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2.1 等式性质与不等式性质
课标要点 1、系统回顾等式的基本性质，熟练掌握等式对称性、传递性，以及等式两边同时进行加减、乘除（除数不为0）运算后等式仍成立的核心规则，夯实等式变形基础。 2、深度理解不等式的核心基本性质，熟练掌握不等式对称性、传递性、可加性、可乘性，同时了解同向不等式可加、正数同向可乘、倒数法则等拓展性质。 3、精准掌握两个实数大小的比较方法，核心掌握作差比较法、作商比较法，明确两种方法的适用场景与使用前提。 4、能够灵活运用不等式的各类基本性质，对不等式进行合理变形、化简、推理，解决基础的不等式判断、证明和取值范围求解问题。 5、清晰辨析等式性质与不等式性质的异同点，重点掌握两者加减运算的一致性，以及同乘负数、乘除正数、取倒数等运算中的核心差异，规避变形误区。
学习重难点 重点： 1、等式与不等式的核心基本性质：熟练掌握等式的四则运算不变性，精准熟记不等式对称性、传递性、可加性、可乘性四大核心性质，能直接用于基础变形。 2、实数大小比较方法：重点掌握作差法的核心逻辑，明确“差>0则前者大、差<0则前者小、差=0则两数相等”的判断规则，熟练掌握作差法的通用解题步骤。 3、不等式变形核心规则：牢记不等式独有重难点规则，即不等式两边同乘（除）负数，不等号方向必须改变，同乘（除）正数，不等号方向不变。 难点： 1、作差法变形时，符号判断的准确性（需分解因式或配方后分析正负）； 2、同乘负数时忘记变号；同向不等式相加成立但相减不一定成立的区别； 3、倒数法则的适用条件（需考虑正负号，如大于且大于时，小于）。
知识点 不等式关系
常见的文字语言与符号语言之间的转换
文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过
符号语言 ______ ______ ______ ______
【答案】 ＞ ＜ ≥ ≤
随学随练
1.（2026高三·全国·专题练习）某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润.已知这种商品的售价每提高1元，销售量就相应减少10件.若把提价后商品的售价设为x元，用x表示每天的利润不低于300元的不等关系为______.
【答案】
【知识点】用不等式表示不等关系
【详解】提价后商品的售价为元，则提高了元，销售量减少了件，
则利润为元（），
则，化简得.
销售量为非负，结合提价要求得，
故.
知识点 不等式的性质（重点）
（1）不等式的性质
①对称性：________；
②传递性：，________；
③可加性：，，；
④可乘性：，；，；
⑤可乘方：________（，）；
⑥可开方：（，）．
（2）不等式的倒数性质
①，．
②．
③，．
④或．
【答案】 ；；
随学随练
1.（25-26高一上·湖北孝感·期末）下列命题是假命题的为（ ）
A．若，，则
B．若且，则
C．若，则
D．若，则
【答案】C
【详解】对于A：由，所以，故A正确；
对于B：由，得，所以，又，所以，故B正确；
对于C：当时，，故C错误；
对于D：由，所以，所以，故D正确.
知识点 实数的比较大小
两个实数比较大小的方法
①作差法横线上为______
②作商法
【答案】 ；；
随学随练
1.（25-26高二下·安徽芜湖·期末）记小明走路去学校的速度为，跑步去学校的速度为，方式一为一半的路程走路，一半的路程跑步，方式二为一半的时间走路，一半的时间跑步，则（ ）
A．方式二比方式一先到学校 B．方式一比方式二先到学校
C．两种方式到学校的时间一样 D．无法确定哪种方式先到学校
【答案】A
【详解】设方式一用时间为，方式二用时间为，小明到学校的距离为，
则，得到，
则，得到，
故方式二比方式一先到学校．
拓展 糖水不等式
1、设糖水克，含糖克，则糖水的浓度为加入m克糖后的糖水浓度为则一定有
2、牢记四个常用不等式 若a>b>0，m>0，则：
(1)<； (2)>(b-m>0)；
(3)>； (4)<(b-m>0).
