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专题拓展：利用基本不等式求最值的四大方法
方法1：配凑法
角度1：配凑和为定值
【例1】求函数的最大值.
【答案】
【详解】因为，所以，，
所以 ,
（配凑了：为定值，可以在心里把看作是a，这个式子可以看作是b）
当且仅当，即时，.
故函数的最大值为.
故答案为：
【方法总结】
配凑和为定值，再利用基本不等式求积的最值策略：
1、最值定理：已知都是正数，若(和为定值)，则当时，积有最大值，且这个值为；
2、技巧：配凑某两个式子的和为定值，往往借助相反数的和为0进行配凑.
3、口诀：谁的和为定值，谁的乘积就有最值，同时谁就是与.
【变式1-1】已知，则的最大值为__________.
【答案】
【详解】由于，故，
，
（配凑了：为定值，可以在心里把看作是a，这个式子可以看作是b）
当且仅当，即时取到等号，故的最大值为，
故答案为：
角度2：配凑积为定值
【例2】（1）已知实数，则的最小值是__________.
【答案】
【详解】，
（配凑了：为定值，可以在心里把看作是a，这个式子可以看作是b）
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为
（2）当时，函数的最小值为_____．
【答案】
【详解】因为，所以，等号成立时，，
（配凑了：拆分分式后，配凑了为定值，可以在心里把看作是a，这个式子可以看作是）
故函数的最小值为．
【方法总结】
配凑积为定值，再利用基本不等式求和的最值策略：
1、最值定理：若(积为定值)，则当时，和有最小值，且这个值为；
2、技巧：配凑某两个式子的积为定值，往往借助倒数的乘积为1进行配凑.
3、口诀：谁的积为定值，谁的和就有最值，同时谁就是与.
【变式2-1】设，则的最小值为（ ）
A． B． C．6 D．3
【答案】C
【详解】，
当且仅当，即时取等号，
故的最小值为.
【变式2-2】若，则有（ ）
A．最小值 B．最大值4 C．最小值 D．最小值4
【答案】D
【详解】由题意得，
因为，所以，则，
由基本不等式可得，
当且仅当时取等，此时解得，
则有最小值4，故D正确.
方法2：常数代换法
角度1：常规代换
【例3】已知，，且，则的最小值是______.
【答案】8
【详解】，
当且仅当时等号成立，即时，的最小值为8.
【方法总结】
常数代换法求最值方法（巧用数字“1”的代换）：
1、两个类型：(1) 已知正数 满足 ，求 的最小值（ ）；
(2) 已知正数 满足 ，求 的最小值（ ）。
2、代换的一般解题步骤：
第1步（定值）：根据已知条件或其变形确定定值（常数）；
第2步（化“1”）：把确定的定值（常数）变形为“ ”；
第3步（变形求值）：把“ ”的式子与所求最值的式子相乘或相除，构造和或积的形式，进而利用基本不等式求解.
【变式3-1】设正实数，满足，则的最小值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【详解】，
当且仅当，时取等．
角度2：变异型代换
【例4】（1）13．已知，则的最小值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【详解】令，，所以，
因为，所以，即，
则，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是4.
（2）已知，且，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【详解】令，，所以，
因为，所以，
则，
当且仅当时取等号，即
由，解得，
所以当时，的最小值为.
【方法总结】
变异型常数代换法求最值的方法：
1、特征：已知两个分式相加或者求两个分式相加的最值，分母不是单独的字母
2、解题步骤：（1）换元：把两个分母换元为一个字母，然后用新元表示已知条件
（2）转化：通过换元即可把问题转化为常规常数代换.
【变式4-1】已知为正数，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】令，，因为为正数，所以m,n为正数，
因为，所以，即
易知，
当且仅当时取等号，即.
方法3：消元法
角度1：双元变单元
【例5】已知，则的最小值为(　　)
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】　由,可得n≠0,则.
