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素养拓展02 基本不等式求最值的常用方法
知识点01 直接法
适用场景：代数式本身天然满足“一正、二定、三相等”，无需变形，可直接套用均值不等式公式。
步骤：①逐一验证所有项均为正数；②判断和或乘积是否为定值；③列出等号成立条件，求解最值。
注意
负数处理公式：若，令：
【即学即练】
1．的最小值为（ ）
A． B．9 C．8 D．
【答案】B
【详解】，当且仅当，即时取等.
知识点02 配凑法
适用场景：原式无定值结构，需要通过恒等变形构造和定或积定。
变形手段：通过调整系数、拆分常数、添项拆项完成等价变形，保证式子数值不变。
核心要求：变形后必须重新完整检验三项条件：各项为正、和/积为定值、等号有可取取值。
【即学即练】
2．已知，则 的最小值为（ ）
A．3 B．4
C．5 D．6
【答案】A
【详解】当时，，所以，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为3．
知识点03 分离常数法
适用场景：分子、分母均含同一变量的分式型代数式，将变形为
步骤：①将分子配凑为分母的倍数形式，拆分分式；②对分母整体换元，将原式转化为常数加标准对勾函数；③化为恒正或恒负结构后，使用基本不等式求最值。
【即学即练】
3．若，则的最大值是______．
【答案】
【详解】令，
因为，所以，所以，
当且仅当，即，因为，所以时，等号成立.
知识点04 消元法
适用场景：含两个及以上变量，且带有约束等式的多元最值问题。
步骤：①利用约束等式，用单一变量表示其余变量，完成消元；②明确剩余变量的取值范围；③将多元式转化为单变量代数式，再结合配凑、基本不等式求解。
【即学即练】
4．已知，若，则的最小值为___________．
【答案】3
【详解】∵已知，，
∴，即
∴，当且仅当，时等号成立，最小值为3，
故答案为：3.
知识点05 代换法（乘1法）
类型1：分母为单项式，1的代换
已知等式结构等于1，将所求代数式整体乘以该等式，展开后构造定值交叉项。
设，求：
类型2：分母为多项式
1.分母仅含单个字母：对分母配凑构造数值为1的式子，再与目标式相乘展开；
2.待定系数通用法：设参数拆分条件式，联立方程求解系数，构造定值结构，适配所有多项式分母题型。
【即学即练】
5．已知，则的最小值为____.
【答案】4
【详解】因为，所以，
当且仅当时取等号，即的最小值为.
知识点06 构造目标不等式法
核心思路：不直接对原式配凑定值，结合已知条件多次均值放缩，推导出仅包含目标代数式的一元不等式；
求解流程：通过解不等式得到目标式整体取值范围，进而求出最大、最小值，全程校验等号成立条件。
【即学即练】
6．若，且，则ab的最小值是______．
【答案】4
【详解】因，则，整理得，
解得，即，当且仅当时取等，
故当时，ab取得最小值为4.
知识点07 多次使用基本不等式法
核心约束：同一题目中两次及以上运用均值不等式时，两条硬性规则：
1.每一次使用不等式都要单独验证“一正、二定、三相等”；
2.所有不等式取等号的条件必须同时成立，若条件相互冲突，该解法失效。
知识点08 三元均值不等式法
三元均值不等式：
当且仅当时取等，多用于三项式求和最小、求积最大问题，同样遵守均值不等式三要素。
【即学即练】
7．已知，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】
【详解】方法一：，
故，
当且仅当，即时，等号成立，
方法二：，
故，
当且仅当，且时，即时，等号成立．
故的最小值为4；
故选：D
题型01 直接法求最值
例1．设，则的最小值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．2
【答案】C
【详解】，当且仅当，即（因为）时取等号，
所以的最小值为.
【小试牛刀】
变式1-1．设实数，满足，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】设条件，条件。
已知，由基本不等式可得（当且仅当时等号成立），
若，则，即成立，故必要性成立；
取，满足，且，但，
即存在满足的情况不满足，即不成立，故充分性不成立.