活学活用
1.（25-26高二下·江西南昌·期末）（多选）下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
【答案】BC
【详解】对于Ａ选项，取，，则，A不正确.
对于Ｂ选项，因为，所以，因为，所以，B正确.
对于Ｃ选项，因为，，所以，则正确.
对于Ｄ选项，取，，，则，故D不正确.
2.（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）已知（）克糖水中含有（）克糖，向杯中再添加（）克糖（全部溶解），糖水变甜了.这其中蕴含着著名的“糖水不等式”.
(1)请将上述事实表示为一个不等式，并证明该不等式成立；
(2)已知，，是三角形的三边，求证：.
【答案】(1)，证明见解析； (2)证明见解析
【详解】（1）“糖水不等式”为：实数，则，
由，得，
所以.
（2）由（1）及，，是三角形的三边，得，则，
同理，
所以.
题型 列不等式关系
▌例1 .（25-26高一上·全国·课后作业）《铁路旅行常识》规定：
一、随同成人旅行，身高达到1.2米且不足1.5米的儿童享受半价客票（以下称儿童票），达到1.5米的应买全价票，每一名成人旅客可免费带一名身高不足1.2米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票．
…
十、旅客免费携带物品的体积和重量是每件物品的外部长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米，杆状物品不得超过200厘米，重量不得超过20千克…
设身高为h（米），物品外部长、宽、高尺寸之和为P（厘米），请用不等式表示下表中的不等关系．
文字表述 身高达到1.2米且不足1.5米 身高达到1.5米 身高不足1.2米 物品外部长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米
符号表示
【答案】答案见解析
【详解】
文字表述 身高达到1.2米且不足1.5米 身高达到1.5米 身高不足1.2米 物品外部长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米
符号表示
故答案为：；；；.
▌对点练1-1．（25-26高一上·全国·课前预习）生活中，我们经常在路上或桥上看到下列标志（如图），你知道它们的意思吗？你能用一个数学式子表示下列关系吗？
【答案】答案见解析
【详解】①最低限速50km/h，；②限制重量10t，；③限制高度3.5m，；
④限制宽度3m，；⑤通行时间7:30-10:00，.
▌对点练1-2．（25-26高一上·安徽合肥·期中）某人元旦回家共，准备先坐动车再转汽车，从动车转汽车耗时10min，转汽车时离家还有，已知动车的平均速度为，汽车平均速度为，若从坐动车开始能在1小时内到家，则应该满足的不等式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由题意汽车所用时间加上动车所用时间小于1小时，
即．
故选：D．
▌对点练1-3．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期中）哈尔滨某商场举办优惠酬宾赠券活动，购买百元以上单件商品可以使用优惠券一张，并且每天购物只能用一张优惠券.一名顾客得到三张优惠券，三张优惠券的具体优惠方式如下：
优惠券1：若标价超过100元，则付款时减免标价的10%；
优惠券2：若标价超过100元，则付款时减免20元；
优惠券3：若标价超过100元，则超过100元的部分减免18%.
如果顾客购买商品后，使用优惠券1比使用优惠券2、优惠券3减免的都多，那么你建议他购买的商品的标价可以是______元.
【答案】201.（答案不唯一，在开区间中任取一个实数作为答案即可）
【详解】设购买的商品的标价为元，，
使用优惠券1时减免元；使用优惠券2时减免20元；使用优惠券3时减免元，
由题意，且，解得．
故答案为：201.（答案不唯一，在开区间中任取一个实数作为答案即可）
题型 不等式的性质的应用
▌例1.（25-26高二下·上海奉贤·期末）以下不等式正确的是（ ）
A．如果，，那么
B．如果，那么
C．如果，那么
D．如果，那么
【答案】C
【详解】对于选项A，取，，，，
满足，，但，A错误；
对于选项B，取，，，，
满足，但，B错误；
对于选项C，因为，所以，C正确；
对于选项D，取，，
满足，但，D错误；
▌对点练1-1.（25-26高二下·山东泰安·期末）已知实数，，，则（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．若，则 D．若，，则
【答案】D
【详解】当时，满足，但，选项错误；
若，则，又，则，选项错误；
若，则，，但不能推出，选项错误；
由得，若，则，，选项正确.