，当且仅当，即时取等号,
即时,取最小值.
【方法总结】
消元法之双元变单元求最值的策略：
对含有多个变量的最值问题，若无法直接利用基本不等式求解，可尝试减少变量的个数，即用一个变量表示出另一个变量，再代入代数式中进行化简，并利用基本不等式求解.
【变式5-1】已知，，，则的最小值为（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
【答案】D
【详解】因为，所以
由题设，又，，故，
所以，当且仅当，时等号成立，
所以的最小值为8.
角度2：整式消元
【例6】若，，，则的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】C
【详解】对于正数,有,当且仅当时取得等号，
因为，所以，代入以上基本不等式得：
即，解得或（舍）.
故，当且仅当时等号成立.
所以的最小值为2.
【方法总结】
消元法之整式消元求最值的策略：
将基本不等式中的两个整式“”与“”看作整体，需要求哪个整体的最值，就利用消元的方法，把另一个整式等价替换消元，将基本不等式转化为关于只有所有整式最值的不等式，解不等式即可得出最值.
提示：不仅基本不等式可以整式消元，不等式链接中的整式、、、，以及中的、等等，都可以进行整式消元.
【变式6-1】已知正数满足，则的最小值为_______．
【答案】9
【详解】对于正数,有,当且仅当时取得等号，
因为，所以得，代入以上基本不等式得：
即，所以，
故或（舍去）,
故，即的最小值为9，当且仅当时取最小值，
故答案为：9
方法4：齐次化法
【例7】已知实数、，且，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为实数、，且，
所以，
当且仅当，即时，的最小值是.
【方法总结】
齐次化法求最值的一般步骤：
1、判定变量符号：先确认题目中所有变量均为正数，满足基本不等式的使用前提；
2、判断式子次数：分别查看已知条件和待求最值的式子，判断目标式是否齐次，不齐次须变形；
3、统一次数 ：结合已知条件对目标式进行齐次变形，一般是乘以已知条件式子升次；
4、拆分并套用基本不等式：把整理好的齐次式展开、拆分，凑成两部分互为倒数的形式，然后利用基本不等式求最值；
5、检验最值是否取得到：结合等号成立条件与原题已知等式，解出对应变量的值，从而得解最值；
【变式7-1】已知x>0,y>0,x+2y=1,则的最小值为　　　　.
【答案】
【详解】由可得
,
当且仅当,即且时等号成立.
一、单选题
1．已知，则的最大值为（　　）
A．2 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【详解】因为，
所以可得，则，
当且仅当，即时，上式取得等号，
的最大值为2．
2．已知函数，则当时，有（ ）
A．最大值 B．最小值
C．最大值 D．最小值
【答案】B
【详解】由题意当时，，等号成立当且仅当.
3．实数满足，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】 ，所以，当且仅当取等号.
4．已知，则的最小值是（ ）
A．0 B． C． D．1
【答案】A
【详解】由题设且，则，所以，当且仅当时取等号，
所以的最小值是0.
5．已知正数a，b满足，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：因为，所以，
所以，
当且仅当，即，时，等号成立．
6．1．已知正数a，b，且，满足，则（ ）
A．a的取值范围是 B．的最小值为2
C．的最大值为 D．的最小值为
【答案】D
【详解】由，所以，即，
又，所以，所以，即的取值范围为，故A错误；
由在单调递增，所以，所以无最小值，故B错误；
由 ，
当时，即时，等号成立，所以的最小值为，故C错误；
由 ，当，即时，等号成立，
所以的最小值为，故D正确.
二、多选题
7．下列说法正确的有（ ）
A．的最小值是2 B．的最小值是2
C．的最小值是2 D．的最小值是4
【答案】BD
【详解】对A，当时，，A错误；
对B，，则，，当且仅当即时取等号，B正确；
对C，，当且仅当，即时等号成立，但无实数解，因此C错误；
对D，，，当且仅当时取等号，D正确.
