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8.2 多边形的内角和与外角和（第一课时）
一、教学目标
理解多边形、正多边形的定义及相关概念.
掌握用分割法探索多边形内角和公式的过程.
能熟练运用多边形内角和公式解决简单问题.
二、教学重点及难点
重点：多边形内角和公式的探索与应用.
难点：多边形内角和公式的推导过程，体会从特殊到一般的归纳推理思想.
三、教学过程
【复习引入】
提问：
什么是三角形？三角形的内角和是多少度？
生活中除了三角形，我们还见过哪些由线段围成的平面图形？（学生举例：四边形、五边形、六边形等）
引出课题：这些由多条线段围成的图形就是我们今天要学习的多边形，本节课我们将一起探索多边形的内角和规律.
设计意图：从学生已掌握的三角形知识出发，通过类比和生活实例自然引入新课，激活学生原有知识储备，激发探究兴趣.
【探究新知】
探究 1：多边形的相关概念
多边形的定义
展示四边形、五边形图形，引导学生类比三角形的定义，尝试描述四边形、五边形的定义.
教师总结：一般地，由 n 条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形称为 n 边形，也即我们通常所说的多边形.
强调多边形的三个必要条件：
线段在同一个平面内
线段不在同一直线上且条数不少于 3
线段首尾顺次连结
说明：本节课我们只研究凸多边形（展示凸多边形与凹多边形的区别，指出凹多边形不在本次研究范围内）.
多边形的内角与外角
提问：五边形、六边形分别有多少个内角？多少个外角？n 边形呢？
学生思考后回答，教师总结：n 边形有 n 个内角，2n 个外角.
正多边形的定义
展示正三角形、正方形、正五边形的图形，引导学生观察它们边和角的共同特点.
教师总结：如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，那么就称它为正多边形.
辨析：各边相等的多边形一定是正多边形吗？各角相等的多边形一定是正多边形吗？（举例：菱形、矩形）
多边形的对角线
定义：连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.
展示从四边形、五边形、六边形一个顶点引出对角线的图形，让学生观察并完成下表：
多边形边数 从一个顶点引出的对角线条数 分割成的三角形个数
3 0 1
4 1 2
5 2 3
6 3 4
... ... ...
n n-3 n-2
师生活动：学生独立思考后小组交流，教师巡视指导，最后全班汇报总结规律.
设计意图：通过观察、填表，让学生初步感知多边形对角线与边数的关系，为后续内角和公式的推导做好铺垫.
探究 2：多边形的内角和公式
提问：我们知道三角形的内角和是 180°，那么四边形的内角和是多少度？你能利用刚才的对角线分割法来证明吗？
学生动手操作，将四边形分割成两个三角形，得出四边形内角和为 2×180°=360°.
追问：五边形、六边形的内角和呢？请你用同样的方法计算，并完成下表：
多边形边数 分割成的三角形个数 内角和
3 1 180°
4 2 360°
5 3 540°
6 4 720°
7 5 900°
... ... ...
n n-2 (n-2)·180°
师生活动：学生独立完成表格，小组内交流结果，教师引导学生归纳出 n 边形内角和公式：n 边形的内角和等于 (n-2) 180°.
拓展思考：除了从一个顶点引对角线分割多边形，还有其他分割方法吗？（展示在多边形内部任取一点的分割方法，让学生尝试用这种方法推导内角和公式）
设计意图：让学生经历从特殊到一般的探索过程，亲自动手推导公式，加深对公式的理解，同时培养学生的归纳推理能力和发散思维.
【典型例题】
例 1 求八边形的内角和.
解：(8-2)×180°=6×180°=1080°
答：八边形的内角和是 1080°.
例 2 一个多边形的内角和是 1440°，求这个多边形的边数.
解：设这个多边形的边数为 n，根据题意得：
(n-2)×180°=1440°
解得 n=10
答：这个多边形是十边形.
例 3 求正六边形每个内角的度数.
解：正六边形的内角和为 (6-2)×180°=720°
每个内角的度数为 720°÷6=120°
答：正六边形每个内角的度数是 120°.
师生活动：学生独立完成，然后小组讨论解题思路，教师展示规范的解题过程，强调解题步骤的完整性.
设计意图：通过不同类型的例题，让学生熟练掌握多边形内角和公式的正向应用、逆向应用以及在正多边形中的应用，巩固所学知识.
四、当堂检测
下列图形中，是正多边形的是（ ）
A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 长方形 D. 正方形
七边形的内角和是（ ）
A. 360° B. 540° C. 720° D. 900°
一个多边形的内角和是 1800°，则它的边数是（ ）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 12
正八边形的每个内角是 __度.
从 n 边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，这些对角线把 n 边形分成 __个三角形.
师生活动：学生独立完成，教师公布答案，针对错误较多的题目进行重点讲解.
设计意图：通过当堂检测，及时反馈学生的学习情况，查漏补缺，巩固本节课的重点知识.
五、课堂小结
今天我们学习了以下知识：
多边形、正多边形的定义及相关概念；
多边形的对角线：从 n 边形一个顶点可引 (n-3) 条对角线，分割成 (n-2) 个三角形；
多边形内角和公式：n 边形内角和 =(n-2) 180°.
设计意图：通过课堂小结，帮助学生梳理本节课的知识体系，加深对核心知识的记忆和理解.
六、布置作业
教材习题 8.2 第 1、2、3 题.

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