▌对点练1-2.（25-26高一上·福建泉州·期中）如果，那么下列式子中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】因为，所以，又因为所以， 故A错误；
因为，所以， 故B错误；
因为，由糖水不等式得，故C正确；
因为，所以，因此，又因为，所以，故D错误.故选C
▌对点练1-3.（25-26高二下·河南商丘·期末）（多选）若，且，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【详解】选项A，因为，所以，错误.
选项B，因为，所以，又，因此，正确.
选项C，因为，所以，又因为，所以，正确.
选项D，，若，正负性无法确定，错误.
▌对点练1-4.（25-26高一上·安徽淮北·期末）已知，下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】BD
【详解】选项A. ，取，则，
则不成立，故选项A错误；
选项B. ，，，，故选项B正确；
C.，，，
，，，，，，故选项C错误；
D. ，
，，，
，故选项D正确.
题型 实数（代数式）比较大小
▌例1.（25-26高二下·河北沧州·期末）已知，记，，则（ ）
A． B． C． D．以上都有可能
【答案】C
【知识点】作差法比较代数式的大小
【详解】由，
因为，所以，，
所以，即.
▌对点练1-1.（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期中）设，，则（ ）
A． B． C． D．与的大小与有关
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】作差法比较代数式的大小
【分析】应用作差法比较大小即可.
【详解】由，所以.
故选：C
▌对点练1-2.（25-26高一上·北京·阶段检测）设，，则_______（填入“＞”或“＜”）．
【答案】
【知识点】作商法比较代数式的大小
【分析】由均大于0，可用作商法，再化简后与1作大小比较，即可得出答案.
【详解】∵，即.
又，
.
故答案为：>.
▌对点练1-3.已知，试比较与的大小.
【答案】
【难度】0.65
【知识点】作商法比较代数式的大小
【分析】利用两个数都大于0,直接利用作商比较其大小即可.
【详解】，
，.
两数作商
，
.
▌对点练1-4.（25-26高三·全国·一轮复习）设，，且，则和的大小关系是_________．
【答案】
【知识点】作商法比较代数式的大小
【分析】由，，且，得到，再分和讨论求解.
【详解】因为，，且，所以，
当时，由，，可得，所以．
当时，由，，可得，所以．
综上可得，．
故答案为：．
题型 利用不等式的性质求式子的范围
▌例1.（25-26高一下·广东·期末）已知，且，则的最大值是________．
【答案】5
【详解】当取最小值，取最大值3的时候，的最大值为5．
▌对点练1-1.（25-26高一上·广东汕尾·期末）已知，则的取值范围为___________．
【答案】
【详解】由于，
则，所以,
即,
则的取值范围为;
故答案为：
▌对点练1-2.（25-26高二下·上海·期末）已知，，则的取值范围是________．
【答案】
【详解】，，又因为，
，即．
▌对点练1-3.（25-26高一下·山东德州·阶段检测）已知，则的取值范围为______
【答案】
【详解】设
展开得
对比系数列方程得，解得
所以
因为，
所以，即
，两不等式相加得，即
基础通关
1.（2026高二下·浙江·学业考试）已知，则下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确
【详解】因为，所以，则，则，故B正确，A错误；
因为，所以，故C错误；
因为，所以，故D错误.