综上，“”是“”的必要不充分条件.
变式1-2．已知，则的最小值为______________.
【答案】1
【详解】已知，则，
当且仅当时取等号，
所以的最小值为1.
变式1-3．已知，则的最大值为__________．
【答案】/
【详解】因为，当且仅当时等号成立，
结合可得，，
当且仅当，或，时等号成立，
所以当，或，时，取最大值，最大值为.
题型02 配凑法求最值
例2．若，则函数的最小值为_____.
【答案】10
【详解】若，则，
所以函数，
当且仅当，即时等号成立，
故函数的最小值为.
【小试牛刀】
变式2-1．设实数x满足，则函数的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【详解】因为，所以，
则，
s时，等号成立，
故函数的最小值为5.
变式2-2．求函数的最大值.
【答案】
【详解】因为，，
所以,
当且仅当，即时，.
故函数的最大值为.
故答案为：
变式2-3．若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，所以，
所以，当且仅当，即时等号成立，
所以，
所以，当且仅当时等号成立，
故的最大值为.
故选：C.
题型03 分式分离法求最值
例3．设，则的最小值为_____________．
【答案】
【详解】因为，则，
所以，
当且仅当时，即当时，等号成立.
故当时，的最小值为.
【小试牛刀】
变式3-1．（多选）下列各式中，最小值是6的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【详解】对于选项A，由于可能为负，所以的最小值不是6，A错误；
对于B，因为，
所以，
当且仅当时等号成立，故B正确；
对于C，，当异号时其最小值应小于4，故C错误；
对于D，因为，
所以，
当且仅当时等号成立，故D正确.
故选：BD
变式3-2．求函数的最小值．
【答案】9
【详解】，
因为，所以，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
故函数的最小值为.
变式3-3．已知，则的最大值是（ ）．
A． B． C．5 D．8
【答案】A
【详解】易知．
因为，所以，所以，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
故，则的最大值是．
故选：A
题型04 消元法求最值
例4．已知为实数，且，则的最小值为________.
【答案】/
【详解】因为，且，
所以，
所以
，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为.
【小试牛刀】
变式4-1．已知，且，则的最小值是（ ）
A．12 B．6 C． D．
【答案】D
【详解】由题可知，已知，
则，，
由基本不等式得：，
当且仅当“”，即“，”时取“”.
变式4-2．设均为正实数，满足，则的最小值为______.
【答案】4
【详解】 ，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
故最小值为4.
变式4-3．已知，则的最大值为__________.
【答案】
【详解】因为，所以，
所以，
当且仅当时，即，时，等号成立，
所以.所以当时，取最大值.
题型05 乘“1”法求最值（分母为单项式）
例5．已知正数，满足，则的最小值为（ ）
A．28 B．30 C．32 D．34
【答案】C
【详解】因为，因此，
由，，以及基本不等式可得，
当且仅当，即时等号成立，
故.
【小试牛刀】
变式5-1．若，，，则的最小值为（ ）
A．26 B．25 C．19 D．13
【答案】B
【详解】因为，，，所以，
当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为25.
变式5-2．已知正实数，满足，则的最小值为__________.
【答案】
【详解】∵ 正实数满足,∴ .
∴ .
∵ ，由基本不等式得，
当且仅当，即时等号成立.
将代入，解得，符合为正实数的约束条件.
∴ 的最小值为.
变式5-3．已知正实数，满足，则的最小值为__________．
【答案】
【详解】正实数，满足，
则，
当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
题型06 乘“1”法求最值（分母为多项式）
例6．若，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【详解】，
，
当且仅当，即时取等号，
所以.
【小试牛刀】
变式6-1．已知，则的最小值为_______.
【答案】/
【详解】因为，所以，
所以
，
当且仅当即时，等号成立.
所以的最小值为.
变式6-2．已知，则的最小值为________．
【答案】
【详解】因为，所以.
，
当且仅当时等号成立.
