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1.6相似三角形的应用教学设计
学科 数学 年级 九 课型 新授课 单元 一
课题 1.6相似三角形的应用 课时 1
课标要求 依据2022版义务教育数学课程标准,本节课属于图形与几何领域图形的相似主题,要求学生能够运用相似三角形的判定与性质解决实际测量问题;经历将实际问题抽象为几何模型、建模求解、验证反思的过程,发展几何直观、数学建模、逻辑推理与数学运算素养;学会利用相似解决不可直接测量的距离、高度、长度等问题,体会数学在生产生活中的实用价值,增强应用意识与实践能力。
教材分析 本节是湘教版九年级上册第一章《图形的相似》收尾应用课时,是对相似判定、性质、比例线段等知识的综合实践与提升。教材以池塘测距、射击偏差、杠杆测量、测高问题为载体,引导学生将实际场景转化为“A型”“X型”相似模型,突出“建模—列式—求解—作答”的完整流程。内容贴近生活、应用性强,既是对全章知识的系统整合,也是从理论走向实践的关键一课,对培养学生数学应用能力与问题解决素养具有重要作用。
学情分析 九年级学生已掌握相似三角形全部判定与性质,能进行基本推理与计算,但将实际问题转化为几何模型的能力较弱;对题意理解、图形抽取、对应关系确定易出现偏差;在单位换算、近似处理、实际作答环节不够规范。学生对生活类问题兴趣较高,适合情境驱动、图示引导、步骤化教学,需强化建模训练与规范表达,提升将文字转化为图形、再转化为数学式子的能力。
教学目标 1.能够运用相似三角形判定与性质解决不可直接测量的距离、高度、长度等实际问题,掌握建模解题步骤。 2.经历实际问题抽象为几何模型的过程,提升数学建模、图形分析、逻辑推理与运算求解能力。 3.能规范完成“审题—画图—找相似—列比例—求解—作答”全过程,养成严谨解题习惯。 4.感受相似知识在生活、工程、军事等领域的广泛应用,增强数学应用意识与学习兴趣。
教学重点 1.从实际问题中抽取相似三角形模型,正确确定对应边与相似比。 2.运用相似知识建立比例式求解实际长度、高度、距离。
教学难点 实际问题向几何模型的转化,以及复杂情境中对应线段的准确识别与比例建立。
教学过程
教学步骤 教学主要内容 教师活动 学生活动 设计意图
环节一:依标靠本,独立研学 情境导入 校园里有一棵大树,不能爬树、不能砍树,怎样用简单工具测出它的高度？ 问题 1.你能想到用什么几何知识解决？ 2.要构造出哪两种相似图形？ 3.需要测量哪些可测长度？ 答案 利用相似三角形对应边成比例求解。 构造人与影子、树与影子形成的两个相似直角三角形。 测量人的身高、人影长、树影长,再列比例计算。 回顾相似三角形的判定与性质,强调对应边成比例、对应角相等,为实际应用铺垫。 回忆并口述判定定理与性质要点,明确相似三角形的核心数量关系。 以旧引新,搭建理论知识与实际应用的桥梁。
探究活动一:利用相似测量物体的宽度 思考:如图1.6-1,A,B两点分别位于一个池塘的两端,小张想测量出A,B两点的距离,但由于受条件限制无法直接测量,请帮他想出一个可行的测量办法. 分析:可以这样做: 如图1.6-2,在池塘外取一点C,使它可以直接看到A,B两点,连接并延长AC,BC,在AC的延长线上取一点D,在BC的延长线上取一点E,使(最好使k为正整数),测量出DE的长度后,就可以由相似三角形的有关知识求出A,B两点的距离. 做一做:如图,如果,且测得DE的长为,则两点的距离为多少？ 解:因为, 所以, 于是. 因为, 所以. 方法总结: 1.解题模型:X型(对顶三角形)相似模型,利用对顶角相等+两边成比例判定相似。 2.解题步骤:找点连线→延长线段构造相似→证明相似→列比例式→计算长度。 3.关键依据:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似;相似三角形对应边成比例。 4.应用场景:测量河宽、池塘宽、建筑物间距等不可直接测量的距离。 引导分析测距问题,提炼X型相似模型,指导证明与比例计算。 抽象几何模型,证明三角形相似,利用比例式求解未知距离。 经历“实际问题→几何模型→数学计算”过程,培养建模素养。