2．（25-26高二下·江西萍乡·期末）已知实数，则下列不等式不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、由已知条件判断所给不等式是否正确
【详解】对于A，因为，所以，故，A正确；
对于B，因为，所以，所以，B错误；
对于C，因为，所以，所以，C正确；
对于D，因为，所以，
故，所以，D正确.
3．（25-26高二下·广西柳州·期末）下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确
【分析】根据不等式的性质逐一验证即可求解.
【详解】对于A，由，所以，故A错误；
对于B，由，所以，，所以，故B错误；
对于C，若，由，所以，故C错误；
对于D，若，则，故D正确.
4．（25-26高二下·广东广州·期末）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、判断命题的充分不必要条件
【分析】根据不等式的性质，分析条件间的推出关系判断充分、必要性.
【详解】因为，根据不等式的性质有，所以充分性成立，
当时，满足，但不成立，必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件.
5.（25-26高二下·天津武清·阶段检测）设，则“”是“且”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、判断命题的必要不充分条件
【详解】由题意得，，时满足，但不满足且.
当且时，可得，
因此“”是“且”是必要不充分条件.
6.（25-26高二下·山东临沂·期末）（多选）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、由已知条件判断所给不等式是否正确、作差法比较代数式的大小
【详解】由可知，且.
选项A：因为在上单调递增，且，因此，A正确；
选项B：因为，所以，，因此，B错误；
选项C：由，可得，，由得，C正确；
选项D：变形不等式，
已知即，且即，因此乘积为负，不等式成立，D正确.
7．（25-26高二下·云南昭通·期末）（多选）以下四个命题中，是真命题的有（ ）
A．若命题，则p的否定为：
B．若，则
C．若且，则
D．“”是“”的充分不必要条件
【答案】AC
【知识点】全称命题的否定及其真假判断、判断命题的充分不必要条件、作差法比较代数式的大小
【详解】对于A，若命题，则的否定为：，故A正确；
对于B，若，则，
即，故B错误；
对于C：因为且，
所以，
则，故C正确；
对于D，因为是的真子集，
所以“”是“”的必要不充分条件，故D错误．
8．（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）（多选）对于实数，，，下列选项正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则， D．若，，则
【答案】ABD
【知识点】作商法比较代数式的大小、作差法比较代数式的大小
【分析】利用比较法、特例法逐一判断即可.
【详解】对选项A，因为，所以，，
所以，故A正确；
对选项B，，，所以，
因为，所以，即，故B正确；
对选项C，令，，满足，不满足，，故C错误；
对选项D，因为，，
所以，故D正确．
故选：ABD．
9．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）（多选）下列说法错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】AB
【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、由已知条件判断所给不等式是否正确
【详解】对于A，若，当时，则，A错误；
对于B，若，则，B错误；
对于C，若，则，C正确，
对于D，，
因为，所以，所以，D正确.
10．（25-26高二下·重庆璧山·期末）（多选）已知，，，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，，则
【答案】BD
【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、由已知条件判断所给不等式是否正确
【详解】对A，当时，可得；当时，可得；当时，可得.故A错误；
对B，由可得，两边同除以，不等号方向不变，可得.故B正确；
对C，当时，C选项的结论不成立，故C错误；
对D，因为，，所以，，
所以，所以，故D正确.
素养提升
11.（25-26高一上·河南平顶山·阶段检测）若，则下列不等式一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.65
【分析】举出反例可得A、B、D错误；借助作差法计算可得C.
【详解】对A：若，，则有，，此时，错误.
对B：若，，则有，，
此时，错误.
对C：，
由，故，，，故，
即，正确.
对D：若，，则，，
此时，错误.
12.（25-26高一下·山东潍坊·期中）（多选）已知实数a，b，c，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，，则
D．若，，则
【答案】BCD
【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确
【分析】根据不等式的性质，可通过特殊值法、作差法逐一验证选项的正确性.