变式6-3．已知，，且，则的最小值为__________．
【答案】/
【详解】因为，，，所以， ， .
所以， .
所以
当且仅当即时，等号成立.
所以的最小值为.
题型07 构造不等式法求最值
例7．已知实数，满足，则的最大值为_____．
【答案】2
【详解】由，而，则，
设，则，即，
对任意实数，有，即，可得，即，
当时，满足原等式，且成立，
因此的最大值为.
【小试牛刀】
变式7-1．已知，，且，则的最小值为（ ）
A．6 B．4 C． D．2
【答案】A
【详解】因为，故，
又因为，，因此有，
因此，当且仅当时等号成立，
设，所以，解得或，
由和，解得，
因此当时，的最小值为6.
变式7-2．已知正实数满足，则的最大值是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】A
【详解】解析：因为正实数满足，即
，所以，即，
当且仅当时等号成立，联立可得，
所以当时，取最大值，，
故选：A
变式7-3．若，，且满足，则的最小值为____________，的最小值为____________．
【答案】 9 3
【详解】①，由，所以，，，当且仅当时取得等号,则的最小值为，
由条件得，，，，，当且仅当，时取得等号，
则的最小值为.
题型08 多次使用基本不等式求最值
例8．若是正数，则的最小值是__________．
【答案】4
【详解】
当且仅当时取等.
故答案为：4
【点睛】本题主要考查了基本不等式在最值问题的应用．考查了学生对均值不等式的理解和应用．
【小试牛刀】
变式8-1．已知均为正实数，且，则当取得最小值时__________，的最小值为__________．
【答案】 6
【详解】依题意，，
当且仅当时取等号，所以当取得最小值时；
，
当且仅当时取等号，所以的最小值为6.
故答案为：；6
【点睛】思路点睛：把化为，再依次利用基本不等式求出最小值.
变式8-2．若，，则的最小值为___________.
【答案】4
【详解】 ，（前一个等号成立条件是，后一个等号成立的条件是，两个等号可以同时取得，则当且仅当时取等号）.
【考点】均值不等式
【名师点睛】利用均指不等式求最值要灵活运用两个公式，（1） ，当且仅当时取等号；（2） ， ，当且仅当时取等号；首先要注意公式的使用范围，其次还要注意等号成立的条件；另外有时也考查利用“等转不等”“作乘法”“1的妙用”求最值.
题型09 多元均值不等式求最值
例9．函数的最小值为___________．
【答案】9
【详解】∵，∴，
当且仅当，即时等号成立，
故函数的最小值为9．
故答案为：9．
【小试牛刀】
变式9-1．设，且，则的最小值是__________.
【答案】3
【详解】，当且仅当时等号成立.
所以的最小值3，
故答案为：3.
变式9-2．已知，则的最小值为________．
【答案】
【详解】因为，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为.
故答案为：
变式9-3．已知a，b，c是正实数，且．求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】
【详解】（1）因为a，b，c是正实数，所以，所以 （当且仅当时等式成立），即；
（2）因为，当且仅当等号成立
所以，即．
1．已知，则的最小值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【详解】由，得，则
，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是4.
故选：A
2．若正数a，b满足，则的最小值为（ ）
A．72 B．57 C．50 D．64
【答案】D
【详解】，
当且仅当，即，时，等号成立，则的最小值为．
3．若，则的最小值为（ ）
A． B． C．20 D．40
【答案】C
【详解】由，得同号，且，
则，即，当且仅当时取等号，
所以的最小值为20.
故选：C
4．若，，且，那么的最小值是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由，可得，
则
当且仅当时，上式取等号，
所以的最小值是.
