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教学设计
课时题目 2.4.1圆的标准方程（选择性必修第一册第二章） 第1 课时
一、内容和内容解析 内容 圆的标准方程，圆的标准方程的特点， 求圆的方程的三种方法（待定系数法、几何法和直接法）， 点与圆的位置关系。
内容解析 本节课是解析几何中研究曲线方程的起始课和典范。学生在学习了“直线的方程”之后，首次接触一个非线性的、封闭的曲线的方程。圆的方程是后续学习圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的基础，其“坐标法”的思想——将几何问题代数化——贯穿整个解析几何的始终。因此，掌握圆的方程，特别是标准方程，至关重要。
二、学情分析 （1）认知基础 在初中，学生已经学过圆的一些知识，前一节，学习了直线与方程的基础知识，知道了在直角坐标系中通过建立方程研究几何图形，圆的标准方程正是这一知识的应用延续，在学习中进一步使学生体会数形结合的思想，形成用代数方法解决几何问题的能力 (2)认知困难 学生在本节课的核心困难在于思维范式的转换。学生习惯于圆的直观几何形象，难以理解为何要用抽象的方程来“定义”圆，对解析几何的“数形结合”思想感到隔阂。
三、目标和目标解析 目标 1、掌握圆的定义及标准方程； 2、会用待定系数法和几何法求圆的标准方程； 3、能准确判断点与圆的位置关系
目标解析 达成上述目标的标志是: 1、会推导圆的标准方程,掌握圆的标准方程;能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程; 2、进一步培养学生用解析法研究几何问题的能力；使学生加深对数形结合思想的理解；知识的应用及灵活处理问题能力的培养。 3、培养学生的的计算能力、思维能力、数形结合的能力。 4、通过分析问题，激发学生的学习兴趣. 培养学生主动探究知识、合作交流的意识，提高学生的思维能力。 5、提供生活背景，让学生体会数学就在身边，培养学数学用数学的意识。
教学重点 圆的标准方程的求法及其应用.
教学难点 1、据条件，利用待定系数法确定圆的三个参数从而求出圆的标准方程。 2、初步掌握运用几何关系简化代数运算。
四、教学方法分析 本节课宜采用“探究式教学法”与“数形结合法”。通过创设认知冲突，引导学生将圆的几何定义自主翻译成代数方程，亲历知识生成过程。教学中贯穿“以形助数”与“以数解形”，利用坐标系双向沟通方程与图形，辅以变式练习，深化对圆的标准方程本质的理解，突破从几何思维到代数思维的转换难点。
五、教学过程设计 教师活动与任务设计 学生学习活动与任务解决 设计意图或达成目标
核心任务一 创设 情景引入新课 环节一 任务1： 圆是一切平面图形中最美的图形 ——毕达哥拉斯学派 学生动手画圆 情景引入 积极参与课前活动，动手动脑 引导学生思考在平面直角坐标系中，如何确定一个圆？
核心任务二 探究新知讲解新课 环节一 任务1 在平面直角坐标系中，确定一个圆的几何要素是什么呢？ 提示：在平面直角坐标系中，如果一个圆的圆心坐标和半径确定了，圆就唯一确定了. 因此，确定圆的几何要素是：圆心和半径. 使学生在已有的基础上，结合圆的定义，回答确定一个圆的几何要素 使学生在已有的知识经验的基础上，探索新知，引出本节课题
环节二 任务2: 已知圆心A的坐标为(a,b),半径为r，设圆上任意一点 M（x, y），如何求该圆的方程？ 如图 在平面直角坐标系中，☉A的圆心A的坐标为(a,b),半径为r，M（x, y）为圆上任意一点，☉A就是以下点的集合P={M | |MA|=r} . 由上述过程可知， 若点 M（x, y）在☉A上，点M的坐标就满足方程（1）； 反过来，若点M的坐标（x, y）满足方程（1），就说明点M与圆心A间的距离为r，点M就在☉A上. 这时，我们把方程（1）称为圆心为A(a,b) ，半径为r 的圆的标准方程. 求方程的一般步骤： 1建系设点 2找关系式列方程 3化简方程、证明 由两点间的距离公式，点适合的条件可表为 ①两边平方得 让学生独立思考，并经历数学化的过程，体现数学素材和学生已有知识和生活经验的结合
环节三 任务3：完成课堂练习 1.写出下列圆的圆心坐标和半径 2.已知圆心和半径，写出圆的标准方程 （1）圆心（1,2）半径为2； （2）圆心（-1,2）半径为1 （3）圆心（1,-2）半径为 进一步熟悉掌握圆的标准方程