8．设正实数满足，则以下说法正确的有（ ）
A．的最小值为 B．的最大值为
C．的最大值为4 D．的最小值为
【答案】AB
【详解】对于A：，，
所以当时，取得最小值，故A正确；
对于B：
即，
当且仅当时，等号成立，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最大值为，故B正确；
对于C：，，故C错误；
对于D：，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为，故D错误.
9．设正实数，满足，则下列说法正确的是（ ）
A．有最大值 B．有最小值
C．有最大值 D．有最小值
【答案】ABC
【详解】对于A，由基本不等式，代入得，即，
当且仅当时等号成立，所以最大值为，故A正确；
对于B，，由基本不等式，
故，当且仅当时等号成立，
所以最小值为，故B正确；
对于C，，由选项A知，
故，即，
当且仅当时等号成立，所以最大值为，故C正确；
对于D，，由选项A知，故，
则，
即最小值为，不是，故D错误.
三、填空题
10．已知，则的最小值为________，此时________．
【答案】
【详解】因，则，等号成立时，
故当时，有最小值.
故答案为：；
11.已知正数，满足，则的最小值为__________.
【答案】
【详解】由正数，满足，可得，
所以，
当且仅当，，即时取等号，
所以的最小值为.
12．已知 ，则的最小值为___________．
【答案】
【详解】已知，利用这个条件进行 “1 的代换”，实现齐次化：
接下来对含变量的项使用基本不等式：
因此：
等号成立条件： 当且仅当，即 时，等号成立.
四、解答题
13．7．已知，．
(1)若，求证：；
(2)若，求的最小值；
(3)若恒成立，求x的取值范围．
【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)
【详解】（1）由，得，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以．
（2）因为，所以，则，
则
，
当且仅当，即时取得等号，
故的最小值为．
（3）因为，，所以，
则可化为恒成立，
又，当且仅当时取得等号，
所以，则.
故的取值范围为．
14．（1）已知正数a、b满足.求ab的最小值；
（2）若，且，求的最小值；
（3）已知，求的最小值；
（4）已知正数a、b满足.求的最小值.
【答案】（1）4；（2）8；（3）9；（4）
【详解】（1），，当且仅当时等号成立，
则，即，可得，即的最小值为4.
（2）因为，由，当且仅当时等号成立，
即，解得或（舍去），
即时，有最小值8.
（3），
，当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为9.
（4）由可得，
所以
，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
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方法1：配凑法
角度1：配凑和为定值
【例1】求函数的最大值.
【方法总结】
配凑和为定值，再利用基本不等式求积的最值策略：
1、最值定理：已知都是正数，若(和为定值)，则当时，积有最大值，且这个值为；
2、技巧：配凑某两个式子的和为定值，往往借助相反数的和为0进行配凑.
3、口诀：谁的和为定值，谁的乘积就有最值，同时谁就是与.
【变式1-1】已知，则的最大值为__________.
角度2：配凑积为定值
【例2】（1）已知实数，则的最小值是__________.
（2）当时，函数的最小值为_____．
【方法总结】
配凑积为定值，再利用基本不等式求和的最值策略：
1、最值定理：若(积为定值)，则当时，和有最小值，且这个值为；
2、技巧：配凑某两个式子的积为定值，往往借助倒数的乘积为1进行配凑.
3、口诀：谁的积为定值，谁的和就有最值，同时谁就是与.
【变式2-1】设，则的最小值为（ ）
A． B． C．6 D．3
【变式2-2】若，则有（ ）
A．最小值 B．最大值4 C．最小值 D．最小值4
方法2：常数代换法
角度1：常规代换
【例3】已知，，且，则的最小值是______.