故选：D
5．已知正数满足,则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解:由题知,
,
当且仅当时取等号,
所以．
故选:C．
6．（多选）已知，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【详解】A.由基本不等式得 =，当且仅当，即时等号成立，A正确；
B.由得，
=，当且仅当，
即时等号成立，B错误；
C.法一：（基本不等式）由得，即，
，所以，
当且仅当，即时等号成立，
法二：（柯西不等式），
同理时等号成立，
法三：（二次函数单调性）由得，
，
当时，函数有最小值，C正确；
D. 法一：（常数代换法）由得，
==1，
当且仅当，即时取等号，
法二：（函数单调性）由得,
=，令，
二次函数开口向下，对称轴，当时，
所以，当且仅当时取等号，D正确.
7．已知实数，则的最小值是__________.
【答案】
【详解】，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为
8．函数的最小值为__________.
【答案】
【详解】因为,
当且仅当，即时取等号，
所以函数的最小值为.
故答案为：
9．已知正实数满足，则当_________时，的最小值为_________．
【答案】
【详解】∵ 为正实数，且，
对等式变形得 ，即.
若，则，矛盾，
若，则，此时，，
故，矛盾，故，结合可得，.
将目标式变形为，
∵ ，，由基本不等式可得，
将代入得，
∴ ，当且仅当时等号成立.
联立，将代入第二个方程得，
解得（负根舍去），即，此时，满足为正实数的条件.
∴ 当时，的最小值为.
10．已知实数a，b满足，则ab的最大值为________．
【答案】
【详解】，所以，
所以，
若，其值必然小于正数，因此仅需考虑，
根据基本不等式，所以，当且仅当时等号成立，
所以的最大值为.
11．若，则的最大值为________．
【答案】
【详解】由，可得，
，当且仅当时，等号成立；
即，解得，故的最大值为.
12．已知，则的最小值为_____．
【答案】
【详解】，则，
当且仅当时，即时取等号，
即的最小值为.
13．已知且，求的最小值为__________.
【答案】
【详解】，
当且仅当，即时等号成立.
所以，
当且仅当，即时等号成立，
故答案为：6.
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（北京）股份有限公司
（北京）股份有限公司
（北京）股份有限公司
（北京）股份有限公司素养拓展02 基本不等式求最值的常用方法
知识点01 直接法
适用场景：代数式本身天然满足“一正、二定、三相等”，无需变形，可直接套用均值不等式公式。
步骤：①逐一验证所有项均为正数；②判断和或乘积是否为定值；③列出等号成立条件，求解最值。
注意
负数处理公式：若，令：
【即学即练】
1．的最小值为（ ）
A． B．9 C．8 D．
知识点02 配凑法
适用场景：原式无定值结构，需要通过恒等变形构造和定或积定。
变形手段：通过调整系数、拆分常数、添项拆项完成等价变形，保证式子数值不变。
核心要求：变形后必须重新完整检验三项条件：各项为正、和/积为定值、等号有可取取值。
【即学即练】
2．已知，则 的最小值为（ ）
A．3 B．4
C．5 D．6
知识点03 分离常数法
适用场景：分子、分母均含同一变量的分式型代数式，将变形为
步骤：①将分子配凑为分母的倍数形式，拆分分式；②对分母整体换元，将原式转化为常数加标准对勾函数；③化为恒正或恒负结构后，使用基本不等式求最值。
【即学即练】
3．若，则的最大值是______．
知识点04 消元法
适用场景：含两个及以上变量，且带有约束等式的多元最值问题。
步骤：①利用约束等式，用单一变量表示其余变量，完成消元；②明确剩余变量的取值范围；③将多元式转化为单变量代数式，再结合配凑、基本不等式求解。
【即学即练】
4．已知，若，则的最小值为___________．
知识点05 代换法（乘1法）
类型1：分母为单项式，1的代换
已知等式结构等于1，将所求代数式整体乘以该等式，展开后构造定值交叉项。
设，求：
类型2：分母为多项式
1.分母仅含单个字母：对分母配凑构造数值为1的式子，再与目标式相乘展开；
2.待定系数通用法：设参数拆分条件式，联立方程求解系数，构造定值结构，适配所有多项式分母题型。
【即学即练】
5．已知，则的最小值为____.