环节二:同伴分享,互助研学 探究活动二:利用相似测量物体的高度 例:在用步枪瞄准靶心时,要使眼睛()、准星()、靶心()在同一条直线上.在射击时,李明由于有轻微的抖动,致使准星偏离到,如图所示.已知,求李明射击到的点偏离靶心的长度’(′近似地认为). 解:因为AA'∥BB', 所以△OAA'∽△OBB', 于是OAOB=AA'BB'. 因为OA=0.2m,OB=50m,AA'=0.0005m, 所以BB'=0.125m. 答:李明射击到的点B′偏离靶心B的长度BB′为0.125m. 方法总结: 1.解题模型:A型相似模型,由平行得两角相等,判定三角形相似。 2.解题步骤:找平行→判相似→写比例→代数值→求结果。 3.核心技巧:同一时刻、同一地点,物高与影长成比例;瞄准问题利用小三角形相似推偏差。 4.应用场景:测量旗杆高、楼高、树高、射击偏差等实际高度问题。 思考： 还有没有其他利用相似三角形的方法来测量物体的高呢？（AI演示交互动画） 1.相似三角形测高：标杆测量法。 2.相似三角形测高：镜子反射法。 引导分析实际情境,提炼A型相似模型,规范解题步骤与书写格式。 抽取几何图形,利用平行线判定相似,根据比例求解偏差或高度。 强化模型识别与方程思想,提升应用与运算能力。
环节三:巩固内化,拓展延伸 课堂练习 1.如图,测量小玻璃管口径的量具ABC(单位:cm),AB的长为10cm,AC被分为60等份.如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处(DE∥AB),那么小玻璃管口径DE的长是( ) A.cm B.cm C.7cm D.6cm 2.如图,用一个卡钳(AD=BC,==)测量某个零件的内孔直径AB,量得CD长度为6cm,则AB等于　　cm. 3.在上完相似三角形的应用一课后,小方设计了一个试验来测量学校教学楼的高度.如图,在距离教学楼MN为18米的点B处竖立一个长度为2.8米的直杆,小方调整自己的位置,使得他直立时眼睛所在位置点C、直杆顶点A和教学楼顶点M三点共线.测得人与直杆的距离DB为2米,人眼高度CD为1.6米,则教学楼的高度MN为( ) A.12米 B.12.4米 C.13.6米 D.15.2米 4.如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图.点P处放一水平的平面镜,光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处,已知AB⊥BD,CD⊥BD,测得AB=2米,BP=3米,PD=12米,那么该古城墙的高CD是　　　米. 5.某数学兴趣小组在测量学校旗杆的高度时,让一名同学直立在点F处,手拿一块直角三角板CDE,保持斜边CE与地面BF平行,延长CE交AB于点G,如图,沿着射线CD的方向观察,刚好看到旗杆的顶端A点,已知该同学的身高CF为1.6m,点F到旗杆底端的距离BF为12m,CE=50cm,CD=40cm,求旗杆AB的高度. 6.如图,小明利用小孔成像原理制作了一个成像装置,他在距离纸筒50cm处准备了一支蜡烛,其中纸筒长为10cm,蜡烛长为15cm,则这支蜡烛所成像的高度为( ) A.2.5cm B.3cm C.3.75cm D.5cm 7.如图,不等臂跷跷板AB的一端A碰到地面时,另一端B到地面的高度为60cm;当AB的一端B碰到地面时,另一端A到地面的高度为90cm,则跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH是( ) A.36cm B.40cm C.42cm D.45cm 8.如图,一条河的两岸有一段是平行的,在河的南岸岸边每隔5m有一棵树,小华站在离南岸20m的点P处看北岸,在两棵树之间的空隙中,恰好看见一条龙舟的龙头和龙尾(假设龙头、龙尾和小华的眼睛位于同一水平平面内),已知龙舟的长为18.5m,若龙舟行驶在河的中心,且龙舟与河岸平行,则河宽为　　m. 9.如图,为了测量山峰AB的高度,在D处和F处竖立标杆DC和FE,标杆的高度都是4m,两杆相隔50m,并且A,B,C,D,E,F都在同一平面内,从标杆DC退后2m到G处,可看到山峰和标杆顶点C在同一直线上,从标杆EF退后4m到H处可看到山峰A和标杆顶点E在同一直线上,求山峰AB的高度. 1.A;2.18;3.C;4.8; 5.解:由题意得:CF⊥BF,AB⊥BF,CG⊥AB, ∴∠BFC=∠ABF=∠BGC=90°, ∴四边形CFBG是矩形, ∴CG=FB=12m,CF=GB=1.6m, ∵∠CDE=90°,CE=50cm,CD=40cm, ∴DE===30cm, ∵∠CDE=∠CGA=90°,∠DCE=∠ACG, ∴△CDE∽△CGA, ∴=, ∴=, ∴GA=9m, ∴AB=AG+BG=9+1.6=10.6(m). 答:旗杆AB的高度为10.6m. 6.B;7.A;8.108; 9.解:, , , , , , ,, ,. 答:山峰的高度为. 巡视课堂迅速掌握学情 当堂小测,用所学知识解决问题,学生代表回答。 学以致用,及时获知学生对所学知识的掌握情况,明确哪些学生需要在课后加强辅导,达到全面提高的目的