【方法总结】
常数代换法求最值方法（巧用数字“1”的代换）：
1、两个类型：(1) 已知正数 满足 ，求 的最小值（ ）；
(2) 已知正数 满足 ，求 的最小值（ ）。
2、代换的一般解题步骤：
第1步（定值）：根据已知条件或其变形确定定值（常数）；
第2步（化“1”）：把确定的定值（常数）变形为“ ”；
第3步（变形求值）：把“ ”的式子与所求最值的式子相乘或相除，构造和或积的形式，进而利用基本不等式求解.
【变式3-1】设正实数，满足，则的最小值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
角度2：变异型代换
【例4】（1）13．已知，则的最小值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
（2）已知，且，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【方法总结】
变异型常数代换法求最值的方法：
1、特征：已知两个分式相加或者求两个分式相加的最值，分母不是单独的字母
2、解题步骤：（1）换元：把两个分母换元为一个字母，然后用新元表示已知条件
（2）转化：通过换元即可把问题转化为常规常数代换.
【变式4-1】已知为正数，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
方法3：消元法
角度1：双元变单元
【例5】已知，则的最小值为(　　)
A. B. C. D.
【方法总结】
消元法之双元变单元求最值的策略：
对含有多个变量的最值问题，若无法直接利用基本不等式求解，可尝试减少变量的个数，即用一个变量表示出另一个变量，再代入代数式中进行化简，并利用基本不等式求解.
【变式5-1】已知，，，则的最小值为（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
角度2：整式消元
【例6】若，，，则的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【方法总结】
消元法之整式消元求最值的策略：
将基本不等式中的两个整式“”与“”看作整体，需要求哪个整体的最值，就利用消元的方法，把另一个整式等价替换消元，将基本不等式转化为关于只有所有整式最值的不等式，解不等式即可得出最值.
提示：不仅基本不等式可以整式消元，不等式链接中的整式、、、，以及中的、等等，都可以进行整式消元.
【变式6-1】已知正数满足，则的最小值为_______．
方法4：齐次化法
【例7】已知实数、，且，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【方法总结】
齐次化法求最值的一般步骤：
1、判定变量符号：先确认题目中所有变量均为正数，满足基本不等式的使用前提；
2、判断式子次数：分别查看已知条件和待求最值的式子，判断目标式是否齐次，不齐次须变形；
3、统一次数 ：结合已知条件对目标式进行齐次变形，一般是乘以已知条件式子升次；
4、拆分并套用基本不等式：把整理好的齐次式展开、拆分，凑成两部分互为倒数的形式，然后利用基本不等式求最值；
5、检验最值是否取得到：结合等号成立条件与原题已知等式，解出对应变量的值，从而得解最值；
【变式7-1】已知x>0,y>0,x+2y=1,则的最小值为　　　　.
一、单选题
1．已知，则的最大值为（　　）
A．2 B．4 C．5 D．6
2．已知函数，则当时，有（ ）
A．最大值 B．最小值
C．最大值 D．最小值
3．实数满足，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知，则的最小值是（ ）
A．0 B． C． D．1
5．已知正数a，b满足，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
6．1．已知正数a，b，且，满足，则（ ）
A．a的取值范围是 B．的最小值为2
C．的最大值为 D．的最小值为
二、多选题
7．下列说法正确的有（ ）
A．的最小值是2 B．的最小值是2
C．的最小值是2 D．的最小值是4
8．设正实数满足，则以下说法正确的有（ ）
A．的最小值为 B．的最大值为
C．的最大值为4 D．的最小值为
9．设正实数，满足，则下列说法正确的是（ ）
A．有最大值 B．有最小值
C．有最大值 D．有最小值
三、填空题
10．已知，则的最小值为________，此时________．
11.已知正数，满足，则的最小值为__________.
12．已知 ，则的最小值为___________．
四、解答题
13．7．已知，．
(1)若，求证：；
(2)若，求的最小值；
(3)若恒成立，求x的取值范围．
14．（1）已知正数a、b满足.求ab的最小值；
（2）若，且，求的最小值；
（3）已知，求的最小值；
（4）已知正数a、b满足.求的最小值.
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