知识点06 构造目标不等式法
核心思路：不直接对原式配凑定值，结合已知条件多次均值放缩，推导出仅包含目标代数式的一元不等式；
求解流程：通过解不等式得到目标式整体取值范围，进而求出最大、最小值，全程校验等号成立条件。
【即学即练】
6．若，且，则ab的最小值是______．
知识点07 多次使用基本不等式法
核心约束：同一题目中两次及以上运用均值不等式时，两条硬性规则：
1.每一次使用不等式都要单独验证“一正、二定、三相等”；
2.所有不等式取等号的条件必须同时成立，若条件相互冲突，该解法失效。
知识点08 三元均值不等式法
三元均值不等式：
当且仅当时取等，多用于三项式求和最小、求积最大问题，同样遵守均值不等式三要素。
【即学即练】
7．已知，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
题型01 直接法求最值
例1．设，则的最小值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．2
【小试牛刀】
变式1-1．设实数，满足，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
变式1-2．已知，则的最小值为______________.
变式1-3．已知，则的最大值为__________．
题型02 配凑法求最值
例2．若，则函数的最小值为_____.
【小试牛刀】
变式2-1．设实数x满足，则函数的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
变式2-2．求函数的最大值.
变式2-3．若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
题型03 分式分离法求最值
例3．设，则的最小值为_____________．
【小试牛刀】
变式3-1．（多选）下列各式中，最小值是6的有（ ）
A． B． C． D．
变式3-2．求函数的最小值．
变式3-3．已知，则的最大值是（ ）．
A． B． C．5 D．8
题型04 消元法求最值
例4．已知为实数，且，则的最小值为________.
【小试牛刀】
变式4-1．已知，且，则的最小值是（ ）
A．12 B．6 C． D．
变式4-2．设均为正实数，满足，则的最小值为______.
变式4-3．已知，则的最大值为__________.
题型05 乘“1”法求最值（分母为单项式）
例5．已知正数，满足，则的最小值为（ ）
A．28 B．30 C．32 D．34
【小试牛刀】
变式5-1．若，，，则的最小值为（ ）
A．26 B．25 C．19 D．13
变式5-2．已知正实数，满足，则的最小值为__________.
变式5-3．已知正实数，满足，则的最小值为__________．
题型06 乘“1”法求最值（分母为多项式）
例6．若，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．2
【小试牛刀】
变式6-1．已知，则的最小值为_______.
变式6-2．已知，则的最小值为________．
变式6-3．已知，，且，则的最小值为__________．
题型07 构造不等式法求最值
例7．已知实数，满足，则的最大值为_____．
【小试牛刀】
变式7-1．已知，，且，则的最小值为（ ）
A．6 B．4 C． D．2
变式7-2．已知正实数满足，则的最大值是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
变式7-3．若，，且满足，则的最小值为____________，的最小值为____________．
题型08 多次使用基本不等式求最值
例8．若是正数，则的最小值是__________．
【小试牛刀】
变式8-1．已知均为正实数，且，则当取得最小值时__________，的最小值为__________．
变式8-2．若，，则的最小值为___________.
题型09 多元均值不等式求最值
例9．函数的最小值为___________．
【小试牛刀】
变式9-1．设，且，则的最小值是__________.
变式9-2．已知，则的最小值为________．
变式9-3．已知a，b，c是正实数，且．求证：
(1)；
(2)．
1．已知，则的最小值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
2．若正数a，b满足，则的最小值为（ ）
A．72 B．57 C．50 D．64
3．若，则的最小值为（ ）
A． B． C．20 D．40
4．若，，且，那么的最小值是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知正数满足,则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
6．（多选）已知，，且，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知实数，则的最小值是__________.
8．函数的最小值为__________.
9．已知正实数满足，则当_________时，的最小值为_________．
10．已知实数a，b满足，则ab的最大值为________．
11．若，则的最大值为________．
12．已知，则的最小值为_____．
13．已知且，求的最小值为__________.
（北京）股份有限公司
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