【详解】对于选项A，取，满足，但，故选项A不正确；
对于选项B，因为，，所以，故选项B正确；
对于选项C，因为，所以，又，由不等式的性质，得，故选项C正确；
对于选项D，当，时，，故选项D正确.
13.（25-26高一上·重庆·期末）（多选）已知，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．“，”是“”成立的充分不必要条件
C．“”是“”的必要条件
D．若，，则
【答案】BD
【难度】0.4
【分析】逐一分析每个选项，利用不等式性质、充分必要条件定义及反例法判断正误.
【详解】对于A，若，，则，故A错误；
对于B，由，时一定有，充分性成立，由，如，，推不出，，必要性不成立，
因此“，”是“”成立的充分不必要条件，所以B正确；
对于C，“”，如，，推不出“”，所以C错误；
对于D，由，得，又，所以，即，故D正确.
故选：BD
15.（2026·河南·模拟预测）以表示数集中最大的数．设，已知或，则的最小值为________．
【答案】
【难度】0.4
【分析】通过变量替换将三个差值设为，把用表示，分两种条件情况讨论，利用的不等式放缩，求出的下界，再比较得到最小值．
【详解】令，，，其中，，，
所以
若，则，故，
令，
因此故，
则．
若，则，即，
，
则故，
则，当且仅当且时，等号成立，即时等号成立．
综上可知，的最小值为．
故答案为：．
迁移创新
16.（2026·安徽滁州·三模）已知，，都是非零实数且，设甲：，乙：，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【难度】0.55
【分析】对或展开化简，得到，不妨取，结合充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】因为，所以，
又，
所以，
所以，即或或.
不妨设，即，则，
又，所以，
同理，当或时，也满足，故甲能推出乙.
因为，所以，
又，
所以
其中，
若，则，即，
与题设矛盾，所以，
故或或，
不妨设，即，则，
又，所以，
同理，当或时，也满足，故乙能推出甲.
综上，甲是乙的充要条件.
17.（25-26高一上·黑龙江黑河·阶段检测）已知b克糖水中有a克糖，往糖水中加入m克糖，（假设全部溶解）糖水更甜了.
(1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式；
(2)利用（1）的结论比较的大小；
(3)证明命题：设，证明：.
【答案】(1)，证明：
由题意，可得不等式.
证明：由，
因为，可得，
所以，即.
(2)
(3)
证明：因为，
根据（1）中的结论，可得，
同向不等式相加可得，①，
又由，同理可得，
则，②
综合①②，得.
【难度】0.4
【分析】（1）根据题意，得到不等式，结合作差比较法，即可得证；
（2）根据题意，化简，利用上述结论，即可求解；
（3）由（1）中的结论，得到，证得，再由， ，,由即可得证.
【详解】（1）略
（2）由，
由（1）中的结论，可得，即.
（3）略
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1 / 102.1 等式性质与不等式性质
课标要点 1、系统回顾等式的基本性质，熟练掌握等式对称性、传递性，以及等式两边同时进行加减、乘除（除数不为0）运算后等式仍成立的核心规则，夯实等式变形基础。 2、深度理解不等式的核心基本性质，熟练掌握不等式对称性、传递性、可加性、可乘性，同时了解同向不等式可加、正数同向可乘、倒数法则等拓展性质。 3、精准掌握两个实数大小的比较方法，核心掌握作差比较法、作商比较法，明确两种方法的适用场景与使用前提。 4、能够灵活运用不等式的各类基本性质，对不等式进行合理变形、化简、推理，解决基础的不等式判断、证明和取值范围求解问题。 5、清晰辨析等式性质与不等式性质的异同点，重点掌握两者加减运算的一致性，以及同乘负数、乘除正数、取倒数等运算中的核心差异，规避变形误区。
学习重难点 重点： 1、等式与不等式的核心基本性质：熟练掌握等式的四则运算不变性，精准熟记不等式对称性、传递性、可加性、可乘性四大核心性质，能直接用于基础变形。 2、实数大小比较方法：重点掌握作差法的核心逻辑，明确“差>0则前者大、差<0则前者小、差=0则两数相等”的判断规则，熟练掌握作差法的通用解题步骤。 3、不等式变形核心规则：牢记不等式独有重难点规则，即不等式两边同乘（除）负数，不等号方向必须改变，同乘（除）正数，不等号方向不变。 难点： 1、作差法变形时，符号判断的准确性（需分解因式或配方后分析正负）； 2、同乘负数时忘记变号；同向不等式相加成立但相减不一定成立的区别； 3、倒数法则的适用条件（需考虑正负号，如大于且大于时，小于）。
知识点 不等式关系
常见的文字语言与符号语言之间的转换
文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过
符号语言 ______ ______ ______ ______
随学随练
1.（2026高三·全国·专题练习）某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润.已知这种商品的售价每提高1元，销售量就相应减少10件.若把提价后商品的售价设为x元，用x表示每天的利润不低于300元的不等关系为______.