核心任务三 例题讲解灵活应用 环节一 任务1 例1 求圆心为A（2，-3），半径为5的圆的标准方程，并判断点，是否在这个圆上. 分析：根据点的坐标与圆的方程的关系，只要判断一个点的坐标是否满足圆的方程，就可以得到这个点是否在圆上. 解： 圆心为A（2，-3），半径为5的圆的标准方程是 把的坐标代入方程 的左边，得 ，左右两边相等，点的坐标满足圆的方程，所以点在这个圆上. 跟着老师动手板演。 把点的坐标代入方程 的左边，得 ，左右两边不相等，点的坐标不满足圆的方程，所以点不在这个圆上(如图 引导学生分析和归纳，让学生在已有认知结构的基础上建构新知识，从而达到概念的自然形成，并建立数学概念，进而从数学的外部到数学的内部，启发学生运用概念探究新问题。
任务2 探究 点在圆内的条件是什么？在圆外的条件又是什么？ 提示： 点在圆内，则 点在圆外，则 点与圆 的位置关系如何判断？ 提示： , 点在圆外 ， 点在圆上 ， 点在圆 学生从特殊到一般归纳出点与圆的位置关系。
环节二 例2 △ABC的三个顶点分别是A（5，1），B（7，-3），C（2，-8），求△ABC的外接圆的标准方程. 分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆.虽然已知的三个点不在同一条直线上，只有确定了，a, b ,r ,圆的标准方程就确定了. 解：法一：待定系数法 设所求的方程是 ① 因为 A（5，1），B（7，-3），C（2，-8）三点都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①. 于是 即 观察上面的式子，我们发现，三式两两相减，可以消去，得到关于a ,b 的二元一次方程组 解此方程组，得 代入 ，得 所以，△ABC的外接圆的标准方程是 . 所以，△ABC的外接圆的标准方程是 同学黑板上板书，展示本节课的难点计算。 引导学生思考，另一种几何性质出发解题。 法二： 几何法 三角形外接圆的圆心是三角形的外心，即三边中垂线的交点。分别求直线AB，BC的垂直平分线，垂直平分线的交点O就是圆心坐标，线段AO的长就是圆的半径。如图所示。 因为 A（5，1），B（7，-3），所以AB的中点D的坐标为（6，-1），直线AB的斜率 所以线段AB的垂直平分线的方程 即：x-2y-8=0 同理可得线段BC的垂直平分线的方程是 x+y+1=0 圆心O的坐标是方程组 的解 得 所以圆心O的坐标是（2，-3） 半径是 所以，△ABC的外接圆的标准方程是 一题多解的探究，纵向挖掘知识深度，横向加强知识间的联系，培养了学生的创新精神，并且使学生的有效思维量加大，能力与知识的形成相伴而行，以求突出了重点，突破难点
环节三 例 3 已知圆心为C的圆经过A（1，1） B（2，-2）两点，且圆心C在直线 l: x-y+1=0 上，求此圆的标准方程. 分析： 设圆心C的坐标为（a, b）. 由已知条件可知，，且a-b+1=0. 由此可求出圆心坐标和半径. 另外，因为线段AB是圆的一条弦，根据平面几何知识，AB的中点与圆心C的连线垂直于AB，由此可得到另外一种解法. 解法1： 设圆心C的坐标（a, b）. 因为圆心C在直线 l: x-y+1=0 上，所以 a-b+1=0 ① 因为A，B是圆上两点，所以 根据两点间的距离公式，有 即 a-3b-3=0 ② 由①②可得 a=-3, b=-2. 所以圆心C的坐标是（-3，-2）. 圆的半径 . 所以，所求圆的标准方程是 . . 解法2： 如图 设线段AB的中点为D. 由A，B两点的坐标为（1，1），（2，-2），可得点D的坐标为 ， 直线AB的斜率为 . 因此，线段AB的垂直平分线 的方程是 即 x-3y-3=0 . 由垂径定理可知，圆心C也在线段AB的垂直平分线上，所以它的坐标是方程组 的解. 解这个方程组，得 所以圆心的坐标是（-3，-2）. 圆的半径 所以，所求圆的标准方程是 一题多解的探究，纵向挖掘知识深度，横向加强知识间的联系，培养了学生的创新精神，并且使学生的有效思维量加大，能力与知识的形成相伴而行，以求突出了重点，突破难点
课堂小结 学生小结，教师补充： 1.圆的标准方程: 2.求圆的方程的主要方法：直接法：求出圆的圆心及半径，再由圆的标准方程直接写出圆的标准方程的方法. 待定系数法：先设出圆的标准方程，再设法求出圆方程中的有关参数的方法.
六、目标检测（作业设计）
七、板书设计
八、反思 新课标倡导积极主动、勇于探索的学习方式，强调形成积极主动的学习态度，使获得知识与技能的过程成为学会学习、形成正确价值观的过程.因此在教学中，我设计一系列探究问题，引导学生自主探索、积极思考、主动学习，适时安排小组讨论活动，让他们阐述自己的见解.本节课的设计通过适当的创设情境，调动学生的学习兴趣，然后以问题做链，环环相扣，运用前段时间学习的求曲线的方法引导学生探索方程,使学生的探究活动贯穿始终.从圆的标准方程的推导到标准方程的求解都是在问题的指引下，通过我的适度引导、侧面帮助、不断肯定，由学生探究完成并走向成功.

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