵ 三角形的内角和为 180°，其中有两个角互余，即这两个角的和为 90°
∴ 第三个角 = 180°-90°=90°
得出结论：有两个角互余的三角形是直角三角形.
师生活动：学生独立思考并完成推导过程，教师巡视指导，最后请学生展示自己的推导结果，教师进行点评和总结.
设计意图：通过让学生自主推导直角三角形的性质和判定，加深学生对三角形内角和定理的理解和应用，同时培养学生的逆向思维能力.
【典型例题】
例：如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的高，∠1=45°，∠C=65°，求∠BAC 的度数.
师生活动：学生独立完成解题过程，然后小组讨论交流，最后教师展示规范的答题过程.
解 在 Rt 中，
°（直角三角形的两个锐角互余），
（等式性质）．
又 （已知），
（等量代换）．
设计意图：通过典型例题的讲解，让学生掌握如何运用直角三角形的性质解决角度计算问题，巩固所学知识.
四、当堂检测
在△ABC 中，∠A=50°，∠B=60°，则∠C=__°.
在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=35°，则∠B=__°.
一个三角形的三个内角的度数之比为 2:3:4，则这个三角形是（ ）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定
已知△ABC 中，∠A+∠B=∠C，则△ABC 是__三角形.
师生活动：通过课件展示练习题，学生独立完成，教师带领学生进行核对和讲解.
设计意图：通过当堂检测，及时了解学生对本节课知识的掌握情况，发现问题并及时解决，进一步巩固所学知识.
五、课堂小结
今天我们学习了哪些知识？
三角形的内角和等于 180°.
直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余.
直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形.

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