知识点 不等式的性质（重点）
（1）不等式的性质
①对称性：________；
②传递性：，________；
③可加性：，，；
④可乘性：，；，；
⑤可乘方：________（，）；
⑥可开方：（，）．
（2）不等式的倒数性质
①，．
②．
③，．
④或．
随学随练
1.（25-26高一上·湖北孝感·期末）下列命题是假命题的为（ ）
A．若，，则
B．若且，则
C．若，则
D．若，则
知识点 实数的比较大小
两个实数比较大小的方法
①作差法横线上为______
②作商法
随学随练
1.（25-26高二下·安徽芜湖·期末）记小明走路去学校的速度为，跑步去学校的速度为，方式一为一半的路程走路，一半的路程跑步，方式二为一半的时间走路，一半的时间跑步，则（ ）
A．方式二比方式一先到学校 B．方式一比方式二先到学校
C．两种方式到学校的时间一样 D．无法确定哪种方式先到学校
拓展 糖水不等式
1、设糖水克，含糖克，则糖水的浓度为加入m克糖后的糖水浓度为则一定有
2、牢记四个常用不等式 若a>b>0，m>0，则：
(1)<； (2)>(b-m>0)；
(3)>； (4)<(b-m>0).
活学活用
1.（25-26高二下·江西南昌·期末）（多选）下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
2.（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）已知（）克糖水中含有（）克糖，向杯中再添加（）克糖（全部溶解），糖水变甜了.这其中蕴含着著名的“糖水不等式”.
(1)请将上述事实表示为一个不等式，并证明该不等式成立；
(2)已知，，是三角形的三边，求证：.
题型 列不等式关系
▌例1 .（25-26高一上·全国·课后作业）《铁路旅行常识》规定：
一、随同成人旅行，身高达到1.2米且不足1.5米的儿童享受半价客票（以下称儿童票），达到1.5米的应买全价票，每一名成人旅客可免费带一名身高不足1.2米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票．
…
十、旅客免费携带物品的体积和重量是每件物品的外部长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米，杆状物品不得超过200厘米，重量不得超过20千克…
设身高为h（米），物品外部长、宽、高尺寸之和为P（厘米），请用不等式表示下表中的不等关系．
文字表述 身高达到1.2米且不足1.5米 身高达到1.5米 身高不足1.2米 物品外部长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米
符号表示
▌对点练1-1．（25-26高一上·全国·课前预习）生活中，我们经常在路上或桥上看到下列标志（如图），你知道它们的意思吗？你能用一个数学式子表示下列关系吗？
▌对点练1-2．（25-26高一上·安徽合肥·期中）某人元旦回家共，准备先坐动车再转汽车，从动车转汽车耗时10min，转汽车时离家还有，已知动车的平均速度为，汽车平均速度为，若从坐动车开始能在1小时内到家，则应该满足的不等式为（ ）
A． B．
C． D．
▌对点练1-3．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期中）哈尔滨某商场举办优惠酬宾赠券活动，购买百元以上单件商品可以使用优惠券一张，并且每天购物只能用一张优惠券.一名顾客得到三张优惠券，三张优惠券的具体优惠方式如下：
优惠券1：若标价超过100元，则付款时减免标价的10%；
优惠券2：若标价超过100元，则付款时减免20元；
优惠券3：若标价超过100元，则超过100元的部分减免18%.