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？ 知识点: 1.利用相似三角形可测量无法直接度量的距离、宽度、高度。 2.常见测量模型:X型模型(测宽)、A型模型(测高)。 3.解题核心流程:实际问题→几何模型→证明相似→列比例式→计算作答。 4.判定依据:两角分别相等、两边成比例且夹角相等。 5.计算依据:相似三角形对应边成比例。 6.常用思想:数学建模思想、转化思想、方程思想。 7.规范要求:统一单位、找准对应边、完整书写推理过程。 教师以提问的形式小结 学生思考自由回答,自我小结 课堂小结可以帮助学生理清所学知识的层次结构,掌握其外在的形式和内在联系,形成知识系列及一定的结构框架。
板书设计 相似三角形的应用 1.测宽度:X型相似→对顶角+两边成比例 2.测高度:A型相似→平行+两角相等 3.解题步骤:建模→判相似→列比例→求解 4.思想:数学建模、转化思想、方程思想 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知,可以帮助学生理解掌握知识,形成完整的知识体系。
作业设计 基础达标: 1.某地质勘探人员为了估算河的宽度,在河对岸选定一个目标点O,再在他所在的这一侧的岸边选取点A,B,使得AB⊥AO,再选取一点D,使DB⊥AB,然后找到DO和AB的交点C,如图所示,测得AC=16m,BC=8m,DB=7m,则可计算出河宽OA为(　　) A.16m　　　　B.15m　　　　C.14m　　　　D.13m 2.如图,小东用长为2.4m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度,移动竹竿,使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点,此时,竹竿与这一点相距8m,与旗杆相距22m,则旗杆的高为(　　) A.10m　　　　B.9m　　　　C.8m　　　　D.7m 3.甲、乙、丙三根竹竿直立于地面上,在同一时刻,测得它们的影长分别为1.5米,2.5米和4米,其中乙竹竿比甲竹竿长2米,则丙竹竿的长为　　　　米. 4.小玲设计用手电来测量某古城墙高度的示意图如图所示.在点P处放一水平的平面镜,光线从点A出发经平面镜反射后,刚好射到古城墙CD的顶端C处.已知AB⊥BD,CD⊥BD,且测得AB=1.4米,BP=2.1米,PD=12米,那么该古城墙CD的高度是　　　　米. 能力提升: 5.如图所示的是步枪在瞄准时的示意图,从眼睛O到准星E的距离OE为80cm,步枪上的准星宽度AB为0.2cm,目标的正面宽度CD为50cm,则眼睛到目标的距离OF为　　　　m. 6.小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高.如图所示,在某一时刻,他们在阳光下测得该建筑物OB的影长OC为16米,OA的影长OD为20米,小明的影长FG为2.4米,其中O、C、D、F、G五点在同一直线上,A、B、O三点在同一直线上,且AO⊥OD,EF⊥FG.已知小明的身高EF为1.8米,求旗杆的高AB. 7.如图,某零件的外径为10cm,用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等)可测量零件的内孔直径AB.如果OA∶OC=OB∶OD=3,且量得CD=3cm,则零件的厚度x为(　　) A.0.3cm　　　　B.0.5cm　　　　C.0.7cm　　　　D.1cm 8.一种燕尾夹如图1所示,图2是在闭合状态时的示意图,图3是在打开状态时的示意图(数据如图,单位:mm),从图2闭合状态到图3打开状态,点B,D之间的距离减少了(　　) A.25mm　　　　B.20mm　　　　C.15mm　　　　D.8mm 图1 图2 图3 拓展迁移: 9.学习了相似三角形的相关知识后,小明和他的同学想利用“标杆”测量大楼的高度.如图,小明站立在地面点F处,他的同学在点B处竖立标杆AB,使得小明的头顶点E、标杆顶点A、大楼顶点C在一条直线上(点F、B、D也在一条直线上).已知小明的身高EF=1.5米,标杆AB=2.5米,BD=23米,FB=2米. (1)求大楼的高度CD为多少米(CD垂直于地面BD); (2)小明站在原来的位置,他的同学通过移动标杆,可以用同样的方法测得楼CD上点G的高度GD=11.5米,那么相对于第一次测量,标杆AB应该向大楼方向移动多少米 10.希腊数学家海伦给出了挖掘直线隧道的方法:如图,A,B是两侧山脚的入口,从B出发任作线段BC,过C作CD⊥BC,然后依次作垂线段DE,EF,FG,GH,直到接近A点,作AJ⊥GH于点J.每条线段可测量,长度如图所示.分别在BC,AJ上任选点M,N,作MQ⊥BC,NP⊥AJ,使得==k,此时点P,A,B,Q共线.挖隧道时始终能看见P,Q处的标志即可. (1)CD-EF-GJ=　　　　km; (2)k=　　　　.