如果顾客购买商品后，使用优惠券1比使用优惠券2、优惠券3减免的都多，那么你建议他购买的商品的标价可以是______元.
题型 不等式的性质的应用
▌例1.（25-26高二下·上海奉贤·期末）以下不等式正确的是（ ）
A．如果，，那么
B．如果，那么
C．如果，那么
D．如果，那么
▌对点练1-1.（25-26高二下·山东泰安·期末）已知实数，，，则（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．若，则 D．若，，则
▌对点练1-2.（25-26高一上·福建泉州·期中）如果，那么下列式子中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
▌对点练1-3.（25-26高二下·河南商丘·期末）（多选）若，且，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
▌对点练1-4.（25-26高一上·安徽淮北·期末）已知，下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
题型 实数（代数式）比较大小
▌例1.（25-26高二下·河北沧州·期末）已知，记，，则（ ）
A． B． C． D．以上都有可能
▌对点练1-1.（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期中）设，，则（ ）
A． B． C． D．与的大小与有关
▌对点练1-2.（25-26高一上·北京·阶段检测）设，，则_______（填入“＞”或“＜”）．
▌对点练1-3.已知，试比较与的大小.
▌对点练1-4.（25-26高三·全国·一轮复习）设，，且，则和的大小关系是_________．
题型 利用不等式的性质求式子的范围
▌例1.（25-26高一下·广东·期末）已知，且，则的最大值是________．
▌对点练1-1.（25-26高一上·广东汕尾·期末）已知，则的取值范围为___________．
▌对点练1-2.（25-26高二下·上海·期末）已知，，则的取值范围是________．
▌对点练1-3.（25-26高一下·山东德州·阶段检测）已知，则的取值范围为______
基础通关
1.（2026高二下·浙江·学业考试）已知，则下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（25-26高二下·江西萍乡·期末）已知实数，则下列不等式不成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26高二下·广西柳州·期末）下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4．（25-26高二下·广东广州·期末）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5.（25-26高二下·天津武清·阶段检测）设，则“”是“且”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6.（25-26高二下·山东临沂·期末）（多选）若，则（ ）
A． B． C． D．
7．（25-26高二下·云南昭通·期末）（多选）以下四个命题中，是真命题的有（ ）
A．若命题，则p的否定为：
B．若，则
C．若且，则
D．“”是“”的充分不必要条件
8．（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）（多选）对于实数，，，下列选项正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则， D．若，，则
9．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）（多选）下列说法错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，，则
10．（25-26高二下·重庆璧山·期末）（多选）已知，，，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，，则
素养提升
11.（25-26高一上·河南平顶山·阶段检测）若，则下列不等式一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
12.（25-26高一下·山东潍坊·期中）（多选）已知实数a，b，c，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，，则
D．若，，则
13.（25-26高一上·重庆·期末）（多选）已知，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．“，”是“”成立的充分不必要条件
C．“”是“”的必要条件
D．若，，则
15.（2026·河南·模拟预测）以表示数集中最大的数．设，已知或，则的最小值为________．
迁移创新
16.（2026·安徽滁州·三模）已知，，都是非零实数且，设甲：，乙：，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
17.（25-26高一上·黑龙江黑河·阶段检测）已知b克糖水中有a克糖，往糖水中加入m克糖，（假设全部溶解）糖水更甜了.
(1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式；
(2)利用（1）的结论比较的大小；
(3)证明命题：设，证明：.
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