1.C　∵∠OCA=∠DCB,∠A=∠B=90°,∴△OCA∽△DCB.∴=,即=,∴OA=14m.故选C. 2.B　因为竹竿和旗杆均垂直于地面,所以构成的两个三角形相似.设旗杆的高为xm,则=,∴x=9.故选B. 3.8 解析　设甲竹竿的长为x米,丙竹竿的长为y米,则乙竹竿的长为(x+2)米.根据同一时刻,物高与影长成比例,得=,=,解得x=3,y=8,则丙竹竿的长为8米. 4.8 解析　易知∠APB=∠CPD,∠ABP=∠CDP,∴△ABP∽△CDP, ∴=,即=,∴CD=8米,则该古城墙CD的高度是8米. 5.200　 解析　设眼睛到目标的距离为xm, ∵AB=0.2cm=0.002m,CD=50cm=0.5m, ∴BE=AB=0.001m,DF=0.25m,∵AB∥CD, ∴△OBE∽△ODF,∴=,∵OE=80cm=0.8m, ∴=,解得x=200,则眼睛到目标的距离OF为200m. 6.解：∵AD∥EG,∴∠ADO=∠EGF, ∵∠AOD=∠EFG=90°,∴△AOD∽△EFG, ∴=,即=,∴AO=15米.同理得△BOC∽△AOD, ∴=,即=,∴BO=12米,∴AB=AO-BO=15-12=3米. 答:旗杆的高AB是3米. 解法二:【平行等线段法】如图,过点C作CM⊥OD,交AD于M,易得△EGF∽△MDC,∴=,即=,∴CM=3米.易得四边形ABCM是平行四边形,∴AB=CM=3(米). 答:旗杆的高AB是3米. 7.B　∵OA∶OC=OB∶OD=3,∠COD=∠AOB,∴△COD∽△AOB, ∴AB∶CD=3,∵CD=3cm,∴AB=9cm,∵该零件的外径为10cm, ∴零件的厚度x为(10-9)÷2=1÷2=0.5(cm),故选B. 8.A　如图,连接BD, 由题意得EF∥BD,∴△AEF∽△ABD,∴=,∴=,∴BD=45, ∴从题图2闭合状态到题图3打开状态,点B,D之间的距离减少了45-20=25(mm),故选A. 9.解析　(1)如图,过点E作EH⊥CD于点H,交AB于点J,则四边形EFBJ、四边形EFDH都是矩形. ∴EF=BJ=DH=1.5米,BF=EJ=2米,DB=JH=23米. ∵AB=2.5米,∴AJ=AB-BJ=2.5-1.5=1(米), ∵AJ∥CH,∴△EAJ∽△ECH, ∴=,∴=,∴CH=12.5米, ∴CD=CH+DH=12.5+1.5=14(米). 答:大楼的高度CD为14米. (2)如图,过点E作ET⊥CD于点T,交AB于点R.设BF=x米, ∵AR∥GT,∴△EAR∽△EGT,∴=, ∴=, ∴x=2.5,∴2.5-2=0.5(米), ∴标杆AB应该向大楼方向移动0.5米. 10.(1)1.8　(2) 解析　(1)CD-EF-GJ=5.5-1-2.7=1.8(km). (2)如图,连接AB,过点A作AZ⊥CB,交CB的延长线于点Z. 由矩形的性质得AZ=CD-EF-GJ=1.8km,BZ=DE+FG-CB-AJ=4.9+3.1 -3-2.4=2.6km, ∵点P,A,B,Q共线,∴∠MBQ=∠ZBA, 又∵∠BMQ=∠BZA=90°,∴△BMQ∽△BZA,∴=k===.
教学反思 本节课以真实情境导入,围绕“建模—求解—应用”展开教学,紧扣2022新课标突出实践应用与数学建模素养。教学中重视图形抽取、步骤规范与易错点提醒,帮助学生形成稳定解题流程。但部分学生仍存在题意理解不清、图形画错、对应线段找反、单位不统一等问题,实际问题转化能力有待加强。后续应增加图文转换、模型识别专项训练,强化步骤模板;设计分层实际问题,兼顾不同层次学生,提升数学抽象与应用实践能力,落实学以致用目标。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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